含隐含条件的椭圆离心率范围的求法探究

李恩斌

（四川省巴中市第二中学 四川·巴中 636000）

求离心率的范围是高考高频考点。其中求含隐含条件的离心率范围问题对学生来说更是个难点。本文通过对一道经典例题不同角度的分析、多解解法的探究，一方面说明如何求含隐含条件的椭圆的离心率的范围问题，另一方面，让学生从不同侧面重温基础知识，看到知识间的内在联系，有利于加强对基础知识的掌握，同时，解题思路的不同往往还渗透着不同的数学思想方法，可以使知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创造思维等方面的能力及提升学生的数学核心素养，充分发挥经典例题在高中数学教学中的教育价值。

思路一：（根据椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c而求）

又由椭圆性质：椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c知：

方法点睛：结论：“椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c”是隐含条件，往往学生不会挖掘。但实际上，此结论是学生在学习椭圆的性质时应掌握的知识点。

方法点睛：焦半径取值范围学生是熟悉的，但真要用来求范围可能不会这么自觉。

思路三：（根据焦点三角形的最大角定理而求，定理：椭圆中，短轴的一个端点与两焦点所成的角，是椭圆上所有的点与两焦点所成角中最大角）

方法点睛：“最大角定理”很容易理解，在应用时由角的大小转化线余弦的大小关系时，易忽略cos∠F1PF2≤1而致错。

思路四：（根据构成三角形的条件求解）

由构成△PF1F2(见上图)条件得：

方法点睛：学生在平时学习中，容易受“惯性思维”影响，总会把一些问题复杂化，却忽略了更加简单的方法。构成三角形的条件，对于解决某些含隐含条件的范围问题有奇效。

由椭圆定义知：

方法点睛：定义或方程中往往隐含着一些要求和条件限制，这些要求和限制条件往往被我们忽视，而这些要求和限制条件往往是我们求解某些问题的依据。

思路六：（向量法并结合中线长定理而求）

方法点睛：向量实质上是使几何结构代数化的工具，它是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一。向量的三角形法则、向量的数量积是架起桥梁的基石。

思路七：（不等式绝对值公式法）

方法点睛：构造法是一种创造性思维方法，构造法往往需要奇思妙解，对学生的“四能”和数学素养要求很高。

在求含隐含条件的椭圆离心率范围问题的教学过程中，注重结合相应的内容，落实“四基”，培养“四能”，树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程。教学过程中让学生主动参与其中，充分调动学生学习的兴趣，同时，让学生经历失败、尝试成功，尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，不断的探索还让学生主动探索的精神得到很好的发展。一题多解的目的在于思维的“多层次”，在于学生从多解中分析出解法的优劣，获得高水平的思维训练，从而提高学生的数学思维能力，培养学生的创新意识。如是这样更有利于学生对问题进行更深层次的思考，对培养学生思维的深刻性和数学核心素养具有积极的作用。