最大平均度量下的Bowen维数熵与测度下局部熵

孟如月， 张瑞丰

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

熵是反映动力系统复杂度的一个非常重要的量，关于各种熵的计算也很重要但比较困难.非紧集合下的拓扑熵是仿照Hausdorff维数定义的，故称之为Bowen维数熵[1].Hausdorff维数的Billingsley性质有助于Hausdorff维数的计算[2]，类似的，Bowen维数熵的Billingsley性质也有助于Bowen维数熵的计算.马际华[3]等证明了Bowen维数熵的Billingsley性质，马际华的证明里，涉及的Bowen维数熵与测度下局部熵都是在Bowen最大度量下进行定义的，周发[4]在d群作用下推广了这一结果.

近几年，对于平均度量下动力系统的研究吸引了很多研究者的关注.Gröger[5]等运用分离集给出了平均度量下拓扑动力系统的拓扑熵的定义，并证明了平均度量下的拓扑熵与Bowen最大度量下的拓扑熵是等价的.黄文[6]等给出了平均度量下遍历测度的Katok熵公式，黄萍[7]等定义了平均度量下的拓扑压，并给出了平均度量下测度压版本的Katok熵公式.黄文[8]等研究了动力系统在三种度量(Bowen最大度量、最大平均度量、平均度量)下的有界复杂性.这些说明在研究拓扑动力系统复杂性的一些问题的时候，平均度量下的Bowen球可以代替经典Bowen最大度量下的Bowen球.

受以上内容启发，这篇文章探讨证明了最大平均度量下的Bowen维数熵与测度下局部熵的关系.

2 定 义

定义1(X,d)为一个紧致度量空间，f为其上的连续映射，对于∀x，y∈X，n∈，0≤i≤n-1，Bowen最大度量：

dn(x，y)=max{d(fix，fiy)}，

平均度量：

最大平均度量：

定义

由定义可得如果X是紧致度量空间，则

将通常定义中的最大度量下的Bowen球替换为最大平均度量下的Bowen球，最大度量下的测度下局部熵定义如下.

3 主要结果及证明

证令ω⊂F为满足以下条件的集族：

第一步，用反证法来证明一个断言

第二步，运用第一步证明出的断言证明G即为所求.由于G满足条件(ii)，又已知

(ii) 对于∀ε>0，∀k≥1，令

对于∀N≥1，令

综上可得

4 结 论

最大平均度量下的Bowen维数熵可以用测度下局部熵估计.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.