寻迹“理解证据”：数学习题教学的着力点

凌建青

摘要：“理解”是数学学习的目标指向，亦是过程追求。“解题”是促进学生数学理解的载体，又是检测学生是否实现预期学习目标的反馈环节。学生能阐述解题的思考过程，能应对变式练习，能灵活迁移等，可视作学生解题的“理解证据”。寻迹理解证据是习题教学走向高效的精准着力点。

关键词：理解;理解证据;习题教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）02A-0106-05

教学的本质是促进学生的学。教学首先要考虑学生的预期学习结果，即要实现怎样的学习目标。其次，要明确学生怎样的行为可以确证他们达到了预期的学习结果，然后再设计学习体验和教学活动。这是有别于传统教学的“逆向教学设计”，即追求以学生的学习为目标的教学设计。“逆向教学设计”认为“教学行为都是基于一定的教学目标，若是缺少了最后结果反馈的环节，那么教学是否有效就无从判断，它的合法性是不成立的，因此关注学生的结果也是教学行为的题中之义。”[1]习题是小学数学学科内容的重要组成部分，解题是有效评估学生学习结果的“反馈环节”。正如数学家波利亚说过：“掌握数学意味着什么呢？意味着善于解题。”当然，解题只是学生的一种外显行为，其最终的目的是通过“解题”评估学生是否真正理解了所学的内容。

一、作为评估数学学习的“理解”

对于数学教师来说，“理解”一词是再熟悉不过了，比如让学生“理解算理，掌握算法”“理解等式的性质”等，但对于这个耳熟能详的“理解”，我们是否真的理解呢？

1.作为学习结果的“理解”

“理解”是一种学生学习数学应追求的结果。《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“了解”“理解”“掌握”“运用”作为一类描述结果目标的行为动词。而“理解”是指“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。”[2]可见，“理解”与“了解”不同，“了解”表示“知道”或者“初步认识”，指向的是事实性知识。尽管数学学习是从“了解”开始，但了解了事实性知识并不能导致“理解”。“理解”指向知识本质，是学生探索事实意义的结果。如知道“60%是一个百分数”是“了解”，认识到“60%表示的是一个数是另一个数的百分之几的数”则表明“理解”了百分数的意义。

2.作为学习过程的“理解”

理解需要时间和精力，“理解”不仅表示学习结果，也是一种推断、推理的学习过程。“理解就是将我们的知识联系、结合起来，从而弄清楚事物的含义（如果没有理解，我们可能只会看到含糊的、孤立的或者无用的事实）。”[3]7数学知识需要通过“理解”这一过程来实现“理解了”的结果。如认识三角形，不仅需要通过提供多元表征，让学生建立三角形的直观表象，还要通过正例、反例的辨析，建构“三条线段首尾相接的平面图形是三角形”的概念。学生认识到三角形不是某个具体的实物形状或者是特定图形，而是一个抽象了的符号，才能表明学生对三角形真正理解了。

3.作为学习目标的“理解”

“理解”还是“掌握”和“运用”的基础。“理解意味着能够智慧和有效地应用与迁移——在任务环境中，有效地运用知识和技能。”[3]7而“掌握”和“运用”又能反过来检测学生理解的程度。因此，能否真正“理解”所学知识的本质应该成为每节课的学习目标之一，“理解”也是评估学生预期学习结果的重要指标。解题是学生巩固知识技能的“必选动作”，也是对知识技能进行迁移和应用的重要途径。通过解题让“理解”走向“掌握”和“运用”，只有“理解了”才能“掌握”和“运用”，反过来只有通过“运用”才能加深和强化对知识本质的理解。

二、寻迹学生解题过程的理解证据

波利亚在《“怎样解题”表》中将解题过程分为四步：审题、制定解题计划、执行计划和回顾。首先，需要分析题目中的已知条件和问题，将已有的知识、经验与新知识建立联系，进行信息加工。其次，要调动相关的方法和策略规划解题的思路，并运用适合的方法付诸实践。最后，还要对自己的解题过程和结果回顾、检验。虽说小学数学的习题相对简单，但成功解题一定是学生经历独立思考后的结果，而这个思考的过程是别人无法替代的。学生能脱离他人的帮助成功解题也是教学的最终目标之一。数学课堂的“新授环节”会涉及解题，但无论是教师的示范讲解，还是以组织者、引导者、合作者的身份参与学生解题，都会在一定程度上“干预”学生的独立思考。因此，独立完成解题是表明学生“理解”的先决条件、首要证据。当然，独立解题并不等于理解，学生在解题过程中有怎样的表现，才是表明理解的证据呢？

1.阐明思考过程

语言是思维的外壳。有经验的老师总喜欢在课上问学生“你是怎么想的”，让学生把想法说出来，通过“出声的思考”来判定学生的掌握情况。正所谓“心求通而达，口欲言而能”，要把一个问题、一件事完整清晰地表达出来，必须先要想明白、理通顺。解题是一个复杂的思维过程，学生能有条理地讲清解题思路，则可以判定学生已经掌握了这题的解题方法或者策略，即便是再简单的内容亦是如此。如教学“整十、整百数乘一位数的口算”时，学习完“20×3”和“200×3”后，让学生练习“800×3”，当学生能说出“8个百乘3是24个百，是2 400，所以只要先算8×3等于24，然后在后面添两个0”时，即学生不仅能说出了怎么算的（算法），而且說出了为什么要这么算（算理），以此可作为学生的理解证据。

2.应对习题变式

变式是指通过变换同类事物的非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度和方法，从而突出事物的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，让学生在变式中思维，从而掌握事物的本质和规律[4]。变式在日常教学中有着广泛的运用，数学变式教学一般分为概念变式和习题变式。“变式题”的难度通常略高于基础题，是在不改变知识内容的本质属性的前提下改变习题的形式。如《乘法分配律》的教学，像“25×13+75×13”属于基础题，解题时学生可直接套用乘法分配律的字母表达式“a×c+b×c=（a+b）×c”进行计算，不一定需要“理解”。而像“58×99+58”则属于“变式题”，如果没有理解乘法分配律的实质，学生就会发现“直接套用不行，缺了一个数”。学生要从乘法意义角度理解才能正确简算，即“99个58加上1个58等于100个58”。可见，学生解决“变式题”的过程就是一个排除干扰因素，把握数学本质，融会贯通地运用知识的过程。教师要充分设计或运用“变式题”，来检验学生的理解。

3.灵活迁移应用

“迁移”是学习发生的重要指标，“应用”是迁移的重要表征之一，也是检验学习结果的最佳途径[5]。习题教学中，可能会出现以下两种情况，一是学生已经理解并掌握了习题涉及的本质内容，但却在解题的过程中表现不好;二是没有理解并掌握习题涉及的本质内容，却在解题的过程中表现良好。显然，对于出现第一个问题的情况不难理解，只要分析错误原因即可。但对于第二个问题，则需要考虑习题本身的评估标准是否指向学生知识的迁移和应用。评估迁移发生需要两个要素：“外观与感受都比较新颖的任务和让学生将先前知识运用于具体情况的环境。”[6]也就是学生能在陌生的情境中将所学的知识灵活应用。如学习了“圆的认识”后，布置“为什么窨井盖和车轮要做成圆的”;学习了“认识三角形”后布置“椅子摇晃了，可以用什么办法来解决”等。这些指向知识应用的社会实践类的题目，不仅是检验学生知识迁移应用的途径，也是数学教学的应然追求。

三、基于“理解证据”的习题教学原则

1.“理解为先”的设计原则

习题作为数学课程的重要内容，是培养学生学科核心素养的重要载体，也是提高教学质量的关键因素。习题设计考验着教师的专业能力，习题的内容导向、目标引领决定着学生的发展方向。事实证明，重复机械的“题海战术”的效果事倍功半，只会在加重学生负担的过程中消磨学生的学习兴趣。数学是“讲理”的，是以学生学会“理性地思考”为目标的。习题设计也应遵循以“理解”为目标，综合考虑习题的巩固性、挑战性、应用性、拓展性特点，基于寻求学生解题的理解证据进行设计，“以始为终”才能“事半功倍”。

2.“循序渐进”的组织原则

为了让解题更好地促进学生的理解，教师要架构习题的结构。一般按“基础题”“变式题”“迁移应用题”的顺序有层次地组织学生独立解题。在学生独立解题过程中，教师也要介入其中，要根据学生的学情反馈及时调整习题的呈现。当发现大部分学生无法应对“变式题”或者“迁移应用题”的挑战时，还需要回到“基础题”，加强对概念或者技能的巩固上来。这也正是优秀教师，为什么要在学生解题时不断地“巡视”学生解题过程的原因。教师不仅要呈现有层次的习题，更要了解学生在解题过程中的真实表现，及时调整习题的呈现序列，实现真正意义上的“循序渐进”。

3.“因材施教”的实施原则

“因材施教”中的“材”既是指教材，又是指学生。尽管对于习题教学要以“理解”为目标，但还是应遵循“因材施教”的原则。首先，从教材内容来看，不是所有的习题设计都是指向“理解”的。对同一内容，不同阶段的要求是不同的。如“角”“三角形”“平行四边形”“圆”等平面图形在“第一学段”的要求是“认一认”，习题的教学指向“了解”为目标。这些内容安排在“第二学段”时，涉及了图形的基本概念，则需要设计以“理解”为目标的习题。其次，学生的差异是客观存在的，同一习题，对于不同层次的学生在以“理解”为目标的层次上要区别对待，这吻合了数学课程标准提出的理念“不同的人在数学上得到不同的发展”。

四、基于“理解证据”的习题教学实施

1.解读教材，习题结构化

教材是集“课标精神”、编者意图、教法、学法引领等要素于一身的内容载体，是教师组织教学最主要的内容文本。教师解读教材时，要结合自己对“课标精神”和编者意图的理解，根据学生实际，制定切实可行的学习目标。制定目标的过程也是一个目标分类的过程，要分清哪些内容指向“了解”，哪些内容指向“理解”等，再根据目标指向对教材提供的习题进行必要的加工、改造，落实到教学活动中去。如苏教版四年级《射线、直线、角》一课（见表1），要求学生对线段、射线、直线正确识别的习题是指向“了解”的，只要让学生观察这些图形表征的外在特点：“直的，有几个端点”，学生就能鉴别。而对于它们的本质特征“有限长”和“无限长”的比较，需要设计指向“理解”的习题。因为线段有起点和终点，所以有限长;射线和直线是可以向一边或者两边无限延长的，所以无限长。可见，基于数学知识本质的习题一定是指向学生理解的。

2.关注学情，教学序列化

“以学情分析来寻求教学的起点”已经成为广大教师的共识，在学生解题过程中，教师也要将“学情关注”进行到底。只有将学生内在思维活动外显为可视的言语和行为，才能真实地掌握学生解题时的理解证据。首先，教师要努力成为一名倾听者，给学生创设更多的时间和空间，使其解题时不能只顾“动手做”，还要养成“动脑想”，更要“动口说”。其次，教师要努力成为一名观察者，在学生解题时不断巡视，观察学生群体在面对习题的挑战时（可能来自变式题，也可能来自迁移应用题），能否在新的情境中灵活运用知识技能，是否需要进行习题序列的调适。如苏教版六年级下《比例的基本性质》一课中，习题“根据3×4=2×6写出比例”是对基本题的变式，但学生解题时大面积出现了“3：4=2：6”的错误解法。询问学生想法后发现，对于比例的基本性质“因为a：b=c：d，所以ad=bc”，学生无法进行逆向迁移，也就是不知道根据“ad=bc”也能推出“a：b=c：d”。而比例的基本性质是一个充分必要条件，顺向推理和逆向推理都成立。同时，教师教学的重点也放在了顺向推理上，即“因为a：b=c：d，所以ad=bc”造成了学生的不理解。学生解题时的学情反馈检测出了教师教学的不足，这就需要教师重新调适教学。

3.促进发展，评价多元化

学生的差异性决定了解题过程和结果的多样性，不同的学生在解题时表现不同，这也给教学评价带来了挑战。评价的目的是促进学生的发展，因此，教师对于学生解题的评价要有不同的“尺”。首先，解题是通过知识技能的运用来促进“理解”和获得“理解”的过程，以“理解证据”评估学生的解题是“第一把尺”。如做计算时不仅掌握算法，还能理解算理;解决问题时，不仅能获得答案，还能概括出数量关系。其次，解题过程要注重学生良好习惯的养成，如仔细审题、自觉检验等。良好的解题习惯是提升学生解题能力的前提，也是学生一生受用的关键能力，这是“第二把尺”。再次，习题的类型各异，难易程度不同，有些习题的结果不唯一，即使结果唯一解题的方法也是多样化、差异化的。教师不能只顾解题的结果，也要“理解”学生不同方法背后的真实想法，尊重差异，允许合理的多元化，这是评估学生解题的“第三把尺”，因为创造往往是在宽松、和谐的环境中生长出来的。当然，需要指出的是，有些题目的方法多样化，教师还是有必要进行分析、比较、优化，因为小学生对自己的解题是没有判断能力的，往往认为自己想出来的方法是最好的。

在扎实推进小学数学“双基教学”，落实“精讲多练”的同时，作为数学教师需要进一步明确的是，掌握了知识与技能并不表示学生能够灵活运用，只有真正理解了，才能在新的问题情境中实现迁移应用。正如约翰·D.布兰思福特《人是如何学习的》一书中所指出的，“当学生学会如何从他们的练习中提取内在的联系和主题，他们就能够形成何时、何地、为什么以及如何运用所学知识来解决新问题的灵活理解了。”

参考文献：

[1]崔允漷.有效教学[M].上海：华东师范大学出版社，2009：11.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：72.

[3]格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰.追求理解的教学设计（第二版）[M].闫寒冰，宋雪连，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2019.

[4]黄希庭主编.简明心理学辞典[M].合肥：安徽人民出版社，2004：18.

[5]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018：60.

[6]格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰.理解为先模式[M].盛群力，沈祖蕓，柳丰，等译.福州：福建教育出版社，2017：102.

责任编辑：李韦