构造法在抽象函数问题中的应用研究

刘建军

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

抽象函数尽管教材上没有提及，但是教辅资料上、高考试卷中出现了不少的关于抽象函数的题目.由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以很受命题专家的青睐.尽管学生预学了，老师们也深入浅出地讲解了，但学生作业和测试时依然感觉困难，甚至无从下手.于是，我对此问题进行了深入思考和研究.事实上，解决有关抽象函数的问题，主要是依据题设进行恰当地构造，在此过程中，需要学生把握抽象函数的本质，并合理应用.下面我们一起来感悟构造法的魅力，体会抽象函数的“神秘莫测”.

一、抽象函数的概念

我们把没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数.一般形式为y=f(x)，有的还附有定义域、值域等，如：y=f(x),(x>0,y>0).

二、抽象函数的常见形式

2.正比例函数型:f(x+y)=f(x)+f(y)；f(x-y)=f(x)-f(y).

5.周期函数型:f(x+T)=f(x)(T≠0).

三、构造法在抽象函数中的应用

1.构造方程

例1 定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2．求f(0)的值.

分析f(0)虽然是一个常数，但需要确定其具体值，因此我们可以将其看成一个未知数，依托题设“f(x+y)=f(x)f(y)”建立关于“f(0)”的方程.一个未知数只需一个方程，于是解法就确定了，令x=y=0即可求解.

解令x=y=0得，f(0+0)=f(0)f(0).

移项整理得，f(0)[1-f(0)]=0.解得，f(0)=0或f(0)=1.

下证f(0)≠0：

令y=0得，f(x)=f(x)f(0).若f(0)=0，则f(x)=0.此与f(1)=2矛盾.

所以f(0)=1.

评析本问题中应注意增根的甄别.学生可以从一次方程最多有一个根入手，但学生一般不具有这个理论高度.我们老师通常是在指数函数的性质“f(x+y)=f(x)f(y)”引导下注意到的.排除的过程也带有一定的经验主义，因此抽象函数教学应该遵循螺旋上升的原则.

2.构造特殊值

例2定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)．求证：对任意x∈R，都有f(x)>0.

分析“当x>0时，f(x)>1”这个条件比结论范围更高，只能作为辅助条件使用，条件“f(x+y)=f(x)f(y)”的右端出现了乘积式，为构造平方式提供了机会，因此同一变量即可.进一步处理关键问题，排除平方式不为零，这需要精准构造.

下面证明f(x)≠0：

假设存在x0∈R，使得f(x0)=0，则对任意x>0，有f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x-x0)f(x0)=0.这与已知当x>0时，f(x)>1矛盾.所以不存在f(x0)=0的情形.所以对任意x∈R，都有f(x)>0.

评析本问题难点是构造x0，并排除f(x0)=0，这需要深刻理解题设中的两个抽象等式，并合理运用.同时，构造不等式与排除特殊值要同时兼顾，否则都会陷入僵局.

3.构造单调性的定义式

例3定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2．解不等式f(3-2x)>4．

分析此不等式是由抽象函数构造出来的，必须利用函数的单调性解答.为此，要做两个准备.一是将右端的4等价变形为f(x0)，这里的x0待定；二是证明本函数的单调性，这里务必紧扣单调性的定义.

解任取两个实数x1，x2，且x10.由已知得，有f(x2-x1)>1．

于是f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)f(x1)>f(x1).所以f(x)在R上递增.

等价拆分x2.

评析本问题中对于初学者来说，不容易想到，必须深刻领会已知的“f(x+y)=f(x)f(y)”，构造出这种结构并恰当放缩才能得到定义所需要的f(x1)，f(x2)的大小.

分析一般地，判断函数的单调性的方式是知道某区间内两变量x1，x2的大小的情况下，依据f(x1)，f(x2)的大小，由定义判断而得.本题由于函数关系不明确，所以无法通过常规的方式解答，只能挖掘抽象关系，借助定义判断.

解f(x)在(0，+∞)上是单调递减函数．

下面证明之.

所以f(x2)

评析本问题中任取两正实数对于学生来说，很难想到，必须深刻领会已知的“当x>1时，f(x)<0”，并恰当构造“x>1”才能得到定义所需要的f(x1)，f(x2)的大小.

4.构造奇偶性的定义式

例5 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+1，求证：f(x)+1为奇函数．

分析本问题首先需要学生理清要证什么，其次才是怎么证明.将f(x)+1看作一个整体h(x),即h(x)=f(x)+1.要证h(-x)=-h(x)，即证f(x)+1=-[f(-x)+1].解题过程就朝着这个目标前进.

证明令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1.

令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)+1，即-1=f(x)+f(-x)+1，所以f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1].所以f(x)+1为奇函数．

评析抽象函数奇偶性的判断，关键是探究f(x)与f(-x)的关系．往往需要通过赋值法扫除障碍，构造出所需关系式.分析法在解题中有重要作用.否则极易出现思路混乱，逻辑不清.

5.构造周期性的定义式

解因为f(x+6)=f((x+3)+3)

(1)

(2)

所以f(x)的周期T=6.

因为当1≤x≤3时，f(x)=x，所以f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)

评析构造(1)式有一定的前瞻性.为了让抽象关系式中的负号消失，我们务必利用两次这个抽象关系式，可以理解为“负负得正”，进而构造出周期关系式.f(4)，f(5)，f(6)的计算也需要构造已知的抽象关系式.

6.构造中心对称

A.0 B.mC.2mD.4m

解由f(-x)=2-f(x)得f(x)-1=-[f(-x)-1]，于是函数h(x)=f(x)-1是奇函数.而f(x)=h(x)+1的图象是由h(x)的图明向上平移1个单位而得.

所以f(x)关于(0，1)对称.

因此对于每一组对称点xi+xi′=0，yi+yi′=2，

故选B．

评析本题构造对称中心是关键，一个是已知函数，一个是抽象函数，依托已知函数去论证抽象函数，思路上是先猜后证.符合数学的研究规律.对学生的思维要求较高，不愧为是当年(2016)的高考把关小题.

7.构造轴对称

例8 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有横坐标和为( ).

A.0 B.mC.2mD.4m

分析本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质．根据已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x)，分析函数的轴对称性，可得函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．

评析y=|x2-2x-3|的对称性受翻折变换的掩饰，部分学生会“受骗”，不能很好地运用对称性化简问题.m的奇偶性对问题也有一定的干扰，使得f(x)=f(2-x)导出的对称轴难以发挥作用.

四、教学反思

抽象函数问题本身比较复杂，我们在教学中应加强研究，研究学情，研究教法.本着螺旋上升的教育理念，我们可以在必修一第二章结束后安排这个内容.学生学完幂函数、指数函数、对数函数后，再学抽象函数，有助于学生对此概念理解，建议不在《函数及其表示》一节开展这方面教学.单元整体设计是突破这个难点的一种好办法，第二章的体例是先介绍函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、图象等函数通性，再通过三个重要初等函数：幂函数、指数函数、对数函数的学习加深对理论的理解，再从特殊到一般，研究抽象函数，教学效果应该不错.在这过程中，我们要注重数学思想与方法的渗透，如方程思想，消元法等.