教育信息化背景下线性代数内容体系构架的探索与实践

方文波 李书刚 程婷 代晋军 李正帮

【摘要】本文在总结国内外线性代数教材的基础上，介绍了以线性方程组为明线，以线性变换为暗线构架线性代数课程教学内容体系的一些具体做法以及该体系的特点.《线性代数及其应用》教材（根据该构架体系编写）入选国家“十二五”规划教材，2018年获得国家教学成果二等奖.

【关键词】线性代数，内容体系、线性方程组、线性变换、明线、暗线

【基金项目】“互联网+”背景下线性代数新形态教材建设及教学模式探索（华中师范大学教研项目，2016）

一、背 景

我们的研究团队十多年来致力于线性代数课程数字化教学资源的研发.目前已研发出的线性代数教学软件有演算系统、测试系统、线实验系统、求解模型等，在高等教育出版社出版了5套线性代数电子教案.在研发这些数字化教学资源过程中，我们参阅了大量国内外优秀的线性代数教材，并对它们进行了研究.国内外线性代数教材的主要内容基本相同：行列式、矩阵代数、线性方程组、向量组的线性相关性、特征值与特征向量、二次型、向量空间和线性变换等.不同之处在于：国外教材内容相对较全面，难点分散，着重强调线性代数方法和应用，在内容编排上略显松散;国内教材在内容上有所删减，在编排上知识体系的逻辑性较好、较紧凑，强调理论和方法，对应用重视不够，几乎不涉及数值计算.

在内容组织上，国内线性代数教材的内容组织可分成两种：无主线型和有主线型.无主线型是按知识点的前后逻辑顺序进行编排;有主线型是以某一个问题或知识点为主线将各内容串联起来形成一个整体，有主线型的主线一般为方程组、矩阵、初等变换、向量等.以方程组为主线编排的指导思想是希望以方程组的研究来引入其他内容，或用方程组来解释某些内容.

随着计算机技术的迅速发展，线性代数已不仅仅是其他学科的基础和工具，它已成为可以直接创造价值的数学技术.基于此，我们产生了编写一本吸收国内外优秀线性代数教材优点的且符合我国国情的线性代数教材的想法.

二、内容确定

在确定内容时，我们考虑到我国高校工科专业线性代数课程的学时数较少（一般为32～52学时），以及教学大纲和考研的要求，最后确定的内容有：行列式、矩阵代数、线性方程组、向量组的线性相关性、特征值与特征向量、二次型.将线性空间浓缩成一节放在向量组的线性相关性中;将线性变换简化成矩阵变换，分散在不同的知识点中，形成内容体系的暗线.同时考虑到大部分同学学习线性代数的目的是应用，我们精选并设计了14个应用案例：平行四边形的面积、平行六面体的体积、平面图形变换、齐次坐标、希尔密码、剑桥减肥食谱、电路网络、配平化学方程式、网络流、向量在差分方程中的应用、马尔可夫链、二次曲线的研究、条件优化、离散动力系统.

三、内容构架

使用了双主线：以方程组的研究为明线，以线性变换为暗线.

1.明线的设计

我們知道，线性代数这门学科是在研究线性方程组的过程中发展起来的，因此，以方程组为明线的设计思路符合这门学科的发展规律.为了突出明线的作用，我们增加了线性方程组的研究这一章，在这章里通过几个具体的例子来引入线性方程组解的三种情形以及在研究线性方程组时需解决的三个问题.除了特征值特征向量及二次型外，其他内容都是为了解决这三个问题而展开的.

行列式是在研究线性方程组的过程中最早产生的一个重要概念.为了记忆二元和三元线性方程组唯一解的求解公式，引入了二阶和三阶行列式.研究了行列式的定义和性质后，克拉默法则解决了有n 个未知量n 个方程的线性方程组有唯一解的条件以及唯一解的求解公式.

为了研究一般线性方程组，需要引入新的概念、新的工具，建立新的理论.由于线性方程组与未知量的系数和常数项构成的矩形数表一一对应，所以线性方程组的研究可转化成对这个矩形数表的研究，这样很自然地引入了矩阵这个概念，矩阵为线性方程组的研究提供了有力工具.

如何利用矩阵来研究线性方程组？还需要引入哪些概念和方法呢？为了解决这些问题，我们增加了消元法.消元法是先用初等变换将方程组化为阶梯形方程组，然后通过阶梯形方程组来讨论原方程组的解.利用消元法可以对具体线性方程组解的情形进行判别，但对一般的线性方程组，由于得不到阶梯形方程组，因而此时消元法的结论好看不好用.为了使消元法的结论变得好用，可利用矩阵这一有力工具.为此先将消元法中方程组的初等变换、阶梯形方程组、同解方程组、阶梯形方程组中有效方程的个数等概念移植到矩阵中去，这样便得到了矩阵的初等行变换、行阶梯形矩阵、矩阵等价、矩阵的秩等概念.这样处理使得矩阵的相关概念的引入变得非常自然，学生更容易接受.有了这些准备后，就可以用矩阵语言将消元法的结论进行描述，得到了在理论和具体应用中都非常有用的线性方程组解的判别定理.由此，使学生既可以看到矩阵理论中的很多重要概念和方法的引入不是数学家凭空想出来的，而是有的放矢，又可从中学到分析问题和解决问题的方法.

虽然利用矩阵的秩可以判别方程组解的情形，利用矩阵的初等行变换可以求出方程组的全部解即通解，但方程组的研究还没有结束，因为在通解中是用有限个解来表示全部的解，也就是说通解是有结构的.为了研究通解的结构，需要用到线性代数中的另一重要工具——向量.另外，线性方程组中的每个方程可以唯一确定一个向量，故线性方程组与向量组构成一一对应的关系，因而线性方程组理论中的很多概念，如线性表示、线性相关、同解方程组、保留方程组、保留方程组中方程的个数等移植到向量组中去就产生了线性表示、线性相关、向量组等价、极大无关组、向量组的秩等概念.同时，在建立向量组理论的过程中还会反复地用到线性方程组的理论.向量组的理论形成后，就可以用它来解释线性方程组通解的结构.

矩阵的特征值特征向量理论、二次型理论可以看成是线性方程组理论和前面已形成的矩阵理论、向量组理论的应用.

综上所述，用线性方程组将线性代数中的其他经典内容串联起来有以下优点：一是可使得原本相互独立的知识模块构成一个有机整体，使整个内容体系脉络清晰;二是可使学生掌握线性代数处理问题的思维和方法，掌握线性代数中的两种重要语言——矩阵语言和向量语言;三是有利于进行问题式、研究式教学.

2.暗线设计

将线性变换作为内容体系的暗线是基于以下考虑：一是因为线性变换是线性代数这门学科的核心内容之一;二是线性变换的矩阵形式在工程技术中有广泛的应用;三是为了增加趣味性和直观性.

在本内容体系中，线性变换首次出现在用于引出矩阵概念的引例中，说明线性变换与矩阵形成一一对应的关系，线性变换的研究可转化为矩阵的研究.

利用线性变换引出逆矩阵的概念，验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵，求逆矩阵.例如，利用线性变换求矩阵A=1-111的逆矩阵.矩阵A所确定的线性变换设为 y=Ax，则求逆矩阵即为求逆变换.在高等数学图形系统MathGS中可以直观地发现，线性变换y=Ax是先把原像x逆时针旋转一个角度然后放大一个倍数即得像y，因此只要能求出旋转角和放大的倍数值即可求出逆变换.这两个数经过矩阵的简单运算不难得到.因为A=1-111= 2 22- 22 22 22= 200 2 22- 22 22 22= 200 2cos π4-sin π4sin π4cos π4，

所以，旋轉角为π4，放大倍数为 2，于是逆变换的矩阵即所求逆矩阵为

A-1=1 2001 2cos - π4-sin - π4sin - π4cos - π4=1212- 1212.

利用初等矩阵的理论来解释计算机图形学中的图形变换只有对称、伸缩和错切等三种基本变换，而其他任何可逆线性变换均可由这三种基本变换复合而成.

利用线性变换可直观地引出矩阵特征值与特征向量的概念.事实上，矩阵特征值与特征向量正是数学家在研究线性变换时发现的.一般情况下，向量x在线性变换y=Ax下的像y的长度和方向都会改变，而有些线性变换则存在一些特殊的向量，这些特殊向量在该线性变换下的像与原像共线，这两条特殊的向量就是特征向量.

所以，利用线性变换引出特征值与特征向量的概念，既符合特征值理论的形成过程，也能使学生感觉是自己在发现知识，而不仅仅是在学习知识.

二次型的研究本身就离不开线性变换.为了说明特征值特征向量的几何意义，我们还增加了利用正交变换研究二次曲线和二次曲面两个案例.

内容体系暗线的设计有以下优点：一是使内容体系本身更加丰满，二是使抽象的内容直观化，从而降低理解的难度，三是使理论和应用有机结合，增加了趣味性，四是使部分知识点更适合进行翻转课堂教学.

基于以上思路，我们已编写了《线性代数及其应用》教材，该教材已在高等教育出版社出版，并已成功入选国家“十二五”规划教材.教材出版后得到了国内相关专家的肯定，也得到了广大师生的好评，包含该教材的教研成果2018年获得国家教学成果二等奖.正是由于该教材得到了广泛肯定，我们才有信心将我们的编写思路拿出来供大家参考，希望能起到抛砖引玉的作用，特别是希望能对广大青年教师的线性代数课程教学有所帮助.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]郝志峰，等.线性代数（修订版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].工程数学学报，2005（8）.

[4]王慧，贾利东.大学线性代数教学改革的几点思考[J].数学学习与研究，2019（17）.