宏观布局 微观处理 强化联系 顺学而导——从变化的角度赏析一堂省级展示课的教学设计

朱宸材 (江苏省无锡市侨谊实验中学 214000)

数学变换方法有着深刻的哲学思想基础.辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化．由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的特点，它对数学教学研究必然是有启发性的．前不久，江苏省苏州市特级教师工作室的领衔人耿恒考老师在凤凰网数学讲坛视频直播展示了一节“全等三角形复习”的公开课，充分展示了数学的变化之美和变化之魅，给笔者和观看直播的观众留下了深刻的印象．现将这节课的教学设计进行流程回顾和复盘赏析，不当之处敬请指正．

1 教学设计回顾

1.1 知识回顾

问题1请同学们想一想，《全等三角形》一章中，学习了哪些重要知识？

设计意图让学生自主回顾本章重要知识点，教师根据学生回答情况进行重点指导，目的在于让学生巩固已学知识，同时培养学生进行总结的能力．

问题2如图1，已知在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，要使△ABC≌△ADC，需要再增加一个条件是.

图1 图2

问题3如果将上述条件“AC平分∠BAD”换为“∠B=∠D=90°”，如图2，则需要增加一个条件，才能使△ABC≌△ADC.

设计意图问题虽小，但变化多样．利用两个简单的开放题对本章的重点知识“三角形全等的几种判定方法”进行复习巩固，先从简单的变化开始，理解满足全等的基本条件有哪些，同时考虑如何进行相关的组合易为学生接受，如何进行全等证明方法方面的总结．

1.2 问题探究

如图3，已知C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作两个等边三角形△ACM和△BCN，连结AN，BM．求证：AN=BM．(苏科版八年级上册第一章复习题)

图3

思考：根据本题的条件，你是否还能得出其他结论？

拓展：①如图4，如果线段AN与BM相交于点O，你能知道∠BON是多少度吗？

图4

②若AN与CM,MB与CN分别相交于点D,E，连结DE，你能证明DE∥AB吗？△CDE是等边三角形吗？

③延长线段AM,BN交于点F，判断四边形MCNF是什么四边形.

④如果G,H分别是线段AN,BM的中点，线段CG,CH的长相等吗？△CGH是等边三角形吗?

⑤若连结OC，则OC平分∠AOB，你知道为什么吗？

变换：①如图5，如果点C为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，那么线段AN与BM还相等吗？∠AOB的度数是多少？

图5

②如图6，若将其中一个等边三角形ACM固定，使另一个等边三角形CBN绕点C任意旋转一个角度，则线段AN与BM还相等吗？∠AOB的度数是多少？

图6 图7

③若将原题中“等边三角形ACM和等边三角形BCN”换成两个正方形(图7)，AN与BM的关系如何?若将其中正方形ACMF固定，使另一个正方形绕点C任意旋转一个角度，如图8，上述结论还能成立吗？

图8 图9

④若将原题中的“等边三角形ACM和等边三角形BCN”换成“以AC，BC为腰，点C为顶点的等腰三角形”(图9)，AN=BM还成立吗？为什么？如果要成立，至少要增加一个什么条件？

设计意图①利用一个课本习题不断地拓展、步步深入，在推陈出新中使学生的发散思维得到训练，创新精神得到激发；②通过原题的不断变形，感受特殊和一般的关系，体会运动型问题中的“动中求静”思想，学会用类比的方法解决问题；③通过学生自主探究，提升独立思考和分析问题、解决问题的能力，通过小组合作学习，增强团队合作学习意识．由此，学生探究复杂问题的能力得到提升，学习经验不断丰富．

1.3 感悟总结

请同学们说一说，通过本节课的学习，你有什么收获和体会？

设计意图让学生畅谈刚才探讨问题过程中的收获和感受，交流个人见解，同时提出自己还存在的问题和困惑，期待得到其他同学和老师的帮助．

2 复盘与赏析

2.1 变化中体现知识内部联系

一切事物都是由局部构成的有机整体，局部与整体是密切联系的．局部与整体的关系反映在认识论上，不仅是辩证统一相互依存的，也有着自然的逻辑链和顺序性；反映在教学策略上则是抓住问题的主要矛盾，循序渐进、有条不紊地推进主题教学．面对课堂教学，我们常常有这样的感受：过于注重局部会抓不住重点，而过于强调整体则有可能在细节上产生疏忽或偏差．明代思想家、军事家王阳明曾说:“知是行之始，行是知之成．”知行合一的教学观才能够解决教学中知识的内部联系问题．基于本课，基本图形和常见全等证明方法是教学的起点，正所谓万变不离其宗，找到三对符合条件的等量关系是全等证明的抓手和源头，让源头活水不断地流淌则体现了变化发展的教学理念，在变化中寻找解决问题的不变思路的方法就是厘清知识内部的逻辑联系．所谓的内部联系，即教师根据本课的教学目标，在学生的认知水平和起点能力上搭建桥梁，促成目标达成的过程．

2.2 变化中催生思维自然生长

章复习课不是对整章内容的简单重复，更重要的价值和意义应当是通过对知识的深入挖掘和再认知，形成知识系统，促进数学思维的发展和数学能力的提升．这就需要教师精选研究的方向，小口径地选择研究的切入点，通过连点成线、以点带面的研究方法来实现统观全局的最终目的．这也需要教师引领学生通过步步深入的探究，分析解决成体系的问题，通过问题链的逐次解决，加深学生对已有知识的理解和建构，形成方法层面上的归纳和凝练，使前后知识融会贯通，不断拓展学生思维活动的深度和广度.本节课的问题探究是对常见问题的不断挖掘和发现过程，问题的解决过程形成的一条知识链自然地串起了散落的知识点，而知识链又不断发散，通过新得到的结论进一步解决新的问题，问题解决成为学生思维自然生长的动力.这种“问题解决—具体体验—探究思考—思维生长”的过程，符合学生的认知规律，体现了数学学习的本质特点．随着数学活动经验的不断积累，学生的数学知识和能力不断地提升和发展，逻辑推理和数学思维能力在变化中不断孕育生长.

2.3 变化中提升数学素养和能力

要在数学课堂上落实素养和能力，一个比较好的途径是通过问题的挖掘不断地向纵深方向进阶，从而使思维得到发展、能力得到提升.对于问题而言，贴近学生是最为重要的．根据学生现有的能力和水平设计适合他们研究的问题，优化教学的路径，对于学生数学素养的培育是十分有效的.问题2的延伸和拓展就体现了以上的思路，在低起点、小步子、多视角、全方位的设计理念下，以基本全等三角形为载体，以图形中数量关系和位置关系的证明和推导为主线，以数学思想方法的渗透为导引，让学生在问题推进中寻找方式方法，在答疑解惑中暴露思维过程，在发现问题和解决问题的过程中体会成功的喜悦，从而真正实现核心能力发展的目的.以主线引领充满变式的教学过程，是学生的多元思维、发散思维、创新思维不断完善的过程，也是在思维活动中培养并发展核心能力的过程.在本节课的教学中，执教者最显著的特点是尽量多地给学生展示解决问题方法的机会，使学生在思考、合作、表达、展示的过程中提高对全等三角形整章内容的理解，自然也能从更高的视角俯视已学知识，生成新的内容和思考．本课的核心之处是发展学生的逻辑推理能力，显然从特殊到一般的教学安排，及归纳和演绎两方面的训练，使学生的“四能”得到有效的锻炼.“知终才能明始，回望方能明理”，学生在解决问题后的再回顾，让问题解决的思路更加明晰，反思与建构发挥更大的作用，不知不觉间其数学素养和理性精神被唤醒，最终让数学学科育人目标的实现成为可能.

3 感悟与收获

章节复习课不是知识点的简单累积，它的重要价值是在系统思维指导下，对本单元知识(数学内容结构和数学方法结构等)进行归纳整理，使之条理化、结构化、关联化、整体化，帮助学生形成本单元的知识链条和结构体系.基于以上理念，本课从以下三个方面进行了探索和实践.

3.1 宏观布局，微观处理

课程标准指出，数学教学应渗透数学思想，提高整体认知.教师要关注知识异同方面的内在逻辑联系，在从宏观上建构数学体系的同时，在微观上进行有效实施.于是，作为复习课的一次尝试，本课的一大特点是注重在整体建构下的微观实施.问题研究伊始，每一个拓展过程都是一个微操作过程，在保持主问题不变的前提下，加入新条件进行研究，新结论不断产生，得到的系列结论又成为后面问题的条件，进而再探究、再发现，循环往复.这样的好处在于，通过精巧细致的腾挪旋转，问题的研究越来越走向丰富和全面系统，作为研究工具的全等三角形的价值属性被自然凸显.微观处理的一大特点在于细节处的精妙变化，如同一位高超的钢琴大师，在完整乐谱的指引下，双手不断地在琴键间跳动飞舞，弹奏出一曲动人的乐章，令人陶醉，引人入胜，发人深省.

3.2 整体视角，强化联系

数学的整体性并非整章知识点的简单堆砌．要做到整体视角，首先要对全章的内容了如指掌，知识点间的内部关联更应当是了然于胸．在整体与部分之间和部分与整体之间，架设起前后关联的桥梁．桥梁的铺设既要关注知识点间的前后逻辑联系，也要关注横向和纵向的关联，做到整体视角下的内部紧密关联．本节课的核心出现在问题探究环节，虽然问题的原型仅有一例，还来自于教材，但问题挖掘过程中的思维含金量和问题串的设计遵循了逐问展开、逐层深入、逐题解析、逐步揭示的流程，水到渠成地完成了系列探究任务，实现了知识整体性理解的数学课堂教学目标.从整堂课问题的设计可以看到，设计思路和问题延伸体现了既见树木又见森林的特点，在强化内部联系性的同时，突出了教学过程的灵活性，在深化全等三角形知识的同时，进一步找到了解决全等问题的思路和线索，也给学生今后研究此类问题指明了方向.另外从课堂观察中也发现，教师每提出一个新的问题，学生在解决的同时不是简单的就题论题式地解答，而是从中归纳出解决一类问题的通性通法.这样的好处在于，当学生遭遇本节课没有研究到的问题时，也能用所学的知识和方法尝试解决，他们在共同研讨、形成共识、找到方法的过程中，内化吸收、整体构建，为后续问题的深入研究提供了可以借鉴的方法.同时，教师这样的处理方式，即使面对能力层次有差异的不同学生，也能由易到难娓娓道来，收放自如．

3.3 顺学而导，注重交流

教学是一门技术，需要教师潜心研究，指导学生不断钻研；教学又是一门艺术，需要教师顺学而导，指导学生合作交流.复习课的教学也应当遵循教学的基本规律.教师的教本质上是为学生的学服务的，为学生在疑难之处进行适当的牵引、指导，润物无声中“铺路搭桥”，不失为一种推动思维走向深入的好办法.不难发现，教学中第二问变化中的①②两题，在原型问题中稍加旋转，一方面体现了运动的思想，另一方面在新结论的探究中显得自然不突兀，为学生进行交流合作解决③④两问提供了可能.当学生在处理③④问的变化遇到困难时，执教者让学生通过读题找到困惑之处，通过类比分析、小组合作等方式寻找突破口，使学生体会到解决复杂问题的常用方法，为今后解决类似的几何问题积累了经验.顺“认知规律”而导，以“数学思维”为变，从问题解决中促进对核心概念的理解，在交流和合作中拓展学生思维的深度和广度.

波利亚认为，教师应当通过一个并不算特别复杂的数学问题的讲解，去挖掘问题涉及的各个方面，问题的研究如同给学生打开了一扇窗户，带他们进入了一个完整的研究领域．案例研究可以使优秀教师的教学经验得到传承和分享，使个体的经验成为群体的共同财富．对于年轻教师而言，专家的课堂是最好的专业成长助推器．耿恒考老师充分挖掘全等三角形的本质，通过研讨、思辨，从教材习题出发，深入挖掘教材、全面认识教材，让学生深层次地体验教材，深入地理解全等三角形的本质，更重要的是带给每一位听课教师关于实践的思考．意大利思想家罗塔克曾经说过：“学生不是一个需要填充的木桶，而是一颗需要点燃的火种．”数学复习课不同于新授课，本课中问题链的研究也不是知识与方法的简单重复，而是通过从课本原型出发的整体建构过程，来实现全等三角形的知识点重现，真正落实了数学教学的核心——“让学生学会思考”．