高宏
(清华大学机械工程学院精密仪器系,北京 100084)
人类在自然界和社会实践活动中所遇到的各种运动大体可分为确定性运动和随机性运动两大类。确定性运动随时间的变化过程可用一个确定性的时间函数进行描述,如地球围绕太阳运动时的数学模型可用椭圆轨道方程准确描述。与确定性运动相反,随机性运动随时间不停地做无规律的变化,无法用确定性的时间函数进行描述,如液体中悬浮微粒的布朗运动,电子元件产生的热噪声和股票市场中的价格波动等。牛顿力学以质点作为研究对象,直接以牛顿运动定律为出发点来研究质点的确定性运动规律;爱因斯坦虽然对布朗运动现象进行了研究,但他以大量布朗粒子作为研究对象,建立了描述和阐明大量质点随机运动统计特性的布朗运动理论,但不能揭示单个布朗粒子位移随时间演变的特征及规律。因此,现有力学和物理学理论中缺少质点随机运动学和动力学内容,无法为自然科学、工程技术和社会科学提供描述单个质点随机运动规律的理论、方法和工具,导致其它学科在研究和分析动态随机现象时遇到难以克服的困难[1]。
本文基于人们对“随机运动的变化(速度)是完全随机的”这一经验和实验认识,提出了“质点随机运动速度等于白噪声”这一随机运动定律,在此基础上建立了质点随机运动学和动力学理论,不仅可描述并揭示单个质点随机运动现象、特征及规律,而且可为自然科学、工程技术和社会科学解决实际问题提供理论、方法和工具。
定义:设平稳随机过程样本函数n(t)的均值为零,如果其自相关函数
式中τ为时间间隔,N0为正实常数,δ(τ)为单位冲击函数,则称n(t)为白噪声。
式(1)表明,白噪声n(t)仅在τ=0 时才有相关性,在任何两个不同时刻的取值互不相关。故白噪声n(t)的时域波形为一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。
根据维纳-辛钦定理,平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换,可得白噪声n(t)的功率谱密度
即白噪声n(t)的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布。N0的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。
上述白噪声n(t)的定义是从自相关函数的角度给出的,并未规定白噪声n(t)在不同时刻取值的概率分布,因此白噪声n(t)可以有各种不同的概率分布。如果n(t) 在不同时刻的函数值服从(0,σ2)正态分布,则称n(t)为高斯白噪声,此时N0=σ2。高斯白噪声在任意两个时刻不仅互不相关,而且相互独立。
白噪声的功率谱密度在整个频域内为常量,表示其平均功率为无限大,这在实际中是不存在的。白噪声与“质点”概念一样,是一种理想化的模型,由于其功率谱密度为“常数”,自相关函数是一个“冲击函数”,因此在数学上具有处理简单、计算方便等优点。
根据质点位移、速度和加速度的变化情况,可将质点随机运动分为位移随机运动、速度随机运动和加速度随机运动三种情况。
设x(t)为随机运动的质点在t时刻的位移,则位移随机运动可表示为
式中n(t)为式(1)定义的白噪声。
速度随机运动可表示为
式中v(t)为随机运动的质点在t时刻的瞬时速度。
加速度随机运动可表示为
式中a(t)为随机运动的质点在t时刻的瞬时加速度。
观察自然科学、工程技术和社会科学中遇到的各种动态随机运动现象,如布朗粒子位移[2]、光纤陀螺随机游走误差[3]和股票市场价格[4],各种参量在下一时刻的方向和大小变化是完全随机的,均不能在结果出现之前预测其确切结果,即随机运动的速度没有确定性的规律,而且任何两个不同时刻的速度互不相关。因此,本文研究对象为式(4)定义的速度随机运动。
基于人们对“随机运动的变化(速度)是完全随机的”这一经验认识,以及爱因斯坦“布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”假设[5]和实际布朗粒子瞬时速度的测量结果[6],提出“质点随机运动瞬时速度等于白噪声”这一随机运动定律(基本公理),用数学公式表示为
式中x(t)为随机运动的质点在t时刻的位移,v(t)为随机运动的质点在t时刻的瞬时速度,n(t)为式(1)定义的白噪声。
表面上看,随机运动的瞬时速度v(t)似乎是毫无规律可言,但是通过观察所有时刻的瞬时速度v(t),就会呈现出某种固有的统计规律,如瞬时速度v(t)的均值为零,而且会呈现出某种概率分布,如布朗粒子的瞬时速度v(t)服从正态分布。
随机质点运动学只研究质点在随机运动过程中的位置与时间之间的数量关系,不追究质点随机运动发生的原因,因而不涉及质点的受力。
设x(0)=0,由式(6)可直接写出质点的随机运动学方程
式中的白噪声n(t)定义在[-∞,+∞]上,由于仅在区间[0,t]对其进行积分,从信号分析的角度看对n(t)进行了非线性处理,因此质点随机运动学方程为非线性时变数学模型。
基于式(7)的模型,不仅可研究质点随机运动的特征及规律,而且还能预测质点随机运动未来的发展趋势和变化结果。
式(6)的速度v(t)为质点随机运动的瞬时速度,在数学上它是位移x(t)的一阶导数。瞬时速度v(t)的波形与白噪声n(t)的波形相同,为一串均值为零、宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。质点随机运动在[0,t]区间的平均速度为
白噪声的功率谱密度在整个频域内为常量,表示白噪声信号中包含有所有频率的谐波分量。在[0,t]区间被整周期截断的谐波分量的算数平均值(直流分量)为零;在[0,t]区间不能被整周期截断的谐波分量会因频谱泄露效应而产生直流分量,特别是周期远远大于t的谐波分量,其波形在[0,t]区间就相当于直流分量。
根据概率论大数定律[7],算数平均值反映了白噪声中的确定性成分,当t充分大时,收敛于一个接近白噪声均值的常数。
式中N0为白噪声n(t)的平均功率。
由式(8),可得质点随机运动的位移公式
由式(10)可以看出,质点随机运动位移x(t)的运动特性完全取决于其平均速度的特性。当t较小时,x(t)波动剧烈,表现出很强的随机性;当t逐渐变大时,x(t)的波动幅度逐渐变小;当t充分大时,x(t)的运动轨迹趋于一条斜率为的直线,x(t)就成为牛顿质点运动学描述的匀速直线运动。
由式(6)的随机运动定律,质点随机运动的瞬时加速度为
即随机运动的瞬时加速度a(t)为白噪声n(t)的一阶导数。
由于白噪声信号n(t)的波形为一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲,因此n(t) 的一阶导数(无穷大)在数学上并不存在,但这不妨碍我们探讨a(t)的性质。
对白噪声n(t)在t时刻的正脉冲求导,当时间从左边趋于t时,它是一个强度为无限大的正脉冲;当时间从右边趋于t时,它是一个强度为无限大的负脉冲。因此,质点随机运动的瞬时加速度a(t)波形是一串均值为零、宽度无限窄、幅值无限大、方向变化极快的随机脉冲。
由式(7)的质点随机运动学方程,可推导出其位移自相关函数
式中τ为时间间隔。
式(12)表明,质点随机运动的位移x(t) 在很宽的范围内具有相关性,表明x(t)具有可预测性。事实上,根据式(10)的位移公式,我们根据质点随机运动过去的平均速度v¯¯(¯t)¯¯,就能对未来的位移进行预测。
随机运动现象虽然在时域无法用确定性的数学解析式来描述,但是在频域却可用确定性的数学解析式表示。例如白噪声n(t)的功率谱密度Sn(ω)在频域就可用式(2)的确定性解析表达式描述,因此,质点随机运动瞬时速度v(t)的功率谱密度为
式中N0为白噪声n(t)的平均功率。
从信号与系统的角度看,质点随机运动的位移x(t)和瞬时加速度a(t),可看成是白噪声n(t)分别激励积分系统和微分系统时产生的输出[8],因此位移x(t)和瞬时加速度a(t)的功率谱密度分别为
可以看出,质点随机运动位移x(t)的功率谱密度Sx(ω)与ω2成反比,x(t)为能量集中在低频段的红噪声,表明x(t)具有很大的惯性,在一定时间和条件下会保持原来的运动趋势和状态;质点随机运动瞬时加速度a(t)的功率谱密度Sa(ω)与ω2成正比,表明a(t)为能量集中在高频段的紫噪声。
随机运动质点的位移x(t)的功率谱密度Sx(ω)与ω2成反比,表明x(t)具有1/f分形特征和标度变换下的结构不变性(自相似性)。
由式(7)的质点随机运动学方程,可写出描述大量质点随机运动的随机变量模型
式中X(t)为随机变量,亦即大量样本轨道x(t)的集合;N(t)为式(1)定义的白噪声随机过程随机变量。
白噪声为各态历经随机过程,N(t)的统计平均与n(t)的时间平均在概率意义上相等,因此,可计算出X(t)的数学期望和方差
对于布朗运动,N(t)为服从(0,σ2)正态分布的高斯白噪声随机过程,则X(t) 服从(0,σ2t)正态分布,与爱因斯坦布朗运动理论完全一致。
牛顿运动定律是质点做机械运动时遵从的基本定律,本节应用牛顿运动定律分析和解决单个布朗粒子的动力学问题。
1827 年,英国植物学家布朗使用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时,发现微粒总是不停地在做无规则的运动。后来人们发现,这是一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的动态随机现象,如空气中的烟雾扩散、光纤陀螺中的随机游走和股票市场中的价格波动等,人们将这种无规则的随机运动统称为布朗运动。
布朗粒子的直径约为10-4~10-3mm,从宏观尺度看体积非常小,因此布朗粒子周围的液体分子通过碰撞作用于其上的力足以使其发生运动。布朗粒子周围的液体分子作用力可分为两部分:一部分是液体分子对布朗粒子的平均作用力,它表现为宏观的粘滞阻力;另一部分是引起布朗粒子不规则运动的随机碰撞力。布朗粒子每秒钟受周围液体分子碰撞的次数约为1019,故随机碰撞力是一种方向和大小变化极快的力。
考察一个质量为m的布朗粒子运动在水平面x方向上的投影,此时重力和浮力都不出现,则布朗粒子在某一时刻的动力学特征可用牛顿动力学方程加以描述
式中f(t)为布朗粒子在液体中运动受到的粘滞阻力,F(t) 为周围液体分子对布朗粒子高频碰撞产生的随机作用力。
式(19)就是著名的“朗之万方程”,可进一步改写为
式中γ为阻尼系数。
朗之万将随机作用力F(t)看成是零均值的正态白噪声[5],并认为在介质过阻尼的情况下,式(20)左边的惯性项作用可以忽略,推导出了简化的朗之万方程
即布朗粒子的运动速度为白噪声,与“质点随机运动速度等于白噪声”的随机运动定律一致。
朗之万对式(20)的求解结果虽然证明了“质点随机运动速度等于白噪声”,但结论与F(t)是零均值正态白噪声的前提假设相矛盾。
从上节的质点运动学已知,如果质点随机运动速度等于白噪声,则质点瞬时加速度的波形为一串宽度无限窄、幅值无限大、方向变化极快的随机脉冲,因此,式(20)左边的惯性项远远大于右边的粘滞阻力项,粘滞阻力项可忽略不记,因此正确的简化朗之万方程为
即布朗粒子受到的随机碰撞力F(t)是在高频段功率谱密度无限大的紫噪声,而不是功率谱密度在整个频域均匀分布的白噪声。
本文基于人们对“随机运动的变化(速度)是完全随机的”这一经验和实验认识,提出了“质点随机运动瞬时速度等于白噪声”这一随机运动定律,通过数学演绎推理方法建立了质点随机运动学和动力学理论,揭示出了质点随机运动的随机性与确定性、微观与宏观、时域与频域之间的内在联系,并通过质点平均速度和位移公式在质点随机运动学与牛顿质点运动学之间建立了桥梁,证明了在时域和微观尺度上表现出不确定性、不可重复和不可预测的质点随机运动,在频域和宏观尺度上具有总体的确定性和稳定性,同时也验证了一个哲学命题:随机性和确定性是对立统一的关系,随机性是确定性的表现形式,确定性存在于随机性之中。