初高中数学教材研究

罗慧　惠小静

摘 要：教材是教师教学的重要工具，也是学生获得知识和技能的重要途径，所以，学会分析教材对教师来说尤为重要。本文以北师大版初高中教材中“三角函数”所在章节为例，从知识背景、教学功能、知识结构等方面分析初高中教材中知识的深浅衔接，希望能弥补当前初高中数学教材中存在的部分知识结构衔接上的不足，进而不断修正和完善教材，进一步促进初高中数学教学的衔接与过渡，为教师完成数学教学的衔接工作提供参考。

关键词：三角函数;教材衔接;数学教学

中图分类号：G420                       文献标识码：A                   文章编号：2095-624X（2021）32-0073-02

引   言

随着教育的改革和教育理念的更新，教材也发生了很大的变化，教师不仅要奋战在教学前线，还要注意到教材的变化。开展教学活动前要认真备课，紧抓备教材这一重要环节，尤其对初高中数学教师来说，三角函数作为高中学习的一大难点，教师要抓住教材的整体性和层次性，把握知识的结构，在初中和高中分别根据学生的知识水平讲授适当的内容，同时注意教材的衔接和知识的深浅，以推动学生不断进步。

一、教材的定义

狭义地讲，教材的根本是相关学科的培养目标和教学任务，以此组织和编写的具有一定深度和广度的知识和技能体系[1]。日本教育大学欢喜隆司教授对“教材”提出了广义的定义：教材实际上是源于生活、科学、艺术、文化的各个领域，而后被有计划地组织到一起，形成了一套完整的知识体系和能力体系[2]。随着社会的发展和教育的改革，“教材”的定义不再是传统的定义，它被赋予了新的意义，不只是简单地将定理、定义和法则呈现在书面上，而是把教材看作课堂上教师与学生联系的纽带，学生把教材上的知识当作一个话题来讨论，教师对学生加以引导，使其进行自主学习和合作探究，并得出结论，进而充分发挥学生的主观能动性。

二、知识背景分析

知识背景会一直渗透在学习和教学中，不管在历史情境中还是现实环境中，都会作用于学生，学生会更容易理解和掌握知识。了解数学知识的发展可以更深入地理解其中蕴含的数学思想实质和数学发展规律，更准确、更灵活地把握数学教学知识[3]。初高中数学所学的三角函数的根源都归于三角学，它本来的意思是“三角形的测量”，后来人们把关于三角形和其他图形的研究，以及研究三角函数的性质和应用的学科统称为三角学。初中学习的三角函数的相关知识来源于实际问题，如测量哪个梯子更陡、山坡的坡度等问题，让学生从实际生活中体会数学、学习数学。高中则站在函数的角度来学习，与单位圆相联系，在单位圆内学习三角函数，但教材中并未体现这样研究的意义。“三角函数”一章先由自然界中的周期现象引出周期函数，使学生认识到三角函数是周期函数，周期函数是刻画周期现象的函数模型。

学生最终会走向社会，所以数学教材中还要引导学生了解相关的社会应用，使学生可以从教材中获取数学建模的素材，更广泛地了解教学内容的意义和价值。当今世界应用广泛的数学知识之一就是初中学习的直角三角形中边角的关系，锐角三角函数在现实生活中有很大的应用价值，可以解决很多现实问题，如人们常常遇到的距离、高度、角度等测量问题，一般情况下，这些实际问题的数量关系都可以归结为直角三角形中边和角的关系问题。高中学习的三角函数是一类重要的周期函数，也是一类基本的初等函数，它的应用更加广泛，可以应用于天文测量、大地测量、机械制造、工程测量、光学、电学、力学、地球物理学及图像处理等众多学科和领域。

从知识的发生、应用两方面来看，北师大版初高中数学教材非常注重整体性，也非常关注学生的接受能力，初中学生在简单的测量角度、高度的情境中学习函数，高中学生继续在函数的大背景下学习，能够了解相关背景知识与情境，将前后知识联系起来，衔接比较顺畅。

三、教学功能分析

通过对初中三角函数的学习，学生认识并掌握了锐角三角函数的概念，可以用自己的理解结合例子来进行阐释。教师指引学生经历直角三角形边与角的关系和特殊角的三角函数值的探究过程，学生在动脑思考的时候，逐渐养成了主动思考的习惯，同时拓展了自己的思维[4]。教材还要求学生使用计算机求已知角的三角函数值，或者已知三角函数值求出角的度数，着重学习直角三角形，学生要熟练掌握在直角三角形内求边长、角的大小或三角函数值，并将其应用于解决相关的实际问题。在此过程中，学生能学会分析问题，将所学的知识与实际问题相联系，提高解决问题的能力。由于三角函数本身的独特性，学生在学习过程中会体会到数与形结合的思想，这有助于发展他们的几何直观思维。

高中三角函数的学习内容会有一定的难度，因为它既有函数知识的延伸，又有三角知识的拓展，为学生今后参加科学研究和社会生产奠定基础，也是学生进一步学习立体几何、解析几何、物理和其他学科的前提。通过从周角到任意角的学习，学生感受到数学的发展和教材的层次性，又以弧长公式为切入点，引出弧度制，并学會弧度与角度的相互转化。学习了基础知识后，学生借助单位圆在直角坐标系中学习三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能用初中已知的特殊函数值画出这些三角函数的图像，结合函数的一般性质探究三角函数的性质（周期性、单调性、奇偶性、最值）。此外，由于单位圆具有对称性，学生可以利用定义推导出诱导公式（正弦、余弦、正切）。三角函数的学习是函数的进一步提升，为学生后面的几何学习奠定了基础，并能让学生结合前面的学习更加深刻地理解函数思想，以及在单位圆内学习三角函数，了解动态的数学，进而深化学生的几何思想。

从知识价值来看，初中到高中的知识逐渐变难，但教材在初中做了一定的铺垫，为高中的学习奠定了基础。在能力价值方面，初中阶段的数学教学培养了学生一定的探究能力和逻辑思维，高中知识相对难以理解，需要学生主动探索知识，加深记忆，进一步培养自己探究的思维，从而养成主动思考的良好习惯[5]。最后，学生的思想有了一定的提升，初中数学锐角三角形和直角三角形的知识让学生在简单的图形中感受数形结合的思想;高中数学在单位圆内学习三角函数，不仅加强了学生对数形结合思想的认知，也让学生充分感受函数思想和几何动态思想，进而使学生的学习能力得到了明显提升。

四、知识结构分析

北师大版初中数学教材将三角函数编订在九年级下册第一章“直角三角形的三边关系”中，下分六个小节，初中生比较容易掌握。高中教材将其编在必修四的第一章“三角函数”中，共有九个小节，有的小节还会细分，由此可以看出三角函数在高中教材中占据重要的地位。以下是北师大版初高中教材的知识结构（见图1）。

从图1中可以看出，初中的知识少且很简单，而高中三角函数的知识难且复杂。初中只学习了0°～ 360°的角，如锐角、直角和钝角等;高中需要深入地研究这种以角度为自变量的函数，所以对角的概念进行了扩大，补充了正角、负角、零角的概念，还可以像拧螺丝一样无限旋转，形成任意角。学生之前学习过一种度量角的方法，以周角为一个单位，称为1度角，其他角的大小就可以用它去度量，这种方法采用的是60进制，它在实际应用中有时会带来不便，所以在高中引入了弧度制。由弧长公式度量和计算得出，同样的圆心角所对应的弧长与半径之比是常数，把这个常数称为该角的弧度数，在单位圆中，长度为1的弧所对应的圆心角称为1弧度角，由此引出弧度制，统一了角度与长度的单位，有助于一些函数问题的表示与研究。

在初中，借助直角三角形学习了锐角α的三角函数，高中教材中直接给出图形和问题，将三角函数放在直角坐标系中进行学习，并利用单位圆分别研究任意角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。但教材中没有指出直角坐标系、单位圆与三角函数为什么可以联系起来，学生只是机械地学习，所以教师在备课时应注意这一点，了解清楚后教授给学生，否则，即使学生学完三角函数，也不能清楚地解释什么是三角函数。

结    语

总之，教材是教学的重要手段，教师在备课时要深入研究教材，掌握知识的产生背景和在实际生活中的应用，以及前后知识的联系，还要选取适当的方法，明确教学给学生带来的价值。笔者经过分析发现，初高中教材中的三角函数整体上比较衔接，符合教材的层次性、整体性和等级性，但通过知识结构分析得出，三角函数相关知识在初中阶段分布过少，可以适当地将角的概念的推广和弧度制放在初中学习，以此减少学生在高中学习的压力。

[参考文献]

[1]陈晨. 基于学生认知发展的初高中数学衔接教学的实践研究[D].上海：上海师范大学，2020.

[2]谢金芮. 初高中数学教材知识结构衔接研究[D].重庆：西南大学，2014.

[3]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[4]教育部.普通高中数学课程标（2017）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[5]王克誠.核心素养下数学学科初高中衔接教学探索[J].名师在线，2019（30）：50-51.

作者简介：罗慧（1998.5—），女，陕西延安人，在读研究生。

惠小静（1973.6—），女，陕西清涧人，教授。