培养学生发现问题能力的有效策略*——以“棋盘上马的行踪”为例

叶新和 (江苏省泰州市高港区教育局 225321)

顾广林 (江苏省泰州市九龙实验学校 225312)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在总目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力．[1]《普通高中数学课程标准(2017年版)》在课程目标中也提出：通过高中数学课程的学习，学生提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”)．[2]可见，培养中小学生发现问题的能力早已成为数学教育界的共识．据此还可推测：培养学生发现问题能力方面的研究，在2011—2017年期间应该掀起一个高潮，2017年起应该再掀起一个小高潮，相应研究成果估计会呈现爆发式增长．然而查阅文献发现，培养学生发现问题能力的直接研究成果并不多[3]．

注意到《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》(以下简称《解读》)对于“提出问题”是如此界定的：所谓“提出问题”，是指在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形态表述出来．[4]看来，通过对提出问题能力研究成果情况的考查，能够较好地反映发现问题研究的现状．

从文献[5]中“数学问题提出论文年代分布图”可以看出，文[3]推测的情况并没有出现.实际上自2003年以后，有关数学问题提出的研究逐年减少．人大复印资料《初中数学教与学》2020年第4期(专题：问题提出能力研究)中“编者按”指出：“通过各类测评和调研发现，学生发现和提出问题的能力相对薄弱，而且很多教师对于引导学生从数学角度提出问题也缺乏有效的策略．”[6]可见现实情况不容乐观，总结出有效的培养学生发现问题能力的策略显得颇为必要与迫切．

“综合与实践活动”内容是实现培养学生数学“四能”目标的重要载体[4]．现以数学综合与实践活动“棋盘上马的行踪”[7]部分内容的改编为例，来说明在活动的几个关键阶段培养学生发现问题能力的有效策略．

1 启动思维阶段：在情境中充分经历以发现和提出问题

《解读》指出：在综合与实践活动中，要明确需要解决的问题．在第二学段，应鼓励学生自己尝试发现和提出简单情境中的问题；在第三学段，要鼓励学生初步学会在具体的情境中从数学的角度发现和提出问题．[4]可见，从第二学段起，从情境中尝试发现和提出问题既可行也可为．

对于精心创设的指向数学学科本质的真实情境或者似真情境，学生在动手操作过程中充分经历与感受，容易引发思考，形成一些想法，生成一些有价值的数学问题．

片段1创设情境，在活动中感受、发现并提出问题：

·观看视频 视频播放时长40多秒，内容为介绍中国象棋中“马走日”的含义：将棋盘上每格长看成是单位1，“马”从棋盘上1×2矩形的一个顶点出发跳到相对的顶点，以及介绍“马走八方”的含义：在棋盘上，没有任何限制时，“马”可以跳到8个不同位置的点．

·演示操作 给其他同学演示“马”的走法： (1)跳1步；(2)连续跳2步、跳3步(先小组内展示，再全班演示)．

·提出问题 你有何感受或者想法？(师生共同整理)

内容是为目标服务的，活动目标变化了，相应活动内容要做一定调整．实际活动时，我们总是让学生来演示“马”跳1步的走法，以熟悉“马”的走法．从培养学生发现问题能力的角度来审视，我们意识到仅仅这样做是不够的，猜测当增加了“展示‘连续跳2步、跳3步’”的操作时，由于学生增加了在操作过程中的经历与感受，会意识到“马”跳3步会跳到很多位置，也很可能会跳到相邻位置．如果学生关注到“马”跳到点的个数比较多，那么他们可能会提出问题：“‘马’能够跳遍棋盘吗？”此时文[7]中后续3个探索活动(活动1“‘马’跳的特征”、活动2“‘马’跳到相邻位置”、活动3“‘马’跳遍棋盘”)即可围绕该问题有效展开：由于问题“‘马’能够跳遍棋盘吗”比较复杂，考虑将其转化为简单问题“‘马’能够跳到相邻位置吗”来解决．对此，学生继续动手操作，在试验中感受：“马”能够跳到相邻点，并且至少要3步．接下来是能否来说理；如果能，又怎么来说理？由此意识到可能需要从数学角度来分析与探索“马跳日”的特征，于是整个探索活动可以按照“活动1—活动2—活动3”的顺序有效展开．如果学生关注到“马”跳3步能够跳到某个相邻位置的点，那么他们可能会提出问题：“‘马’总能够跳到相邻点吗？”此时可按照“活动2—活动1—(活动2)—活动3”的顺序有效展开．

需要说明的是，此处教师用“你有何感受或者想法”来发问，之所以没有问“你能够发现什么问题”，主要是感觉这么问的话难以达到培养发现问题能力的目的．分析《解读》中关于“提出问题”的界定，可以知道学生能够提出问题往往表明他们已经发现了问题，因此让学生来提出问题能够比较好地达到目的．相较而言，“你有何感受或者想法”较之“你能够提出什么问题”开放度更大，学生思维更容易启动与展开．

猜测是否正确呢？2021年元月下旬，我们曾和几位教师按照上述设计，请他们任教的八年级学生谈谈想法．结果发现，不同基础的班级，学生能够提出问题的数量有所不同，不过，通常都能提出“‘马’能够跳遍棋盘吗”这样的问题．此外还发现，由于增加了跳“马”的次数，适当增加了学生在操作中的经历与感受，其发现和提出的问题往往更多．初步梳理，学生提出的问题主要有：

问题1“马”能够跳遍棋盘吗？(有的提出：可不可以在不重复的情况下走遍棋盘？)

问题2“马”能够走到棋盘上任意一点吗？

问题3“马”跳到相邻点要几步？

问题4“马”能够跳回原处吗？

问题5“马”能够从某个指定位置走到另外一个指定位置吗？(还有学生提出：“马”从(0,0)走到(8,9)最少要几步？走法跟“马”走“日”字有没有关系？)

问题6“马”跳3步，跳到的点有没有共同特征？

问题7与图形有关：“马”走2步，夹角是多少？“马”能够走成菱形吗？等等.

(说明：此处对学生问题没有做任何修改)

实际活动中如果学生提出的问题比较多，那么可以选择其中部分整理、排序，探索活动围绕相应问题逐一展开即可．

2 拓展思维阶段：在问题解决中不断生成新问题

在问题解决中不断生成新问题，即通过“具体情境—提出问题—分析问题—解决问题—(发现问题)—提出问题”的形式使得活动过程的推进水到渠成，在不断展开思维、深化思维的同时来培养学生发现问题的能力[3]．不妨从生成新问题的角度对前文“活动2—活动1”的展开作些剖析：学生提出问题“‘马’总能够跳到相邻点吗”后通过试验，发现能走到相邻点，并且至少要跳3步．根据理性化思考生成新问题1：如何判断该结论是否正确？仅就某一点而言，对所有可能情形一一试验，情形既多又容易遗漏，而要考虑棋盘上所有点(90个点)更是不胜其烦，于是生成新问题2：能否通过说理来说明呢？为此，要考虑“马”的跳法有何特征(或者规律)，从而生成新问题3：用数学的眼光来看待“马”跳“日”，会得到什么结论？此处，利用理性化的方式不断生成了新问题．

在问题解决中生成新问题，其他常见方法还有：

方法1 利用简化生成新问题．

问题“‘马’能够跳遍棋盘吗”比较复杂，将其简化可生成问题“‘马’能够走到相邻点吗？”：“马”如果不能走到相邻点，当然不能走遍棋盘；如果能够走到相邻点，那么总可以通过走到相邻点的方式来走遍棋盘．

方法2 利用类比生成新问题．

对“‘马’能够走到相邻点吗？”“‘马’走到相邻点至少要3步，如何说理？”“‘马’从黑点A(6,4)出发能不重不漏地走遍己方半个棋盘吗？”等问题就点的位置进行类比，可以得到新问题：“‘马’能够跳回原处吗？”“‘马’跳回原处至少要几步，如何说理？”“‘马’从白点B(6,3)出发能不重不漏地走遍己方半个棋盘吗？”

方法3 利用优化生成新问题．

注意到“马”走到相邻点需要3步，容易意识到，马通过跳到相邻点的办法来跳遍棋盘时会重复跳到很多点.根据优化意识，容易生成新问题：“马”能够不重不漏地走遍整个棋盘吗？

方法4 利用条件强化生成新问题．

感觉棋盘越小时，“走遍棋盘”的要求可能越高，越不容易实施．于是将整张棋盘对折，由问题(“马”从某点出发能否不重不漏地走遍整张棋盘)生成新问题：“马”能够从点A(6,4)(或者点B(6,3))出发不重不漏地跳遍己方半张棋盘吗？

按此思路，笔者先后就“马”能否不重不漏地走遍3×3,3×4的网格进行了探索，发现了相应结论：(1)“马”不能不重不漏地走遍3×3的网格，但除中心的点无法走到外，其他8个点均能走到．(2)“马”能够从“角”的位置出发不重不漏地走遍3×4的网格．

方法5 利用一般化生成新问题．

用数学的眼光来看待，“马”走“日”可以表述成“马”的“步伐”为“1×2”(即从1×2矩形的一个顶点跳到相对的顶点)．将“马”的走法一般化为“马”的“步伐”为1×n(即从1×n矩形的一个顶点跳到相对的顶点)，参照刚经历的探索活动便可生成一些新问题，如：“马”的“步伐”为1×n时，在染色图上“马”跳的特征是什么？“马”的“步伐”为1×n并且棋盘足够大时“马”能够走遍棋盘吗？若“马”的“步伐”为1×n，何时不能走遍棋盘，此时又该如何说理？等等．

分析前文梳理出来的学生的问题可以发现，不少学生其实已经有了初步生成新问题的意识与能力．在活动中，教师需要做的是将部分学生的这种自发意识尽可能变成所有学生的自觉意识，努力提升他们发现问题的能力．

3 巩固应用阶段：在材料阅读中识别存在的问题

在探索、发现、应用数学“四基”过程中，学生往往会出现审题马虎、思维不严谨、计算错误等问题．将学生容易出现的问题以阅读材料的形式呈现，让学生来识别.由于呈现的材料是学生熟悉的、贴近他们认知水平的，而且呈现形式是他们比较感兴趣的，因而学生会乐意参与其中，努力识别相应问题，自然在此过程中能够有效提升发现问题的能力．

片段2小明在某本书上看到如下内容：棋子“马”能否从点(6,4)的位置出发，不重复、不遗漏地走遍半张棋盘？如能，请给出走法；若不能，请解释其中的原因.[8]书中所附答案为：从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其他44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点(指○或●)．因为44步跳过的点○与●各22个，所以起点必是●，终点也是●，也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点，而“马”恰好在●上．[8]对此，你有何看法？

从题目要求看，该书提供的答案答非所问．题目要求“如能，请给出走法；如不能，请解释原因”，答案只就能走遍棋盘进行说理，并没有给出具体走法，可见答案与题目要求不一致．从思维严谨性角度看，答案的表述有逻辑问题．由“起点和终点应是同色的点……起点必是●，终点也是●”说明“起点为●”是“‘马’不重不漏地走遍半张棋盘”的必要条件，而根据“只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点”(以下简称命题1)则说明“起点为●”是“‘马’不重不漏地走遍半张棋盘”的充分条件．“也就是说”说明前后两者是等价的．必要条件与充分条件等价，这在逻辑上存在问题．此外，命题1是比“‘马’从黑点(6,4)出发不重复地走遍半张棋盘上的所有点”(以下简称命题2)更一般的结论．命题1虽然正确，但并非不证自明．著名学者单墫在《单墫老师教你学数学：棋盘上的数学》中通过给出每一个不同位置●的走法说明命题1的正确性[9](详见该书23—24页例4的证明)．换句话说，在说明命题1的正确性时，已经通过构造的方法先说明了命题2的正确性．可见，此处提供的答案还隐含了循环论证的问题．

片段3图1(3×4网格)为棋盘的一部分．小颖和小明想知道“马”能否从图中某个标有数字的位置出发不重不漏地跳遍该网格．他们试验了400多次，发现不能走到，于是认为：“马”不能从图中标有数字的位置出发不重不漏地走遍网格．对此，你有何看法？

图1

本材料考查学生思维的严谨性．虽然400多次试验找不到，但只要不是在每一个点处每一种可能的跳法全部试验到，即不意味着“马”不能从图中标有数字的位置出发不重不漏地走遍网格．由此，体现了“证明”的必要性：在难以完全归纳时，要说明“不能”，需要加以“证明”．而如果能够“证明”，就不必考虑完全归纳．该必要性在说明结论“‘马’不能从(6,3)位置不重不漏地跳遍己方半张棋盘”时显得更为突出．

2020年12月时，笔者为某地级市乡村数学骨干教师培育站学员做培养学生发现问题能力的讲座．休息期间，有学员交流说，他经过试验认为不能从数字1的位置跳遍该网格．经过思考，我们将文[7]中的内容进行了上述改编用以培养学生发现问题的能力．

实际上，“马”从图中数字1位置向数字6位置来跳是可以跳遍该网格图的．笔者曾经试验了百余次才发现了一种跳法：1→6→9→2→5→10→3→8→11→4→7→12．后来，课堂上与学生共同探索时发现了另一种跳法：1→6→9→2→5→10→3→12→7→4→11→8．

从教学效益来看，给出“马”从点(6,4)的位置出发不重不漏地走遍半张棋盘的具体走法，具有一定教育教学价值，不过探索得到“马”的走法会用时不少，教学效益不高．因此，在分析片段2中存在的问题(学生意识到答案与题目要求不一致即可)的基础上，不妨直接给出“马”的走法，接着对片段3进行分析，指出片段3中问题后，可以让学生尝试着从数字1的位置进行探索，如此当能一举多得．

最后，需要指出的是，本文介绍了培养学生发现问题能力几个关键阶段的主要策略，如果读者能够做有心人，多思考多研究，还能够自行探究有效培养学生发现问题能力的做法，比如结合具体数学情境或者其他学科情境，呈现部分情境来补充完整，或者情境中有多余数量来识别，或者情境中隐含矛盾关系来纠错等．