图示教学干预对数列求通项问题的影响研究

于文华 王光耀

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

在我国，学生间的数学成绩和水平有不小的差异.因此，要使学校的数学教学对所有学生都适用，设计能够提高学生问题解决能力的干预措施是至关重要的.数学教育领域有丰富的关于干预的研究，这些研究旨在帮助学生更有效地解决问题.现有的大量文献提出了一些能够提高学生问题解决能力的措施，包括教师明确系统的教学、学生努力的思考、形成视觉的表征、同伴的协助、形成性评价提供的反馈等[1，2].图示教学干预(Schema-Based Instruction,SBI)是针对传统教学的一种替代教学方法，它综合了以上许多的功能，能够满足有不同需求的学习者，提高他们的数学问题解决能力.

数列在高中数学知识体系中占有重要的地位，其包括的通项公式、求和公式等内容，既有独特的内容体系，又与其它数学知识有着密切联系.另外，数列问题中公式的灵活运用、构造新数列的能力、对不等式内容的渗透，都是教学的重点内容，也是学生理解和学习的难点.而在这些问题中，数列求通项公式又是最基础的问题，因为数列的通项公式刻画了数列的变化规律，直接决定了数列的特点.

在之前相关的图示教学干预研究中，主要的参与者都是小学生与初中生，研究的问题集中在加减乘除问题和比例比率问题.针对高中数列内容的研究很少，本文运用图式教学干预对高中数列求通项问题进行研究，旨在拓展以往图示教学干预的研究领域.

2 理论基础与文献综述

2.1SBI理论SBI包含了特殊教育部门为残疾学生颁布的系统而明确的指导，但它很大程度上借鉴了认知心理学的图式理论，是以专家型问题解决者和数学问题解决的认知模型为基础发展而来的干预理论[3].SBI理论包括四个主要部分，即问题的数学结构、可视化的数学表示、元认知策略的指导、解决过程的灵活性.

虽然SBI理论在干预过程中也提供数学陈述性知识的指导，但更加强调识别问题结构和类别以后的数学程序型知识[4].同时，教师被引导使用有效的教学实践来帮助学生分析问题结构(识别问题类别)，用可视化的示意图表示问题[5]，计划如何解决问题，并检验答案的合理性.另外，教师提供的问题解决策略强调培养学生的元认知能力,努力引导学生在解决问题的同时，思考他们在做什么、他们这样做的原因、这样做是否合理有效等[6].最后，SBI干预也注重问题解决的程序灵活性[7].总而言之，SBI理论包含一个内涵丰富、完整全面的干预措施系统.

2.2应用SBI进行的研究早期的SBI研究设计主要是短期的、独立的，针对数学问题解决中的归纳图式.后期的SBI研究设计演变为投入时间更长、设计目的更明确的实证研究.

早期的干预实验研究了如何设计图示来构建与数学问题解决相关的模型.例如，Quilici等人[8]证明按问题类型分组的学生比不按问题类型分组的学生能更有效地解决数学问题.在针对小学生的相关研究中，Chen Z[9]研究了如何促进参与者图式归纳，以及问题解决方案的准确性及其与图式发展的关系.结果表明，合理利用图示的参与者更有可能建立数学模型并产生解决问题的迁移图示.

后期的一些干预实验研究开始探索显式SBI作为一种促进数学问题解决有效性的干预措施，因此后期有关问题解决的研究，已经将SBI这一干预措施显式化、明确化.Jitendra A K等人[10]把问题分类后对参与者的问题解决进行研究，结果表明图式结构理论有可能指导数学问题的解决.Fuchs L S等人[11]为了分离出明显的SBI干预，随机将三年级学生分配到对照组和实验组环境中，结果表明，与教师设计的教学和研究人员设计的问题解决方法教学相比，SBI产生了更好的问题解决结果.在Xin Y P等人[12]的一项研究中，一组有学习问题的学生被随机分配到SBI条件下，另一组学生接受一般问题解决启发式教学.结果表明,接受SBI的学生成绩显著提高.Jitendra A K等人[13]将七年级的学生随机分配到SBI条件或控制条件下进行研究.结果表明，接受SBI的学生平均得分明显高于控制条件下的学生.Jitendra A K等人[14，15]的其他两项研究中接受SBI的学生在后测的比例问题解决措施上都优于对照组的学生.另外，Jitendra A K等人[16]改进了以往的研究设计，将每位老师随机安排到SBI组教室或控制组教室.结果表明,SBI教室学生的期末测验平均成绩超过控制组教室学生的期末测验平均成绩.

3 研究目的及问题

尽管以前有大量的研究均支持SBI的有效性，但在以往的研究中，研究者选取的被试多为患有行为障碍的学生或者成绩很不理想的学生，研究的问题多为数学领域的比例、比率问题.鉴于此，本文的研究做出了相应的改进，包括如下几个特点：首先，本文的研究在通识教育的环境中进行，选取的被试是接受通识教育的水平能力不同的学生；其次，本文将研究的问题从乘除法、比例问题扩展到数列问题，并重点研究数列中求通项这一问题，这对以往的研究是一个扩展和深化；最后，教学干预是由通识课堂教师提供，实验研究小组主要在后勤等工作上提供支持，这消除了研究小组直接参与课堂教学以及效果评价对研究结果的影响.

本研究的第一个目的是进一步评估SBI干预在数列求通项问题解决上的有效性;第二个目的是评估SBI干预的效果随时间的维持情况;第三个目的是研究SBI干预能否调节学生间的成绩差异.据此，提出以下三个研究问题：

1) 图示教学干预对学生解决数列求通项问题的效果如何？

2) 学生接受图示教学干预后的保持情况如何？

3) 图示教学干预是否调节了学生间的成绩差异？

4 研究方法

4.1参与者随机选取3个自然班作为潜在的参与者，然后根据数学老师掌握的学生在校学习情况，排除了26名学生，原因包括特别突出的课堂表现等.然后将其余120名参与者按照以往的学习成绩和表现分成四组，依次标记为A、B、C、D组，每组30名参与者.按照实验研究的程序，获得了参与者的同意，并获得了家长同意.此外，根据学校记录和家长谈话，这些学生没有接受特殊教育或其他数学干预.

4.2实验设计通过对数列求通项问题的分析，将数列求通项问题的方法分为以下六种，分别为公式法、前n项和法、sn与an的关系式法、累积法、构造法与变形法.

公式法应用于根据已知条件能够推出数列{an}为等差或等比数列，然后根据通项公式的基本形式进行求解的情况；前n项和法应用于已知数列的前n项和sn的解析式来求通项公式的情况；sn与an的关系式法应用于已知数列{an}的前n项和sn与an的关系，求通项公式的情况；累积法包括累加法和累乘法，应用于已知数列的第n项和第n-1项的差或者商是一个有“规律”的数的情况；构造法应用于已知数列{an}的形式为an=kan-1+b或者an=kan-1+cm的情况；变形法包括取倒数法和取对数法，取倒数法应用于已知数列{an}的形式为an+pan-1=qanan-1(p，q是常数，pq≠0)的情况，取对数法应用于已知数列{an}的形式为ank=an-1l(k和l为非零常数) 的情况.

本研究使用多重基线设计来评估SBI干预对解决数列求通项问题的影响效果，将整个干预过程分为三个阶段，分别为基线阶段、独立干预阶段与保持阶段.在基线阶段，测试参与者对公式法、前n项和法、sn与an的关系式法的理解掌握情况；在独立干预阶段，测试参与者对累积法、构造法、变形法的理解掌握情况；在保持阶段，编制了综合多种方法的试题，测试参与者对多种方法的保持情况.各个阶段的具体实施方法如下：在基线阶段和保持阶段，通过编制的测试题来直接研究参与者的反应情况；在独立干预阶段，又将干预的实施分为三个步骤阶段，依次是识别图示阶段、策略指导阶段与独立应用阶段，然后通过相应的测试题来研究参与者的反应情况.

4.3干预材料在研究的基线阶段和保持阶段，使用的材料主要为研究人员编制的测试题，而在独立干预阶段，根据干预的独特性，除了使用测试题材料外，还设计了两份干预材料.在识别图示阶段，设计了识别图示材料，在策略指导阶段，设计了策略指导材料.以下是针对这两份材料的详细描述.

4.3.1 识别图示材料 针对累积法、构造法与变形法这三种方法，在干预过程的识别图示阶段设计了识别图示材料.此材料主要展现了每种方法图示的特点，干预者根据此材料，提供明确的指导，说明如何识别特点不同的各个图示.表1以构造法为例，展示了识别构造法图示的干预材料.

表1 识别构造法图示的干预材料

图1 识别构造法的图示

4.3.2 策略指导材料 按照“发现-转化-解决-检查”的步骤，指导参与者形成学习策略.

表2 策略指导材料

4.4干预处理和数据收集为了消除干预过程中的霍桑效应，本研究决定由通识教育环境中的课堂教师担任第一干预者，该干预者在一所中学有若干年的教学经验.此干预者同时作为第一数据收集者.其他研究人员通过收集整理实验数据，独立地对测试进行评分.第一干预者在整个研究过程中，对参与者进行独立地指导和管理，而其余的参与者则在课堂老师的带领下完成日常学习任务.对每组参与者，完成3次基线的测量、12次独立干预的测量、6次泛保持的测量.每一次的干预课程结束以后，将参与者的结果进行整理分析.

图2 转化问题图示

图3 解决问题图示

基线阶段的处理近似于典型的课堂教学，但所有的教学都是单独提供的.干预者出示基线测试，参与者独立完成测试.整个过程没有关于答案正确与否的反馈.随后的独立干预阶段，干预者对如何识别每个图示以及每个待解决问题的独特特征提供了明确的讲解与指导，并提出三个指导性问题(即“图示中，数列是怎样的形式?”“问题给出的已知条件中，数列是怎样的形式?”“你能否根据问题的数列形式找到相应的图示?”);然后干预者与参与者讨论问题的特征，最终使参与者确定问题的类型.干预者的指导结束后，参与者拥有练习的时间，以便熟悉和掌握确定的识别过程.策略指导材料详细描述了解决问题的四个步骤，干预者的指导结束后，留给参与者一定的练习时间，以便熟悉和掌握运用这一策略的过程；随后参与者进行独立应用练习.在干预者提供测试题后，参与者独立解决数列求通项问题，问题涉及到一两种方法的运用，整个过程没有任何提示.测试结束后，由干预者收集整理相关数据.保持阶段在独立干预阶段结束后的当天进行.干预者提供测试题后，参与者独立解决数列求通项问题，问题涉及到多种方法的综合运用，整个过程没有任何提示.测试结束后，由干预者收集整理相关数据.

4.5数据分析数据分析将从可视化分析和效应大小(Effect Size，ES) 两方面进行.可视化分析针对数据的平均水平、趋势、稳定性和间距[17]，效应大小(ES)依赖于可视化分析的结果，并在此基础上分析干预数据和基线数据的非重叠数据百分比(Percent of Nonoverlapping Data，PND)、所有数对的非重叠百分比(Nonoverlap of All Pairs，NAP).

PND被直接解释为干预数据的百分比,比基线有改善，基线用一个单一的、最离群的得分来表示[18].大效应的PND标准建议大于0.90，中等效应的PND标准建议在0.70到0.90之间，小效应或可疑效应的PND标准建议低于0.70.

NAP在比较中使用所有数据，是一组分数分布与另一组分数分布的比较[19].从统计学上看，这类似于观察一项干预措施的随机得分超过基线的概率.NAP的结果在0.50到1的范围内，其中0.86被认为有很大的影响，而0.50则是没有影响[20，21].

5 研究结果

本研究包括四组参与者，通过三个实验阶段 (基线阶段、独立干预阶段、保持阶段)，测试了SBI干预对他们数学问题解决能力的影响.每组参与者完成3次的基线测试，12次的独立干预测试，6次的保持测试，每组参与者的测试结果见图4.

图4 四组参与者的测试得分

A组参与者基线均值为59(范围为53～62)，干预均值为62 (范围为51～75)，维持均值为47 (范围为40～55).从基线到干预和维持的平均水平变化分别为+3和-12.干预和维持的标准差分别为6.7和5.8.在开始干预后，学生分数的立刻变化为+14.在9个干预数据中，有5个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.44(4/9)，NAP值为0.68(18.5/27).在6个保持数据中，有2个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.77(4/6)，NAP值为0.83(15/18).

B组参与者基线均值为42(范围为37～45)，干预均值为51 (范围为43～58)，维持均值为40 (范围为34～46).从基线到干预和维持的平均水平变化分别为+9和-4.干预和维持的标准差分别为4.9和4.2.在开始干预后，学生分数的立刻变化为+12.在9个干预数据中，有2个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.78(7/9)，NAP值为0.89(24/27).在6个干预数据中，有4个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.33(2/6)，NAP值为0.64(11.5/18).

C组参与者基线均值为76(范围为72～80)，干预均值为73 (范围为66～83)，维持均值为64(范围为56～71).从基线到干预和维持的平均水平变化分别为-3和-13.干预和维持的标准差分别为5.1和4.9.在开始干预后，学生分数的立刻变化为-4.在9个干预数据中，有5个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.44(4/9)，NAP值为0.67(18/27).在6个干预数据中，有0个基线范围内的重叠数据点，PND值为1(6/6)，NAP值为1(18/18).

D组参与者基线均值为35(范围为32～39)，干预均值为43 (范围为35～53)，维持均值为36(范围为32～41).从基线到干预和维持的平均水平变化分别为+3和-22.干预和维持的标准差分别为4.8和2.8.在开始干预后，学生分数的立刻变化为+14.在9个干预数据中，有1个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.89(8/9)，NAP值为0.89(24/27).在6个干预数据中，有5个基线范围内的重叠数据点，PND值为0.16(1/6)，NAP值为0.53(9.5/18).

6 讨论与结论

在以往的图示教学干预研究中，主要的参与者都是小学生、初中生，研究的问题集中在加减乘除问题和比例比率问题.本研究针对数列求通项问题，设计了三个实验阶段对图式教学干预措施进行评估，根据提出的三个研究问题，分析研究干预措施的有效性.

研究结果表明，A组、B组、D组的干预均值比基线均值有提高，C组干预均值比基线均值有下降；所有四组的保持均值比干预均值有下降，A组、B组、C组的保持均值比基线均值有下降，D组的保持均值比基线均值有提高；四组参与者基线均值的标准差为15.9，干预均值的标准差为11.3，保持均值的标准差为10.7，干预均值方差和保持均值方差比基线均值方差都有下降，独立干预阶段和保持阶段四组参与者的成绩比基线阶段波动程度更小，图示教学干预调节了参与者间的成绩差异.综上所述，这些研究结果支持图示教学干预在数列求通项问题中的有效性影响.

关于第一个研究问题，即图示教学干预对学生解决数列求通项问题的效果如何.在实验中，A组、B组、D组的干预均值比基线均值有提高，C组干预均值比基线均值有下降.从PND值来看，A组、C组是低效应影响，B组、D组是中效应影响.从NAP值来看，A组、C组不属于大效应影响，B组、D组属于大效应影响.因此图示教学干预对A组是低效应的正向影响，对B组是高效应的正向影响，对C组是低效应的负向影响，对D组是高效应的正向影响.

在独立干预阶段中，尽管从实验设计到实验实施环节都进行了随机处理以减少不同识别图示干预材料之间的影响，但各个识别图示材料之间缺乏明确的区别，也无法做到完全的区别实施.关于A组和C组的低效应表现结果，一个可能的原因是在识别图示阶段将不同求解方法结合起来实施.也就是说，在参与者运用接受干预后求通项的某个环节中，可能被多种求解方法影响，即使将独特的数学情境随机分配到不同的干预条件下，所有实验材料的解决、所有干预条件的影响都可能是结合的结果.因此，应用于某一个数学情境的解决方法可能会在其他干预条件下发挥作用.但A组依然显示出了正向的效应结果.关于C组小负向影响的一个可能的原因是，C组的基线均值处于较高水平，会对各种图示干预都做出一定的反应，但反应结果与较高水平的基线相比，出现了可接受范围内的负向的波动.因此，图示教学干预对学生解决数列求通项问题具有正向影响效果.

关于第二个研究问题，即学生接受图示教学干预后的保持情况如何.四组参与者的保持均值比干预均值都下降，A组、B组、C组的保持均值比基线均值有下降，D组的保持均值比基线均值有提高.从PND值来看，A组是中效应影响，B组、D组是低效应影响，C组是高效应影响.从NAP来看，A组、B组和D组不属于大效应影响，C组属于大效应影响.因此干预后的保持情况，图示教学干预对A组是中效应的负向影响，对B组是低效应的负向影响，对C组是高效应的负向影响，对D组是低效应的正向影响.在保持阶段中，四组参与者保持均值比干预均值均下降.应当注意到参与者在没有任何提示的情境下独立解决综合问题，经过单独干预的图示识别和策略指导之后，应用到新的情境下解决综合问题，出现了四组保持均值都下降的结果.A组和B组都在小效应影响下有下降，C组是在大效应影响下有下降，D组同样是小效应影响，但保持均值比基线均值有提高，说明经过单独干预后的D组参与者能够掌握一些数列求通项问题的基本方法.因此，学生接受图示教学干预后的保持情况不理想.

关于第三个研究问题，即图示教学干预是否调节了学生间的成绩差异.所有四组的基线均值为59、42、76、35，标准差为15.9，所有四组的干预均值为62、51、73、43，标准差为11.3，所有四组的保持均值为47、40、64、36，标准差为10.7，干预均值方差和保持均值方差比基线均值方差都有下降，独立干预阶段和保持阶段四组参与者的成绩比基线阶段波动程度更小，图示教学干预调节了参与者间的成绩差异.

虽然本研究有助于拓展数学领域中图示教学干预的实证研究，但仍需注意几个局限.第一，应说明内部效度(比如学生自身知识水平的成熟发展)和外部效度(比如四组参与者)对本研究的影响.而针对这一问题，对不同人群进行重复研究或者选取多组参与者进行干预研究可能会是比较好的解决办法.第二，实验结果是特定数学问题情境下的干预结果，没有评估干预措施对课堂表现的泛化结果.因此，尚不清楚学生在课堂作业和测试中的表现是否会有相似的反应.但本研究提供客观可靠的数据支持，也能够为以后相关群体干预、课堂教学干预、数学其它技能干预等研究提供支持.第三，本研究针对的是中学生对数列求通项问题的应用能力.目前还不清楚干预措施是否适用于更复杂的数学技能.更复杂的数学技能可能需要多次、多种干预才能有明显的改善.因此，数学干预在多大程度上概括了复杂的数学技能还不得而知.

综上所述，与基线阶段相比，图示教学干预在独立干预阶段对学生解决数列求通项问题具有正向影响效果，在保持阶段情况不理想，但图示教学干预能够调节参与者间的成绩差异.因此，图式教学干预是一个有效的干预措施，它能够调节参与者间的成绩差异.未来更多的相关研究应关注图示教学干预对参与者保持情况的影响.