基于犹豫模糊集的不等长序列识别方法及应用

李双明，关欣，孙贵东

（1.海军航空大学，山东 烟台 264001；2.92941 部队，辽宁 葫芦岛 125001；3.32801 部队，北京 100082）

1 引言

犹豫模糊集作为一种新兴的模糊集理论[1-2]，能够对认知信息进行充分表述，十多年来吸引了广大学者的极大关注，得到了快速的发展，出现了对偶犹豫模糊集[3]、概率犹豫模糊集[4]和犹豫模糊语言集[5]，并被应用到多属性决策、聚类分析、模式识别等诸多领域。距离和相似性测度是犹豫模糊集理论中极其重要的研究内容，二者是可以相互转化的[6]，本文仅研究犹豫模糊集的距离测度。

Xu 等[7]研究了犹豫模糊集的距离测度和相似度概念，通过对长度不同的犹豫模糊数重排序和增加最大（最小）隶属度的方式补齐。Peng 等[8]提出了广义综合加权距离测度，假设犹豫模糊数的长度相等。犹豫模糊数的长度也是区分其不同的一个指标，文献[9-11]定义了一系列包含犹豫度的距离测度。Zhang 等[12]提出了犹豫模糊距离集的概念，通过对犹豫模糊距离集的比较实现决策，与基于向量计算的距离测度不同，该方法是基于集合的概念进行计算。Tang 等[13]提出一种新的犹豫模糊距离测度，该方法不需要对不同长度的犹豫模糊数补齐，但是对条件自反性提出可更苛刻的要求，只有当2 个犹豫模糊数的隶属度为单个且相等时，犹豫模糊距离才等于零。Hu 等[14]定义了上边界足迹、下边界足迹以及区间边界足迹，通过上下边界足迹的差别定义了一种新的相似度，但本质和文献[7]中的相似度是一样的。Singha 等[15]在现有距离测度的基础上，通过隶属度差与和的相对值，定义了一种改进的犹豫模糊距离测度。Farhadinia 等[16]研究了一类基于Hausdorff 距离的犹豫模糊距离，它不需要对犹豫模糊数的长度补齐，也不需要对犹豫模糊数重排序。Rezaei 等[17]定义了包含犹豫度和犹豫模糊范围的犹豫模糊距离测度。

对已有文献研究发现，大部分的犹豫模糊距离测度需要满足2 个假设条件：一是犹豫模糊数中的隶属度按降序或升序排列；二是用悲观法或乐观法将2 个不同长度的犹豫模糊数补齐，使其长度一致。这样会引入额外的误差信息，使判别结果违背实际情况。从度量空间的数学角度，现有的距离测度不能完全满足度量空间的基本性质，所以其定义的距离测度只是在特定假设条件下的测度函数，不能严格地称其为度量测度。Hausdorff 距离测度尽管释放了对隶属度长度和排序的要求，但只用到了犹豫模糊数中的部分信息。此外，尽管犹豫模糊集理论已经应用到模式识别等相关领域，但都是在犹豫模糊信息环境下开展讨论的，而对于非犹豫模糊信息的场景该如何应用，则缺乏相关研究。

序列类型数据是多传感器测量中的一种重要数据类型，不同传感器、不同特征参数上的测量值大小范围及物理量纲一般是不同的。大多数研究文献都聚焦在序列数据的关联问题上[18-19]，尤其是不等长序列的关联问题，其任务就是确定一种度量函数，实现对2 个序列的比较[20]，而对于不等长序列的识别问题研究较少，尤其是用不等长数据序列求解复杂系统问题的研究更少。例如，在雷达、通信等方面[21-22]，正确的目标识别为态势感知和控制人员的决策提供重要支撑。因电子技术的快速发展，多种新体制信号频频出现，如射频频率有固定、捷变、组变、跳变等类型，脉冲重复周期有固定、参差、组变、抖动、滑变等类型，脉宽有固定、多脉宽组合、抖动等类型，传统的识别方法已不能满足需求。尽管信号的调制样式多变，但可以将其视为一种时间（周期）性的不等长序列数据，将新体制信号的识别问题归结为不等长序列数据的识别问题，又因为空间电磁环境的复杂和强干扰性，侦察的数据往往是不确定的、带有较大误差的，而犹豫模糊集理论为该问题的建模、求解提供了一个新的思路。为此，本文将犹豫模糊集理论应用到上述问题中，提出了基于犹豫模糊特征距离测度的不等长序列识别方法。

2 理论基础

2.1 犹豫模糊集

Torra 给出了犹豫模糊集的语言描述定义[1]。

定义1X表示参考集（论域），犹豫模糊集为X上的一个函数，该函数返回[0,1]上的一个子集。

Xia 等[23]根据Torra 的观点，给出了犹豫模糊集的数学描述。

记有限对象集X= {x1,x2,…,xn}，A为X上的犹豫模糊集。

其中，h A(x)由[0,1]上的有限个数值构成，表示对象x隶属于A的多个可能取值，称为犹豫模糊数。

2.2 犹豫模糊距离

文献[7]中定义的广义犹豫模糊距离为

文献[13]给出了广义犹豫模糊距离为

式(3)满足有界性、条件自反性、对称性和三角不等式。尽管该方法不用对2 个不同长度的犹豫模糊数补齐。但是按照条件自反性，如果hA(xi)=hB(xi)，l Ai=lBi≠ 1，则d(hA(xi),hB(xi)) ≠ 0，在识别问题上，出现这样的结果是违反直觉的。

3 问题来源及识别模型

以新体制雷达辐射源信号识别为例进行描述。新体制雷达的特征参数往往具有周期性变化特点，如射频频率有固定、捷变、组变、跳变等多种类型，某个工作模式上的特征参数不再为单一固定数值，即不能用单一固定数值完成对该工作模式的描述，而需要一组周期性变化的数值来完成对该工作模式的描述，并且不同工作模式上的数值个数可能不等。这样一组数据被称为（周期性）序列数据，而待识别目标的特征参数同样是序列数据，在识别中会产生如下问题。

1) 等长序列的匹配问题

已知数据库中目标A在特征属性P上的序列测量值为 {x1,x2,x3,x4}，因通信时延等因素，待识别目标在特征属性P上的序列测量值为，但不能确定该序列的起始点该对应数据库中的那个点，如对点来讲，不知道应该匹配 {x1,x2,x3,x4}中的哪个测量点。

2) 不等长序列的匹配问题

已知数据库中目标A在特征属性P上的序列测量值为 {x1,x2,x3,x4}，因环境噪声干扰等因素，待识别目标在特征属性P上的序列测量值为，显然2 个序列的长度不相等，正是因为序列的不对等，所以无法确定短序列的起始点应该对应长序列的哪个点。

在实际测量过程中，无论数据库中的是已知目标数据，还是未知目标数据，因各种因素的影响，其结果都带有一定的不确定性，为此，本文假设序列数据中的每个点都是模糊数，序列数据为模糊序列数据。

3.1 问题描述

3.2 识别模型

1) 模糊数的格贴近度

2) 模糊数集的相近程度表征

2 个序列存在有序性及不等性，下面介绍如何确定2 个有序模糊数集之间的相近程度。

通过上述的匹配方式，可不必考虑因时间周期性带来的排序问题。

4 广义集成特征距离测度

定义2设A和B为2 个在X上的犹豫模糊集，记A和B的距离测度为d(A,B)，满足以下性质。

性质1有界性：0 ≤d(A,B) ≤ 1。

性质2对称性：d(A,B)=d(B,A)。

性质3条件自反性：d(A,B)=0，当且仅当A=B。

性质4三角不等式：d(A,C) ≤d(A,B)+d(B,C)。

表1 犹豫模糊数表示的决策信息

定义3[23]对于在给定论域X= {x1,x2,…,xn}上的犹豫模糊数h(xi)，称s(h(xi))为犹豫模糊数h的均值。

定义4[24]对于在给定论域X= {x1,x2,…,xn}上的犹豫模糊数h(xi)，称v(h(xi))为h(xi)的方差。

定义5对于在给定论域X={x1,x2,…,xn}上的犹豫模糊数h(xi)，称r(h(xi))为犹豫模糊数h(xi)的相对范围。

定义6[11]对于在给定论域X= {x1,x2,…,xn}上的犹豫模糊数h(xi)，称u(h(xi))为犹豫模糊数h(xi)的犹豫度。

通过定义3～定义6，可以用一个新的特征向量

来实现对犹豫模糊数h(xi)在特征空间上的表示（用特征向量h′(xi)替代犹豫模糊数h(xi)），这样就将数据空间中的距离测度计算问题转化到特征空间中处理，解决了犹豫模糊数隶属度长度不等带来的困难。

从另外一种角度来看，上述过程也可以解释为通过特征转换把h(xi)变换成h′(xi)，h′(xi)可认为是规范化的广义犹豫模糊数，每个隶属度的位置是固定有序的，长度也是固定的，不用再考虑隶属度的排序问题和长度补齐问题。在不引起歧义及充分理解各符号意思的前提下，式(17)可简写为

式(19)中没有对2 个长度不等的犹豫模糊数补齐，括号内第5 项只对排序后2 个犹豫模糊数较短的部分进行比较，舍去了较长犹豫模糊数剩余的隶属度，这样做有2 个目的：一是不引入多余的信息，二是使新的距离测度满足定义2 中的性质3。

考虑对象xi的权重wi，wi≤ 1且，则式(19)变为犹豫模糊加权广义集成特征距离，即

定理1设在给定论域X= {x1,x2,…,xn}上的2 个犹豫模糊数为A和B，式(19)和式(20)定义的距离测度满足定义2 中的4 条性质。

证明式(19)和式(20)形式上是一样的，只对式(19)进行证明。

1) 性质1 和性质2 显然成立。

2) 当A=B时，易 得d(A,B)=0。由d(A,B)=0可得

因此，性质4 成立。

综上所述，定理1 成立。证毕。

5 识别过程

5.1 特征参数权重

1) 熵测度法

将每一个特征参数Aj视作定义在目标类别集

2) 支撑度法

以特征参数为犹豫模糊集，论域为目标集，每类目标不区分重要程度，采用式(19)计算距离。每个特征参数（犹豫模糊集）的支撑度为

相对于所有其他特征参数的支撑度之和为

每个特征参数的权重为

5.2 结果判定

为便于表述，将第3 节中决策信息表简写成决策矩阵的形式，不再区分各个模式，即

基于本文犹豫模糊广义集成特征距离的VIKOR（visekriterijumska optimizacija i kompromisno resenje）判别方法步骤如下。

步骤1确定正理想解和负理想解。

为不引入误差，设正、负理想解的长度与每个Ai中最短犹豫模糊数的长度保持一致，即

步骤2分别计算各个目标类别的群体效能值Si和个体后悔值Ri。

步骤3计算各目标类的折中值Qi。

步骤4对Q={Qi}、S={Si}、R={Ri}分别升序排列，升序后的排列为Q′= {Qσ(i)}、S′= {Sσ(i)}、R′= {Rσ(i)}，得到3 种排序方案，σ(i)表示第i小的值。

步骤5由最小Qσ(1)决定的目标类别为识别目标，即最好的折中解，需要同时满足以下2 个条件。

条件1。

条件2决策时可接受的稳定性，目标类σ(1)对应的群体效能值和个体后悔值其中至少有一个也是最小值，即目标类σ(1)也是群体效能值或个体后悔值所决定的最优方案。

步骤6如果上述的条件有一个得不到满足，则提出如下的折中解。

1) 如果只有条件1 满足，则折中解为σ(1)和σ(2)。

2) 如果只有条件2 满足，则折中解为σ(1),σ(2),…,σ(M)，满足σ(M) −σ(1)<。

6 仿真分析

本节的仿真分析包括三部分：1) 数值算例，验证本文所提特征距离测度的分辨能力；2) 犹豫模糊环境下能源策略的选择问题，验证本文方法与其他决策方法的排序能力；3) 目标识别的应用问题，验证本文方法对有序不等长序列的识别能力。

6.1 数值算例

例1[17]设论域X={x}，在X上存在2个模式，表示为犹豫模糊数的形式，分别为h1= {1 .0,0.95}和h2= {1 .0,0.5,0.45}，存在一个被识别模式h0= {0 .8,0.75,0.7}。

将本文方法分别与文献[7]方法、文献[9-10]方法、文献[11]方法的距离测度进行对比，结果如表2 所示。

表2 例1 中的计算结果对比

可以直接判断模式h0属于模式h1，而不是模式h2，那么d(h0,h1)就应该小于d(h0,h2)，表2 中的计算结果表明，不论系数λ如何变化，文献[7]方法、文献[9-10]方法、文献[11]方法中的计算结果都是错误的，本文方法的计算结果都是正确的。

例2[10]设论域X={x}，在X上存在3 个模式，表示为犹豫模糊数的形式，分别为h1={0.1911,0.155 6}，h2= {0.8560,0.4902,0.4225}，h3={0.815 9,0.460 8,0.457 4,0.450 7}。

将文献[7]方法与本文方法的距离测度进行对比，计算结果如表3 所示。从表3 中可知，不论系数λ如何变化，文献[7]方法距离测度不满足三角不等式。

表3 例2 中的计算结果

例3 设论域X={x}，在X上存在3 个模式，表示为犹豫模糊数的形式，分别为h1= {0.95,0.9}，h2= {0.4}，h3= {0.9}。

将本文方法的距离测度与文献[11]方法、文献[17]方法的距离测度进行对比，计算结果如表4 所示。在文献[11]方法和文献[17]方法中，系数λ取值的不同，计算结果是不一样的。当λ=1时，文献[11]方法和文献[17]方法的距离测度都不满足三角不等式，而本文方法中无论系数λ取何值，距离测度都满足三角不等式的要求。

表4 例3 中的计算结果

综合考虑例2 和例3 的计算结果可知，文献[7]、文献[11]、文献[9-10]和文献[17]中定义的距离测度不能够全部满足定义2 中的4 条性质，从严格的数学角度，其所定义的距离测度不能构成度量空间，可以说这样定义的距离是片面的，而本文所提的距离测度则成为度量空间。

6.2 能源策略选择

本节中涉及的数据来自文献[7]和文献[13]。对5 个能源项目进行投资Pi(i= 1,2,…,5)，有4 个准则分别为技术因素C1、环境因素C2、技术因素C3、经济因素C4。准则的权重系数向量为w=(0.15,0.3,0.2,0.35)。决策者以匿名方式对每个备选方案进行评估，评估值是以犹豫模糊数提供的，犹豫模糊决策信息如表5所示。选定理想解P*={1}作为比较的参考点，通过计算与理想解之间的距离，来实现方法排序，文献[7]方法、文献[13]方法、文献[16]方法及本文方法的排序结果如表6所示。

表5 犹豫模糊决策信息

表6 排序结果

将理想解设定为P*= {1}，那么直觉上5 个项目中最可能被选中的项目应该是项目P3，本文的计算结果符合预想，且不同的λ取值下其排序结果的最优解是一致的。而文献[7]方法、文献[13]方法和文献[16]方法的较优项目为P3或P5，其中选择项目P5是不合适的，因为选择的理想解为P*={1}，这就意味着决策者对各准则上的期望收益是确定性的，对风险是可控的，应该根据这个原则来决定哪个项目是最优的。显然项目P5各个准则上的犹豫程度是最大的，那么它的不确定性也是最大的，所以对那些误选择后果无法挽回的项目更是不可取的。文献[7]方法、文献[13]方法和文献[16]方法之所以选择P5为合适解，是因为在计算过程用最大值补齐了2 个不等长的犹豫模糊数，导致犹豫模糊决策信息产生变化，甚至已经不是原有决策信息，因此产生的结果是不合适的。

6.3 目标识别应用

假设目标数据库中有4 类目标，分别为U1、U2、U3、U4；每个目标有3 种特征参数，分别为A1、A2、A3；每种特征参数的测量值为周期性（有序）序列型数据，工作模式如表7 所示。

表7 目标类别及工作模式

设选取表中的模式5 作为被识别模式，由于噪声的影响，该模式的序列长度可能会发生变化，因此分2 种情况进行仿真。

情况1 模式序列的原长度保持不变，叠加随机噪声形成被识别模式的数据，为reco_mode1={[3 792.46,3 871.88,3 957.04],[1 287.71,1 377.71],[15.88]}。

情况2 模式序列的原长度发生变化，叠加随机噪声形成被识别模式的数据，为reco_mode2={[3 792.46,3 871.88],[1 287.71,1 377.71,1 621.32],[6.78,7.2]}。

根据第5节中的特征参数权重确定方法和结果判定方法，则可以形成以下2 种识别方法：基于熵测度的VIKOR 识别方法（下文简称为熵测度法）、基于支撑度的VIKOR 识别方法（下文简称为支撑度法）。

熵测度法和支撑度法的权重计算结果如图1 所示。图1 中entropy_w_1、entropy_w_2、support_w_1、support_w_2 分别表示情况1 中基于熵测度的权重、情况2 中基于熵测度的权重、情况1 中基于支撑度的权重、情况2 中基于支撑度的权重。

图1 权重计算结果

从图1 中可见，熵测度法的权重值起伏较大，支撑度法的权重值比较均匀。3 种特征参数中，特征1 和特征2 的权重大于特征3 的权重。

情况1 和情况2 基于熵测度法和支撑度法的计算结果如图2～图5 所示。

图2 情况1 基于熵测度法的计算结果

图3 情况1 基于支撑度法的计算结果

图4 情况2 基于熵测度法的计算结果

图5 情况2 基于支撑度法的计算结果

图2～图5 的结果表明，对于情况1 和情况2，模式5 的群体效能值、个体后悔值和折中值都是最小的，都判定被识别目标为U2，判定结果正确。

7 结束语

针对不等长序列识别问题，本文利用模糊数的格贴近度，建立了基于犹豫模糊集的不等长序列识别模型。本文提出了一种新的犹豫模糊广义集成特征距离测度，一方面解决了不等长犹豫模糊数的度量问题，另一方面解决了现有距离测度不完全满足度量空间相关性质的问题。本文提出了2 种特征权重的计算方法，即熵测度法和支撑度法；结合2 种权重计算方法，提出了基于犹豫模糊广义集成特征距离测度的VIKOR 判定方法。