小学生思维发展的心理学研究及其对数学教学的启示

杨柳 喻平

摘要：儿童思维发展一直是心理学关注的重要课题。其主要探讨儿童思维发展的阶段性规律和思维发展的训练方式;在数学思维方面，开展了数概念发展、空间观念发展、推理思维发展等多方面的研究。梳理相关研究成果，能给小学数学教学带来一些启示：把握年龄关键时期，有目标地培养;开展数学阅读训练，有根基地培养;强调自我监控内化，有策略地培养;突出合情演绎并重，有方向地培养。

关键词：思维发展;关键时期;数学阅读;自我监控;逻辑推理

儿童思维发展一直是心理学关注的重要课题。自从皮亚杰提出儿童认知发展阶段理论以来，关于这个问题的研究得到了许多结果。尽管诸多研究的结果并不完全一致，但是不同的研究从不同的侧面揭示了儿童思维发展的一些基本规律。显然，认识这些儿童思维发展的规律，对于教学具有重大的指导意义。本文对小学生思维发展的一些研究成果做简单介绍，并基于这些研究成果提出相应的教学策略。

一、心理学关于儿童思维发展的研究

（一）思维发展的阶段性

1.皮亚杰的儿童思维发展阶段理论。

皮亚杰的基本假设是，认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和再组织过程，过程的进行是连续和经常的，但它造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。在此基础上，他把儿童的思维发展分为四个阶段。（1）感知运动阶段（0—2岁）。主要通过感觉动作图式与外界取得平衡，处理主客体关系。（2）前思维运算阶段（2—7岁）。认知活动的特点是相对具体、不可逆、不守恒、以自我为中心、刻板。（3）具体思维运算阶段（7—11岁）。出现了可逆性和守恒性，可以进行群集运算。（4）形式运算思维阶段（11岁以后）。具体运算思维经过不断同化、顺应、平衡，逐步形成形式运算结构，即形成命题运算思维，与成人思维接近，达到成熟的思维形式。

皮亚杰的理论说明，一个人的思维发展有阶段性，每个阶段有自身的规律，发展阶段是按照固定的连续性顺序进行的。因此，对学生思维的培养应当遵循这些规律，明确每个阶段应当发展学生的哪些思维要素。

2.朱智贤、林崇德的儿童思维发展理论。

我国学者朱智贤和林崇德带领的团队，对儿童思维发展开展了长期的研究。他们的研究成果，可以主要概括为：（1）5—6岁是思维发展的第一个飞跃期，是从具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过渡期;（2）整个小学阶段逐步从以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主的形式;（3）小学四年级（约10—11岁）是数学概括能力发展的一个转折期，也是思维发展的关键期;（4）小学生从具体形象思维向抽象逻辑思维的发展存在着不平衡性。

这项研究表明，小学生的思维发展存在关键期，如果在关键期得不到有效的培养，那么他们的思维发展就会受到损害，从而影响他们在这个年龄阶段之后的思维发展。

（二）数学思维的发展

1.数概念的发展。

刘范等对我国10个地区959名7—12岁儿童数学概念的发展情况做了系统研究，选择了认数、数序和系列、数的组成、运算和应用等四个方面的研究材料。结果显示：（1）7—8岁阶段，儿童初步形成三位以内整数的概念系统，基本掌握三、四位数范围内的“相邻数”“认写”“比大小”“图与数”等项目，一般只能从二维空间认知图形;（2）9—11岁阶段，儿童关于整数、小数和分数的概念系统处于巩固和形成的过程中，基本掌握万以上的整数，小数和分数的概念开始形成，逐步由在二维空间认识图形向在三维空间认识图形过渡;（3）11—12岁阶段，儿童整数、小数、分数的概念系统逐步趋向统一，一般都能较好地掌握整数、小数概念，基本掌握分数概念，逐步形成三维空间观念。

林崇德对小学生数概念及运算能力的发展做了研究。首先，确定小学生的数概括能力为五个水平等级。（1）直观概括水平：依靠实物、教具或配合手指来掌握10以内的数概念。（2）具体形象概括的运算水平：掌握一定整数的实际意义、数的顺序和数的组成。（3）形象抽象概括的运算水平：掌握整数、小数和分数的实际意义、大小、顺序和组成，掌握一些几何体的定义和有关计算公式。（4）初步代数概括的运算水平：能用字母的抽象代替数字的抽象，能初步列方程解应用题，开始掌握算术范围内的交集与并集思想。（5）代数命题概括的运算水平：能根据假设进行概括。

在此基础上的研究结果表明：小学儿童的数概括能力发展水平，既表现出比较显著的年龄特征，又存在着个体差异。具体而言，7—8岁儿童基本上属于具体形象概括;8—10岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括过渡，且大部分儿童在三年级就完成了这个过渡;10—12岁儿童大多数进入初步本质抽象的概括水平。其中，10—11岁儿童在数概括能力发展中有显著的变化，这是小学生掌握数概念中，从以具体形象概括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式的一个转折点。

2.空间观念的发展。

吕静等研究了儿童面积等分概念的发展。结果表明：（1）儿童7岁以前基本上没有面积等分概念，8岁才出现面积等分概念的萌芽，9—10岁介于萌芽和过渡阶段，11岁才达到基本掌握阶段;（2）儿童面积等分概念的认知水平发展是形与数的矛盾统一过程;（3）儿童认知水平的发展是由直接感知占主导地位逐步向抽象推理的间接认知占主导地位的转化过程，但不论哪种认知成分占主导地位，常有其他许多种认知成分同时起作用;（4）同种认知成分在不同年龄阶段所起的作用有不同质的变化;（5）在面积等分概念中，7岁后的教育有效性才显著增加。

赵淑文等对学生容积概念的发展做了研究。結果显示：（1）8—15岁学生对容积变化的认知随年龄而增长，12—15岁是迅速发展时期;（2）从认知水平看，可以依次分为任意性回答、凭直接感知进行推理、靠表象概括和推理、运用概念进行逻辑推理四种;（3）8—15岁儿童对容积变化的认知错误表现有，混淆面积与体积，分不清体积与高度，分不清容积变化的数量与空间的相应位置;（4）8—15岁儿童描述某些物理现象或以数量表示某些物理现象的变化时，可能答案是正确的，但对其的解释却是错误的，表现出认知水平的若干差异。因此，在教学活动中，教师不应满足于儿童卷面答案的正确，而应进一步了解儿童理解的深度以及思维的方式等。沈家鲜等的研究结果与上述结果类似。

3.其他数学思维的发展。

刘范等的研究表明，在交集概念的发展方面，小学生已经具有掌握简单交集概念的心理基础，对交集的认知结构包括直接认知（感知和操作）、间接认知（表象推理和逻辑推理）等成分的动力系统。

张增杰等的研究表明，兒童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起，简单概率概念的发展加速，这是易于传授概率知识的时期;对概率的认识可按次分为三步：认识事件的可能性和随机分布，认识可能性的相对大小，以数量表示概率。

思维的发展很大程度上表现在推理方面，这方面有许多研究。比如，孙红梅等的研究表明，小学五年级学生在进行归纳推理时与成人的表现相一致，小学一年级和三年级学生在基于概念的归纳推理方面还处于过渡期。

（三）思维发展的训练

1.思维品质训练。

思维品质是反映思维质量高低的重要指标。要使思维得到发展，思维品质起着举足轻重的作用，也就是说，思维是否得到发展应当以思维质量的高低来判断。例如，思维的深刻性不高，就不能认为逻辑思维得到了有效的发展。因此，许多学者都十分注重对思维品质的培养。

林崇德采用一系列干预手段来训练学生，以提升他们的思维品质。如：通过提高运算速度的训练，培养思维的敏捷性;通过“一题多解”和“一题多变”，培养思维的灵活性;通过概括能力和推理能力的训练，培养思维的深刻性;通过自编题目的方式，培养思维的独创性。这些方式对学生思维的发展产生了积极的推进作用。

2.推理思维训练。

孙红梅等的研究表明，在低年级学生进行归纳推理时呈现具体实物，有助于他们对呈现材料的记忆;帮助小学生理解规则并运用规则，有助于他们深层次的归纳推理能力的提高。

胡卫平开发了面向所有学科的“学思维”活动课程，其中的每个活动都包括四个环节：（1）活动导入，即创设情境，引起学生认知冲突，激起学生学习兴趣的环节;（2）活动过程，即按照活动的内部结构，组织学生观察、思考、讨论、实验的环节;（3）活动心得，即引导学生回顾整个活动，总结心得，引起反思的环节;（4）活动拓展。研究表明，学生在归纳推理、演绎推理、空间认知、类比推理和抽象概括能力上都得到了显著提高。

3.系统思维训练。

陈德煜等对小学三年级学生开展了数学思维能力训练的实验研究：结合数学教材内容编写训练题，用一定的时间安排逻辑思维方法教学。内容分为七个单元：概念的理解与数量关系;概念的联系与判断;比较、抽象、概括和推理;分析和综合训练;认清条件，分析和解决问题;一题多变、一题多解训练思维的灵活性;解决难题训练。例如，比较和概括能力的训练要求如下：使学生通过比较条件类似或提法略有不同的应用题，概括出它们的相同点和不同点，加强对数量关系的理解，提高解答应用题的能力。方法如下：按照“学生独立审题—按问题完成作业—共同讨论答案—师生合作概括结论”的步骤教学。研究结果表明，实验班学生的逻辑思维能力得到了明显的提升。

4.元认知训练。

郭成研究了元认知训练对小学生数学解题能力的影响：以元认知外显训练、元认知内隐训练和一般思维策略训练三种方式，对小学五年级学生做了实验。元认知内隐训练是通过教学示范让学生自己体会、感受元认知策略的有效性，并不特意地以一些明显的外显操作活动和要求来告诫学生。元认知外显训练是以一些明显的外在操作活动和要求来指导学生怎样学习、怎样掌握，其操作程序如下：（1）结合例题向学生讲解关于元认知的知识;（2）以展示元认知监控的教学思路向学生讲解应用题的解题策略，并告诉学生这种策略的使用对成功地解决应用题的有效性;（3）设计并使用专门的“元认知监控单”对学生进行提示性练习;（4）要求学生运用出声思维（说出理由）进行自我指导，监控思维活动。研究结果显示，小学数学应用题解题的元认知外显训练和内隐训练的效果明显优于一般思维策略训练的效果，能更有效地促进小学生应用题解题能力的提高，但总体上，元认知外显训练和内隐训练的效果没有显著差异。

5.思维训练融入教学。

张梅玲开展了十年的“现代小学数学”教学实验，在总体设计上，把对主体认识对象的客体的建构（小学数学知识内容）和对主体对客体认识的发展规律的研究有机地结合起来。（1）建构知识的主线。例如，以“1”为基础标准，揭示小学数学中部分与整体的关系。实验教材循着“1”这条发展线索把整数、分数、百分数、比值等概念基本上构建在一个系统中， 并用“1”说明它们之间的内在联系和层次之间的过程。（2）提出建构知识的原则。包括：抓基础，促迁移，使学生从学会转化到会学;寓辩证法于教材，萌发小学生的辩证思维;寓教法于教材，增加学生在教学过程中的参与度;抓训练，促发展，使学生在掌握知识的同时发展智能。（3）提出许多具体的教学策略。例如应用题教学的一些策略：口头表述训练、设景激活表象、图形表征帮助理解、变式训练、完善知识结构等。实验结果显示，学生的数学思维得到大幅度提升。

二、对小学数学教学的启示

数学教学的任务不仅是帮助学生掌握基础知识、形成基本技能，更重要的是发展学生的思维。小学阶段是人的一生中思维发展的关键时期，如果在这一时期不注意发展学生的思维，那么对他们后续的思维发展是极为不利的。对此，小学数学教学应该做好以下几个方面的工作。

（一）把握年龄关键时期，有目标地培养

从上面对心理学研究的概述中可以看到，儿童的思维发展是存在年龄规律的。因此，在小学数学教学中，应当根据这些规律，在儿童思维发展的关键时期进行有针对性的培养。具体地，不同时期的主要培养目标如下：在9—11岁，注意发展学生的小数、分数概念，培养学生的空间能力;在10—11岁，着力培养学生的空间观念和空间想象能力;在8—10岁，注意发展学生的形象抽象能力;在10—11岁，注意培养学生的抽象概括能力。

比如，对推理能力的训练可分为三个层次。（1）直观形象推理训练，多安排在低年级。学生可以从已有的生活经验出发作出判断推理。训练题目多以直观图形显示数量关系以及事物的逻辑关系，引导学生通过观察图形、比较分析作出判断，逐步使用“因为……所以……”的句式有条理地表达思维过程。（2）抽象概括思维训练，多安排在中年级。抽象概括是通过案例找出一类事物的共同属性或本质特征的思维形式，抽象概括思维的水平直接影响逻辑推理思维的水平。抽象概括思维的训练可采用找规律、寻共性的方式，培养学生的观察能力和归纳能力。（3）三段论式推理训练，多安排在中年级和高年级。可以逐步引入三段论推理方式，使学生循序渐进地接受形式逻辑推理，从而养成相对严谨的逻辑思维习惯，形成初步的逻辑思维能力。

在学生思维发展的关键时期进行有针对性的训练，可以考虑以下两种方式：

其一，组织材料进行专题训练，即选取与思维发展相关的学习材料，让学生学习。这些材料并不囿于教材内容。

例1（1）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入图1中问号处，使之呈现一定的规律性（）

（2）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个，使之符合图2的规律性（）

这里，图1中图形的变化规律为图形顺时针旋转90°，圆内增加一个小方块，依此规律，只有D选项符合;图2中图形的变化规律为长线段顺时针旋转90°，短线段顺时针旋转45°，依此规律，只有B选项符合。本题的材料是教材外的内容，但可以训练学生的图形推理能力，进而发展学生的直观想象能力。

其二，融思维训练于日常教学。在数学教学中，对学生的思维训练应当做到：不仅要知道怎么做，而且要知道为什么这样做（比如，不仅要掌握算法，而且要理解算理）;不仅要理解知识的内涵，而且要体悟深藏于知识中的思想方法;不仅要注重演绎推理的训练，而且要强调归纳与类比推理的训练;不仅要感知数学的科学特质，而且要体会数学的文化特征。在解答问题的过程中，要遵循形式逻辑的基本规则，言必有据。

（二）开展数学阅读训练，有根基地培养

数学阅读的心理过程一般包括以下四个方面：

第一，内化。内化是指个体将外部信息转化为内部信息的过程，包括选择性编码和语言互译两个环节。

选择性编码是指个体从所给的信息中选择有用信息、排除无关信息的加工过程。选择性编码的另一层含义是将一些比较隐蔽的信息从信息源中选择出来。

例21952年的一天，苏珊正在翻弄一个小本子，查找着什么。

“这是过去的日记。”她说，“我想看看某年某月最后的那一天都记了些什么，那是我们初次相遇的日子。”

“我认为那一天是很有意义的。”萨姆特地关掉收音机，对苏珊说，“如果你把那个月份最后一天以前的日数加到那一年其余月份中大月超小月的数值上，你就可以得出我们初次相见以后那个月份的天数了。”

萨姆想了一会儿，又说：“而且那一天的日期等于那一年年代数的前两位数字与后两位数字之和。”

苏珊对她丈夫的难题习以为常。不过，她日记中记载的那个日子到底是哪年哪月的几号呢？苏珊一时难以回答。

你能否帮助苏珊解答这个问题？

要解答这个问题，必须先阅读上面的材料，对有关信息作出合理的选择性编码，找到解题所需的条件及隐含条件。只有没有遗漏地选出以下有关信息，并作出正确的理解，同时除去其他冗余信息，才能为理解问题和解决问题奠定基础。

（1）过去的日记（隐含着那是1952年以前的事情）。

（2）那是我们初次相遇的日子（隐含着苏珊和萨姆当时都是年轻人，而且这个日子是唯一的）。

（3）那一天是某年某月最后的一天。

（4）关掉收音机（1912年才有实用收音机问世，因此暗示了要求的年代是1912年以后）。

（5）那个月份最后一天以前的日数与那一年其余月份中大月超小月的数值之和等于初次相见以后那个月份的天数。

（6）那一天的日期等于那一年年代數的前两位数字与后两位数字之和。

数学语言包括文字语言、符号语言、图形与图表语言。在阅读中，往往要对材料进行语言之间的互译。因为一个数学对象往往可以用不同的语言描述，所以阅读者应该采用多种语言描述该对象，从而全方位地认识它;或者把该对象的描述从一种语言转化为另一种语言，从而形成对它的最佳心理表征。

例如，对于例2中的阅读材料，需要将选出的信息5、信息6所给出的文字语言转化成符号语言，才方便利用数学工具解决相应问题：

设一年中大月数为M，小月数为N，所求月的天数为x，所求月以后那个月的天数为y，然后根据具体情况，对方程y=（x-1）+[M-（N-1）]进行讨论。

第二，理解。对阅读材料的理解，要经过从局部到整体的加工过程。阅读者首先内化局部信息，然后逐步找出各信息之间的联系，最后整体加工信息，建立新信息与自己认知结构中已有观念的联系，利用已有知识与新信息之间的作用来达到理解的目的。

第三，推理。数学阅读材料通常由概念、命题、模型、例题及习题等组成，这些内容都与推理有关。所以，数学阅读过程就是一个推理的过程，需要阅读者具备一定的数学知识，掌握基本的逻辑推理规则。

第四，反省。反省贯穿于整个数学阅读过程中，主要表现为自我提问。这个过程是训练学生元认知的过程。

上面四个方面反映出，数学阅读对思维训练具有独特的、不可替代的作用，而这种作用只有在实际阅读的过程中方能显示出来。苏霍姆林斯基说过：让学生变聪明的方法不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读。一个阅读能力不好的学生就是一个潜在的差生。如果在小学里没有教会学生迅速地阅读，那么在日后的学习中，学生就会遇到无法克服的困难。可以说，数学阅读是数学教学中思维训练的根基。

对学生进行数学阅读训练，主要有以下两种方式：

其一，课外阅读训练。即教师给学生选择课外阅读材料，供学生课外阅读。选择的材料要适合学生的具体情况，内容可包括数学发展史、数学家传记、数学在生活中的应用、趣味数学、数学文化等，而不是数学习题解答。通过数学阅读，学生可以开阔视野，领略数学家科学研究的奋进精神，体会数学在现实生活中的广泛应用性，欣赏数学美，更重要的是，可以训练用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，提升数学素养。

其二，课堂教学渗透阅读训练。其方式有很多，如：（1）问题导向阅读，即在阅读材料中适当的地方插入问题让学生讨论，以引领学生阅读;（2）提纲引领阅读，即根据阅读材料或设置的问题列出阅读提纲，让学生按照提纲阅读，使学生在阅读前了解读什么、怎么读，即对阅读的内容、目的、方法有基本的了解、尝试和期待。教学中，还可以通过指导和交流，让学生尝试提出阅读问题，编写阅读提纲。

（三）强调自我监控内化，有策略地培养

元认知包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个维度。其中，元认知监控也称自我监控，是指个体对自己思维过程的监视、控制和调节。显然，自我监控与思维的发展密切相关。在教学过程中，教师要有意识地对学生进行元认知监控的训练。

使用“元认知监控自我提问单”是训练元认知监控的一种有效策略。“元认知监控自我提问单”一般由一系列问题组成，主要用在问题解决的过程中。

一开始，可以由教师设计提问单，引导学生就提问单上的问题进行思考，并以出声思维的方式进行练习，逐步养成自我提问的意识和习惯，即由教师的外部监控逐步过渡到学生的自我监控。

例3有一批零件，按4∶9的比例分配给师徒两人同时加工。师傅每小时加工25个，徒弟每小时加工的个数比师傅少25。徒弟完成任务后，继续帮助师傅共同加工了3.5小时，才完成任务。这批零件共有多少个？

像这样结合了比例和未知数的题目，需要学生先对复杂的条件进行简化，将师徒二人的速度计算清楚，随后根据分配零件的比例关系列出等量关系方程进行解答。对此，教师可以列出如下提问单：

（1）理解题意阶段：题目中包含了我们学过的哪些数学知识？题目的条件是什么？题目的目标是什么？以前见过类似的题目吗？题目的条件有没有转化成数学语言？复杂的条件能不能细化分解？

（2）尝试解答阶段：能不能画一张图帮助理解问题？再次读题后，我准备怎么解決问题？能否利用以前解答过的问题的思路解决当前的问题？能否找到题目中的等量关系？题目的条件能否全部用上？列出的等式左右两边是否相等？

（3）实施计划阶段：如何实现我的求解计划？每一个步骤都是正确的吗？

（4）检验总结阶段：解答后，我检验了吗？解决这个问题还有没有更好的方法？能不能把这个结果或方法用于解决其他问题？

在教学过程中，教师要对学生的回答及时作出评价反馈，纠正其错误的想法，引导其正确的思维。

学生熟悉了“元认知监控自我提问单”的使用方法后，可以根据遇到的不同类型的题目改变提问单的具体内容，渐渐地将这种书面化的训练方式内化为自觉的思维过程。

（四）突出合情演绎并重，有方向地培养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将逻辑推理定义为：“从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。”其实，第一类就是波利亚所说的合情推理。因此，对于发展学生的思维而言，合情推理和演绎推理是同等重要的两个方向。

逻辑推理的教育价值表现在三个方面。（1）通过逻辑推理的训练可以培养学生思维的严谨性。演绎推理必须依据已有的命题，严格遵循逻辑的规则来进行，因此，这种思维是严谨的。通过学习数学培养思维的严谨性，是其他学科所无法替代的。（2）通过逻辑推理的训练可以培养学生提出问题的能力，因为提出问题更多地依赖于合情推理。（3）通过逻辑推理的训练可以培养学生思维的批判性和独创性，因为思维的批判性主要表现为善于独立思考、提出质疑，能及时发现、纠正错误，能对自己解决问题的过程进行评价，而思维的独创性主要表现为思维结果的新颖和独特。

在小学阶段，对演绎推理的要求不太高，但演绎推理又渗透到了许多内容中。比如，小学中关于数的运算，本质上就是运算律的直接应用，即典型的演绎推理。因此，事实上，从一年级开始，学生的演绎推理能力就在数学学习的过程中被训练了。

相对而言，在小学阶段，对合情推理的要求比较高，但合情推理出现得还不够多。这需要教师适当补充归纳推理或类比推理的材料，有意识地训练学生的合情推理能力。

例4（1）图3是一块长方体木料（单位：厘米），求它的体积;

（2）利用图4中的长方体图形，想一想长方体的体积为什么这样计算。

第一问让学生简单运用长方体体积公式，而第二问则让学生思考长方体体积公式的由来，是训练学生合情推理的好材料。对此，可以引导学生按照下列过程思考：长是5，说明一行有个同样的体积单位;宽是4，说明一层有行这样的体积单位;高是3，说明有层这样的体积单位。计算这个长方体一共有多少个这样的体积单位，算式是，所以，长方体体积的计算方法是。

*本文系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（小学）系列文章之七。

参考文献：

[1] 林崇德.学习与发展：中小学生心理能力发展与培养[M].北京：北京师范大学出版社，1999.

[2] 刘范，吕静，沈家鲜，等.国内十个地区7—12岁儿童数学概念和运算能力发展的初步研究[J].心理学报，1981（2）.

[3] 林崇德.小学儿童数概念与运算能力发展的研究[J].心理学报，1981（3）.

[4] 吕静，张增杰，陈安福.5—11岁儿童面积等分概念的发展——儿童认知发展研究（Ⅳ）[J].心理科学通讯，1985（4）.

[5] 赵淑文，刘范.8—15岁儿童容积概念的发展——儿童认知结构发展变化研究之二[J].心理科学通讯，1983（4）.

[6] 沈家鲜，刘范，孙昌识，等.5—17岁儿童和青少年“容积”概念发展的研究——儿童认知发展研究（Ⅲ）[J].心理学报，1984（2）.

[7] 刘范，赵淑文.八至十五岁儿童交集概念和解交集数学题能力的发展研究——儿童认知结构发展变化的研究之一[J].心理学报，1983（2）.

[8] 张增杰，刘范，赵淑文，等.5—15岁儿童掌握概率概念的实验研究——儿童认知发展研究（Ⅱ）[J].心理科学通讯，1985（6）.

[9] 孙红梅，孙小越，阴国恩.小学生归纳推理能力的发展研究及培养策略[J].天津市教科院学报，2019（6）.

[10] 胡卫平，刘佳.小学生思维能力的培养：五年追踪研究[J].心理与行为研究，2015（5）.

[11] 陈德煜，李根娣，程卫.小学三年级数学思维能力训练报告[J].上海教育科研，1985（4）.

[12] 郭成.元认知训练对小学生数学问题解题能力的影响[J].西南师范大学学报（自然科学版），2004（1）.

[13] 张梅玲.探索道路上的十年——“现代小学数学”教学实验[J].心理科学，1993（3）.