Hilbert空间中的广义K-框架

陶 蕊， 李春艳

(重庆科技学院 数理与大数据学院， 重庆401331)

1 引言与预备知识

1946年，Gabor在文献[1]中讨论了信号关于基本信号的分解问题.1952年，Duffin等人[2]对Gabor的思想进行了推广，在非调和Fourier分析中引入了框架的概念.但是，他们的工作并没有引起太多学者们的重视. 直到1986年，Daubechies等[3]将框架理论应用到小波分析和Gabor变换中，才引发了大量学者关于框架理论的深入研究.随后，框架理论被广泛地应用于信号处理、图像处理、数据压缩以及抽样理论等领域.

最近20年来，在Hilbert空间中，各种不同的框架概念被相继提出，例如，一般框架，子空间框架，广义框架和K-框架等等.关于这些框架的主要研究工作，可以参见文献[4-9].在上述的框架概念中，Sun等[6]提出的广义框架和Gavruta[7]提出的K-框架将算子理论与框架理论进行了结合，极大地延伸了框架理论的研究范围.本文将在Hilbert空间中引入广义K-框架及其对偶框架的概念.广义K-框架是广义框架和K-框架的一种自然推广.利用广义K-框架及其对偶框架可以实现对算子K的值域的重构.

本文将采用如下记号：F表示复数域或实数域，H表示定义在数域F上的可分Hilbert空间，L(H1,H2)表示从Hilbert空间H1到Hilbert空间H2上全体有界线性算子的集合.特别地，当H=H1=H2时，记为L(H). 对H中的任意两个元素f,g，利用〈f,g〉表示f与g的内积.

且其内积为

显然，⊕Hi在此内积下仍然是一个Hilbert空间.特别地，对任意的i，当Hi=H时，记l2(H)=⊕Hi.

下面，先回顾广义框架和K-框架的概念.

由广义Bessel序列的定义可知RΛ是一个有界线性算子.此时，称RΛ为Λ的解析算子.此外，通过计算可以得到算子RΛ的伴随算子为

则称G为H的K-框架.其中，常数A,B分别称为G的框架下界和上界.

2 广义K-框架与广义K-原子系统

则称Λ是紧的广义K-框架.

由上述定义可知，广义框架一定是一个广义K-框架，其中K=IH，IH是定义在Hilbert空间H上的恒等算子.

在文献[10]中，Neyshaburi等已经讨论了Hilbert空间中K-框架的构造问题，给出了K-框架的一些具体例子.下面，利用K-框架构造一个广义K-框架.

Λi∶H→Hi，Λif=〈f,fi〉ei， ∀f∈H，i=1,2,…

事实上，对任意f∈H，有

下面，给出广义K-原子系统的概念.

下列结论表明，可分的Hilbert空间总是存在一个关于l2(H)的广义K-原子系统.

定理1设H是一个可分的Hilbert空间，且K∈L(H)，则H存在一个关于l2(H)的广义K-原子系统.

此时，令fi=Kei，且定义算子：

Λif=〈f,fi〉ei， ∀f∈H.

且

因此，Λ是H关于l2(H)的一个广义K-原子系统.

注 上述定理证明过程中得到的算子序列Λ也可以成为H的一个关于l2(H)的紧的广义K-框架. 事实上，对任意的f∈H，有

因此，Λ成为了H的一个紧的广义K-框架.

下面，讨论广义K-原子系统与广义K-框架之间的关系.

引理1(R.G. Douglas[11]) 设H,H1,H2为Hilbert空间，L1∈L(H1,H),L2∈L(H2,H),则下列命题等价：

(i)R(L1)⊂R(L2);

(iii) 存在有界算子C使得L1=L2C.

定理2设H,H1,H2,…,Hi,…是一列可分的Hilbert空间，且K∈L(H)，Λi∈L(H,Hi),i=1,2,…，则下列命题等价：

证(i) ⟹ (ii) 设Λ是一个广义K-原子系统，则下列算子：

另一方面，∀f∈H，有

因此，Λ是一个广义K-框架.

其中T是Λ的合成算子.因此，有

A〈K*f,K*f〉=A〈KK*f,f〉≤〈T*f,T*f〉=〈TT*f,f〉.

下面定理表明，任意一个广义Bessel列，都可以成为一个广义K-框架.

(1)

3 广义K-框架的对偶性

为了建立基于广义K-框架的元素重构理论，本节将讨论广义K-框架的对偶性.

命题1如果(Γ,Λ)是一个广义K-对偶对，则Λ是一个广义K-框架，且Γ是一个广义K*-框架.

证设Bessel列Λ的界为B1，Bessel列Γ的界为B2，则

即

这就证明了Λ是一个广义K-框架.

同理可证，Γ是一个广义K*-框架.

注 由命题1的结论，也称一个广义K-对偶对(Γ,Λ)为一个广义K-对偶框架对.此时，称Γ为Λ的K*-对偶框架，称Λ为Γ的K-对偶框架.

设Λ是一个广义K-框架，文献[7]中定义了算子S：

且S是一个有界线性算子，即S∈L(H)，且S是自伴的，称算子S为Λ的框架算子.设R(K)是算子K的值域，当R(K)是闭子空间时，记P为从H到R(K)的正交投影算子.

证设S为Λ的框架算子，并且记SR(K)为S在R(K)上的限制.因为算子K具有闭值域，所以,算子K的伴随算子K*是下有界的，即存在ε>0，使得

‖K*f‖≥ε‖f‖， ∀f∈H.

因为

和

所以有

A‖K*f‖2≤〈Sf,f〉≤B‖f‖2.

同时有

Aε2‖f‖2≤A‖K*f‖2≤〈Sf,f〉≤‖Sf‖·‖f‖，

即Aε2‖f‖≤‖Sf‖. 这就说明算子S是一个单射且具有闭值域R(S). 又因为S是自伴算子，所以S是可逆的.

这说明Γ是一个广义Bessel列.此外，对任意的f∈H，还有

和

因此，(Γ,Λ)是一个广义K-对偶对，即Γ是Λ的一个K*-对偶框架.

尽管命题2表明，在算子K有闭值域的前提下，任意一个广义K-框架的对偶框架总是存在的，但是，要精确地算出对偶框架是件非常困难的事情.早在2011年，Christensen等就在文献[13]中对Hilbert空间中一般框架的对偶框架的近似问题进行了研究，提出了逼近对偶的概念.下面，给出广义K-框架的逼近对偶的概念.

注 上述定义中，用常数ε来刻画对偶的逼近程度.通常假设ε是一个小于1的常数，即ε<1. 此时，可以利用广义Bessel列Λ,Γ的解析算子和合成算子定义广义逼近K-对偶对.

(2)

且满足对任意的自然数n，有

(3)

则 (r,Λ)是一个广义逼近K-对偶对.

即有

当n→∞时，有

则容易验证Tr是一个有界线性算子，且

设Rr是r的解析算子，则‖Rr‖=‖Tr‖.

4 结 论

本文推广了Hilbert空间中的广义框架和K-框架的概念，引入了一种新的框架——广义K-框架，从而给出了Hilbert空间上线性有界算子K的值域的一种新的重构方式.这种重构方式与基于一般K-框架的元素重构方式不同，它是一种基于算子序列的重构.同时，本文引入了广义K-原子系统的概念，讨论了广义K-框架与广义K-原子系统之间的关系.此外，为了建立基于广义K-框架的重构理论，我们还引入了广义K-对偶对和广义逼近K-对偶对的概念，并给出了广义K-对偶对存在的充分条件，研究了广义K-对偶对和广义逼近K-对偶对之间的关系.

致谢作者非常感谢编辑和审稿人对本文提出的修改建议，并且感谢相关文献对本文的启发.