高中数学辩证思维赏析

李莉莉

(四川师范大学附属中学 610066)

数学与哲学是两门独立的学科,同时又是两门联系紧密的学科.正如数学家Demollins所指出的那样：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；若没有二者，人们就什么也看不透.”恩格斯也指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，……”.在《普通高中数学课程标准(2017年版)》修订的基本原则中也要求：“坚持正确的政治方向……充分体现马克思主义的指导地位和基本立场……”.课程标准全书的表述中也渗透了辩证法的很多观点，本文将结合高中数学代数课程教学现状中的相关教学内容，对基于辩证思维的高中数学题型讲解策略展开具体的分析和探究.

一、辩证思维中对立统一的规律

高中代数中蕴含了丰富的对立统一思想，从不同的角度看问题，有不同的解法，会让我们对问题的研究更深入.

例1(2014年全国新课标Ⅱ文科21第Ⅱ问)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.

(1)求a；(a=1，解略)

(2)证明：当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.

赏析一(2) (虚设零点法)原命题等价于函数g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4与x轴只有一个交点，问题转为研究函数g(x)的图像性质.由g′(x)=3x2-6x+1-k，

①当Δ=36-12(1-k)=24+12k≤0,即k≤-2时,g(x)在R上单调递增,因为g(-1)=k-1<0,g(0)=4>0,所以存在唯一x0∈(-1,0),使得g(x0)=0,得证.

②当Δ>0,即-20,g′(1)=-2-k<0,所以0

由单调性，易知g(x)的图象与x轴只有一个交点,只需要证得g(x2)>0即可.

所以,当-2

综上可知,命题得证.

此方法从整体出发，直译条件，思维简单，在计算中使用了“反代消参”的方法,用零点x2来表示参数k,降低了计算的难度.

赏析二(2) (放缩法)从局部入手，考虑到1-k>0，可以采用放缩法去掉参数，变动为静，简化问题.

(1)当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,又因为g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.

(2)当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根，问题得证.

二、辩证思维中否定的否定在解题中的运用

否定之否定规律表明事物自身发展的整个过程是由肯定、否定和否定之否定诸环节构成的，揭示了事物发展的全过程和总趋势.事物都有肯定方面和否定方面，当肯定方面居于主导地位时，事物保持现有的性质、特征和倾向，当事物内部的否定方面战胜肯定方面时，旧事物就需要转化为新事物.高中数学解题思想方法中的补集思想，反证法就是否定之否定规律的具体运用.

三、辩证思维中已知与未知的相互转化在解题中的运用

我们在高中数学课堂上解决一类关于函数、方程、不等式的双变量(或多变量)的问题时，常常会用到“变更主元”的思想.实时转变观察和思考问题的角度，合理选择恰当的“主元”来解决问题可能更迅速.

例3(2006年四川卷文科21题)已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5，其中f'(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，若实数x的取值范围是____.

四、辩证思维中特殊与一般的转化

特殊与一般的关系反映了客观世界普遍联系的规律，因此数学解题中我们要充分利用二者的关系，将一般问题特殊化或者将特殊问题一般化来解决.

例4 已知(1-x)2(2x+1)5=a0+a1x+…+a7x7,则a0=____，a1+a3+a5+a7=____．

赏析由x∈R及式子结构特点，对x进行赋值.

令x=0，得a0=12×15=1．

五、辩证思维中相等与不等的关系

常量与变量间的相等与不等关系是最常见的两种数量关系，它们在一定的条件下可以相互转化，既可以由相等关系得到不等结果，又可以由不等关系得到相等的结果.

赏析本题如果用纯用三角知识求解，过程较繁，认真观察式子的结构特点，引入柯西不等式，实现了从不等向相等的转化：