非线性多智能体磁滞系统的分布式输出反馈渐近一致控制

刘 烨 ,杨朋举,张 绪

(1.上海工程技术大学电子电气工程学院,上海 201620;2.北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京 100191)

1 引言

近几十年来,多智能体协调控制技术因其在集群控制,如无人机群控制、水下协同作业、机器人群编队以及卫星集群控制等相关领域的成功应用,使多智能体协调控制问题逐渐成为学者们广泛关注的重点[1–3].多智能体间的协同控制主要包括一致性、蜂拥、聚集、群集等,其中一致性问题在协同控制领域显示出巨大的工程应用潜力,是研究多智能体协调控制问题的关键[4–6].此外,在多智能体的协调控制系统中,所设计的控制器不仅需要当前智能体的信息,还需要邻接多智能体的信息,这使得分布式控制器的设计更加具有挑战性.最近,文献[7]通过著名的内模原理研究了具有扰动的不确定线性多智能系统的渐近协作输出调节问题,并设计了两种基于自适应控制策略和事件触发机制的新型分布式控制器,该控制器能大大减少数据传输的频率并能避免Zeno行为.在文献[7]的基础上,文献[8]假设仅少数智能体外部系统的系统矩阵已知而各智能体的拓扑信息未知,进一步设计了一种新颖的分布式观测器以估计与拓扑相关的信息,实现了多智能体系统的渐近协同控制.然而,实际的物理系统往往存在非线性特性,研究具有非线性动态的多智能体系统有助于更好地描述系统特性,进而改善系统的控制性能.针对含输入死区的多智能体二阶非线性系统,文献[9]提出了一种基于一致性的分布式神经网络自适应控制策略.文献[10]针对非线性的随机多智能体死区输入系统,设计了一种分布式的一致性控制器,其在状态已知的情况下得到了良好的实际跟踪控制效果.文献[11]进一步扩展系统的应用范围,考虑了执行器故障的情况,并且其所设计的控制器能确保系统跟踪误差在预设性能界限范围内.实际上,存在大量物理系统的内部状态信息是未知的,通常需要构造状态观测器以估计其内部状态信息,并通过构造基于输出反馈的自适应控制器以达到控制目的.在系统模型含有未知状态信息的情况下,文献[12]设计了一种针对非线性高阶多智能体系统的一致性量化控制器,其能有效地抵消智能体系统间存在的由未知动态非线性所造成的相互影响.在文献[12]的基础上,文献[13]在控制增益未知的情况下,进一步研究基于分布式的高阶多智能体随机系统的一致性问题,提出一种有效的输出反馈模糊控制方案.

然而,不难发现文献[12–13]所提出的多智能体系统一致性控制方案采用传统反推法设计控制器,其在设计的过程中需要对虚拟控制率进行重复微分而出现“微分爆炸”现象.为克服这种不足,文献[14]进一步研究了一类同时具有非线性项与未知参数的多智能体高阶系统的分布式一致性输出反馈问题,其所设计的自适应动态面控制器能避免“微分爆炸”问题并降低系统的计算负担,但是该控制器仅能使跟踪误差收敛至任意小的零的邻域范围内,而无法令跟踪误差达到渐近收敛至零的程度.最近,在传统动态面控制方案[14–19]的基础上,文献[20]针对一类具有磁滞输入的不确定非线性系统,进一步研究动态面渐近跟踪控制问题,其设计了带有正时变积分函数的新型非线性滤波器,该滤波器能补偿传统一阶线性低通滤波器的边界层误差,并能令跟踪误差达到渐近收敛至零的程度.受此启示,本文以含非线性项的多智能体高阶系统为对象,在现存文献[7–20]的基础上,进一步研究基于分布式的动态面输出反馈渐近一致控制问题.

另一方面,多智能体系统的执行机构在实际的工程应用中往往因智能材料的使用而产生磁滞现象,其严重影响系统的跟踪控制性能.因此,消除多智能体系统执行机构的磁滞效应以保证系统的稳定性进而实现良好的跟踪控制性能成为研究热点.在现有的文献中,常用两种方法来处理磁滞现象,其中一种是设计平滑的自适应磁滞逆以减轻磁滞效应的影响[21],另一种是将磁滞效应视为磁滞的有界扰动和详细特性[22].最近,文献[23]提出了一种针对随机非线性多智能体磁滞系统的事件触发模糊反演控制方案,该方案给出的控制器仅在采样时刻有条件地进行更新.针对一类非线性的多智能体磁滞系统,文献[24]在系统状态不可测的情况下,进一步构造了一种基于神经网络的分布式输出反馈自适应控制器.该控制器能够同时有效地消除磁滞输入和外部扰动对该控制系统的不良影响.除了稳态跟踪性能,文献[25]还进一步考虑多智能体系统的瞬态跟踪性能,其利用RBF神经网络并结合特定的Nussbaum型函数以解决未知控制方向的问题,且所提出的反演控制方案不仅能消除系统执行机构的磁滞现象,而且还能确保各跟随者一致性误差均能被约束在预先设定的性能边界范围内.然而,虽对于含未知磁滞输入的多智能体高阶系统一致控制的研究已取得很多成果,但是对该类系统动态面渐近控制的研究却仍然较少,其难点在于新型滤波器的构造,以及能补偿磁滞影响的控制器的设计.

本文考虑磁滞输入的影响,研究了一类状态未知的多智能体非线性系统的分布式输出反馈领导者–跟随者自适应渐近一致控制问题.其研究动机是对于具有智能材料执行器的多智能体工业系统,其大多数情况只有输入输出状态可测,此种情况下仍然保持高精度的跟踪控制.本文通过构造具有动态增益的K-滤波器去估计多智能体系统的未知状态,并对系统以及磁滞模型中的未知参数进行在线估计.在此基础上,利用非线性滤波器进行新型动态面控制器的设计.所设计的控制器能有效地消除未知磁滞给控制系统所造成的不良影响,确保整个多智能体闭环控制系统的所有信号均能达到半全局一致最终有界,并使所有跟随者输出均能渐近跟踪领导者输出,且跟踪误差能在理论上收敛至零.本文的主要贡献如下:

2) 构造了改进的动态高增益K-滤波器以估计非线性多智能体系统的未知状态,与传统的K-滤波器相比,其能够处理系统中与未知状态线性相关的非线性项,并且其是渐近稳定的.

3) 设计了带有正时变积分函数的新型非线性滤波器,该滤波器不仅能解决“微分爆炸”问题、降低计算负担,而且还能补偿传统动态面控制方案[14–19]中存在的边界层误差,使跟踪误差渐近收敛到零.

2 预备知识与问题描述

2.1 图论

2.2 问题描述

考虑一系列具有磁滞输入、未知参数和非线性项的高阶多智能体系统.该系统包含N个n阶的跟随者子系统,其如下所示:

其中:0<εi<1是刚度比;ςi是与非线性伪自然频率有关的正参数;ξi是辅助变量,其导数为

其中:ϑi和|φi|分别是描述磁滞形状和振幅的常数,且ϑi >|φi|;λi≥1能够控制磁滞曲线由初始斜率向临界斜率过渡的光滑性.

上述Bouc-Wen磁滞模型输入输出关系如图1所示,其中:ξi(0)=0,ui(t)=5 sin(2t),εi=0.33,ςi=10,ϑi=1,λi=2,φi=0.5.

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图1 Bouc-Wen磁滞Fig.1 Bouc-Wen hysteresis

为了实现对非线性多智能体系统(1)的控制目标,现提出如下一系列的假设和引理:

引理3[20]对于任意分段连续信号ui和,微分方程(5)的解集满足

其中:ξi(0)是其初值条件;max{·}表示最大值.

本文的控制目标是设计一种基于新型动态面的分布式自适应控制器,保证所有跟随者和领导者的输出均能渐近趋于一致,并使跟踪误差收敛到零.同时,确保闭环系统的所有信号均为半全局一致最终有界的.

注1本文考虑的系统模型更为广泛,更具一般性.根据式(1)和式(4),所研究的非线性系统不仅涉及未知参数,而且考虑了与未知状态线性相关的非线性项

从式(11)可知:非线性项Fi(yi)xi表示未知状态xi与非线性函数Fi(yi)的乘积,然而现有的输出反馈控制方案仅仅考虑了输出yi和非线性函数φi,k(yi).因此,现有的输出反馈控制方案[12–13]不能用于处理本文的系统,那么设计能够处理与未知状态线性相关的非线性项的状态观测器是更加困难且更加具有挑战性的.

注2与现有的多智能体控制方案[11–13]相比,本文所提出的控制方案采用动态面反推技术设计控制器,该控制器仅需要知道各跟随者输出yi、领导者输出yr和其一阶导数.此外,本文所考虑的非线性多智能体系统(1)可以是异构的.

注3假设4中的正时变积分函数σi(t)对于分析动态面控制系统的稳定性起着至关重要的作用,可选取为ℓe−νt,1/(tħ+1),其中:ℓ>0,ν >0,ħ ≥1.

注4由于Pi是对称正定矩阵,那么只需选取足够大的ai,即可使式(9)成立.

3 自适应控制器设计

3.1 状态估计

为估计非线性多智能体系统(1)的未知状态,笔者设计如下一系列动态高增益K-滤波器:

注5这里已省略引理4的证明,其相关证明过程可参考文献[12–14].此外,根据式(20)可知,本文所设计的动态高增益K-滤波器(12)是渐近稳定的,且经该滤波器所测得的状态估计值与真实状态之间的误差可收敛至零.

3.2 新型动态面控制设计

在这一部分,将给出采用新型非线性滤波器的动态面控制器设计步骤.首先,为便于展开设计,要进行如下坐标变换:

其中:q=1,···,N;δi,1,1,δi,1,2,δi,1,3,δi,1,4和δi,1,5均已在式(25)中给出.然后,可进一步根据式(22)–(29)(31)–(33)对式(30)求导,得

步骤j(j=2,···,ρi −1,i=1,···,N) 根据式(1)和式(21),可将zi,j的导数表示为

当j=2时,选取该步骤的虚拟控制率αi,2为

当3 ≤j≤ρi −1时,选取步骤j的虚拟控制率αi,j为

其中ci,j是正设计参数.然后,使αi,j通过如下新型的

4 稳定性分析

定理1考虑具有磁滞输入(4)、的高阶非线性多智能体系统(1)、状态观测器(12)、新型的非线性滤波器(27)和(38)、虚拟控制率(25)(36)(37)、控制器(45)与自适应率(26)(28)(39)(46)(47)构成闭环系统.在满足假设1–4的条件下,对于有界的初始条件,若有V(0)≤R1,则通过选取合适的设计参数便可使闭环系统内所有的信号全部达到半全局一致最终有界,且跟踪误差可以渐近地收敛至零.

即实现了一致性误差的渐近收敛.然后,按照图论知识并根据该系统的通信网络去选择合适的设计参数和,可使所有跟随者与其领导者的输出均趋于渐近一致,且跟踪误差在理论上能渐近地收敛至零.

注6与现有的渐近跟踪控制方案[26–28]采用的反推法设计自适应渐近跟踪控制器相比,本文所提出的动态面控制方案克服了传统反推法无法避免的因虚拟控制率重复微分所导致的“微分爆炸”问题,大大降低了控制器的设计难度和计算负担,从而使本文所提出的渐近跟踪控制方案更加简单,且更加实用.

注7在设计自适应动态面控制器的过程中,文献[14–19]采用一阶低通滤波器以克服“微分爆炸”问题,但是这种传统的一阶低通滤波器存在边界层误差,故只能实现有界的误差轨迹跟踪,而不能保证其具有零误差的渐近跟踪.本文通过设计一种新型非线性滤波器完全补偿了传统动态面控制方案中存在的由边界层误差所产生的未知非线性函数Bi,j(·)的影响,从而实现了对该多智能体控制系统的渐近跟踪.

5 仿真结果

在这一部分,考虑如下一系列同时具有磁滞输入、非线性项和未知参数的多智能体系统:

控制目标是基于本文所提出的分布式输出反馈渐近一致控制方案设计自适应控制率ui,使各跟随者输出yi均与其领导者输出yr=0.5 sint趋于渐近一致.为了达到该控制目标,笔者根据式(12)–(13)设计了如下一系列动态高增益K-滤波器:

其中:i=1,2,3,qi=[2 1]T,动态增益li由如下微分方程给出:

图2 通信网络Fig.2 Communication network

在此基础上,根据本文所提出的控制方案选取虚拟控制率和实际控制率分别为

然后,选取该控制系统中的所有参数估计初值均为0.仿真结果如图3–6所示,分别给出了该非线性多智能体系统在本文所提出的新型动态面一致性控制方案下的输出信号、一致性误差信号、实际控制信号以及各跟随者状态信号的响应曲线图.

图3 新型动态面控制方案下的多智能体系统输出信号Fig.3 The output signals of multi-agent systems under new dynamic surface control scheme in this paper

然后,在领导者输出轨迹、控制器设计参数和状态初值等不变的条件下,进一步利用现存的传统动态面一致控制方案[14]去控制该非线性多智能体系统.仿真结果如图7–8所示,分别给出该多智能体系统在传统动态面一致控制方案下的系统输出和一致性误差的变化曲线.

图4 新型动态面控制方案下的一致性误差信号Fig.4 The consensus error signals under new dynamic surface control scheme in this paper

图5 新型动态面控制方案下的实际控制信号Fig.5 The actual control signals under new dynamic surface control scheme in this paper

图6 新型动态面控制方案下的状态信号Fig.6 The state signals under new dynamic surface control scheme in this paper

图7 传统动态面控制方案下的多智能体系统输出信号Fig.7 The output signals of multi-agent systems under the traditional dynamic surface control scheme

从上述仿真结果可看出,与现有的传统动态面一致性控制方案[14]相比,本文所提出的带有新型非线性滤波器的动态面一致性控制方案具有更加良好的跟踪性能,其可以解决传统动态面一致性控制方案无法令跟踪误差收敛至零的难题.因此,仿真结果进一步证明了该方案的正确性和优越性.

图8 传统动态面控制方案下的一致性误差信号Fig.8 The consensus error signals under the traditional dynamic surface control scheme

6 结论

本文研究了一类具有磁滞输入且状态未知的多智能体非线性系统的领导者–跟随者一致性渐近控制问题.首先,设计了渐近稳定的动态高增益K-滤波器去估计系统的未知状态,其能够解决系统中与未知状态线性相关的非线性项.然后,设计了具有正时变积分函数的新型非线性滤波器,该滤波器不仅可以避免传统反推法[11–13]无法避免的“微分爆炸”问题,而且还能补偿传统动态面[14–19]的边界层误差.理论分析表明该方案能有效地消除未知磁滞输入对系统跟踪控制性能的影响,确保多智能体闭环控制系统的稳定性,并实现跟踪误差的渐近收敛.仿真结果也验证了该方案的有效性.未来的研究应考虑对未知控制方向和更具一般性系统案例的扩展.