以“分式方程”为例谈初中数学学法指导

郎宏琪

摘   要：课堂教学中，教师是主导，学生是主体，教师指导学生学习.以“分式方程”的教学为例，探讨初中数学课堂教学中指导学生学法的策略.首先运用迁移式指导法，指导学生学会解分式方程;然后运用问题式指导法，指导学生解分式方程时检验的方法.强调解分式方程必须检验;再运用示范式指导法，帮助学生规范解分式方程的解题格式;最后运用结构式指导法，帮助学生理清增根产生的原因;运用矫正式指导法，帮助学生走出误区;运用渗透式指导法，提升学生思维能力.

关键词：初中数学;学法指导;分式方程

初中数学教学过程就是教师指导学生自主学习的过程.在这过程中，本着尊重学生主体地位的原则，教师引导并组织学生自主学习，合作探究.不断提升他们的学习能力，从而为终生学习打下良好的基础.

笔者谨以“分式方程”教学为例，探讨对学生进行学法指导的策略.

1  运用迁移式指导法，指导学生学会解分式方程

数学教材的前后知识间往往存在一定的内在联系.教师要善于引导学生有意识地把已有的知识、技能、经验等迁移到新知识的学习中.

学习分式方程之前，学生接触到的都是整式方程.教学分式方程应启发学生找出两种方程之间的异同点，分析讨论解分式方程的策略.

运用迁移式指导法，指导学生学习并掌握解分式方程的一般方法.首先解方程2-=;然后借助解该方程，回顾总结出解含有分母的一元一次方程的一般步骤：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化为“1”.最后将解法步骤和经验迁移到解分式方程之中.

点拨学生解分式方程时，在“去分母”这一步，方程两边必须乘“最简公分母”.放手让学生自主探究解分式方程：（ⅰ）-=0，（ⅱ）-=.待学生解出这两个分式方程，教师将部分学生练习的情况投映到电子白板上，组织学生进行评价.引导学生分析、归纳解分式方程的一般步骤.

2  运用问题式指导法，引导学生解分式方程必须进行检验

教学过程讲究的是一波未平一波又起，层层推进.教师是教学的主导，应善于运用各种策略引导学生进行探究学习.问题和问题串是推进教学过程的有效手段，运用问题式指导法，引导学生逐步探究.

“分式方程”教学中，教师在小结分式方程的一般解法后，抛出新问题：

（1）什么是方程的解？

（2）x= -4一定是方程-=0的解吗？你是如何确定的？

通过这个问题，将学生的思维逐步引向分式方程必须检验这个解题步骤中.

学生解答这两个问题，一般不会有什么困难.接着，教师提出一个新的问题：

解方程：（ⅲ）=-1，并检验.

这个问题，表面看与之前的问题没太大区别，但实际暗藏杀机——涉及到增根，学生解答起来自然困难——无从下手.与该分式方程所对应的整式方程的解是x=2，而x=2是无法代入原方程的.向学生提出了新的挑战——怎样检验.

运用问题式指导法指导学生学习，旨在引导学生明白解分式方程必须检验，以及检验的方法.

3  运用示范式指导法，规范解分式方程的解题格式

解题规范有助于学生的解题思维向正确的方向发展，帮助学生理清解题步骤;解题规范有助于学生进行解题后的自我检查，提高解题正确率.

笔者运用示范式指导法指导学生学习分式方程，帮助学生规范解分式方程的解题格式.

例如，解分式方程：（ⅳ）-=1;

（ⅴ）-=1.

解：（ⅳ）方程两边同乘（x+2）（x-2），得：（x+2）2-20=（x+2）（x-2），整理得：x2+4x+4-20=x2-4，移项、合并同类项得：4x=12，解得：x=3.检验：当x=3时，（x+2）（x-2）=5≠0，∴x=3是原方程的解.

解：（ⅴ）方程两边同乘（x+1）（x-1），得：x（x+1）-2=（x+1）（x-1），整理得：x2+x-2=x2-1，移项，合并同类项得：x=1.检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0，∴x=1是增根，原方程无解.

学习解分式方程，“检验”这一步应反复强调，使每个学生都学会检验，并使“检验”成为学生解分式方程的自觉行为.

4  运用结构式指导法，帮助学生理清增根产生的原因

學生通过自主学习，获取的知识是零散的.欲想让学生自己将“零散”的新知，有效整合到已有的知识体系中，是比较困难的.教师运用结构式指导法，帮助学生把握知识的来龙去脉，深入理解知识的立体结构、完整体系和相应的认知结构.

在解分式方程的过程中，对于“增根”的产生，不少学生产生了困惑：为什么在解含有分母的一元一次方程时，没有出现增根，而解分式方程时有时会出现增根呢？对于这一疑惑，教师应启发学生思考，引导学生探究，使学生“茅塞顿开”.

解整式方程时，不会出现增根.其原因是：

（1）若整式方程中不含分母，则通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为“1”等步骤解方程，是不可能出现增根的——方程两边没有乘任何代数式;

（2）若整式方程中含有分母，依据等式基本性质，两边乘以分母的最小公倍数，这个“最小公倍数”是一个具体的数而不是含有字母的代数式，解这样的整式方程也不会出现增根.

概况起来说，解整式方程不会出现增根.

解分式方程，由于方程两边同时乘以的是各个分式的最简公分母，这个最简公分母必定含有未知数.倘若这个最简公分母为零，则此时方程两边同时乘以的数实际就是零，其结果当然是方程两边都为零，这与原分式方程不能构成同解方程，故出现了增根的现象.

鉴于此，解分式方程一定要验根，这是区别于解整式方程的一个重要步骤.

5  运用矫正式指导法，帮助学生走出误区

解分式方程，学生有两个认识误区：

误区一：方程有增根时，方程就无解;

误区二：分式方程无解时，就是该方程有增根.

教师必须明明白白地告知学生，解分式方程出现增根，并不意味着方程就一定无解;分式方程无解，也未必就一定出现增根.可结合具体例子，解给学生看.运用矫正式指导法，让学生走出认识误区.

例如：解分式方程：（ⅵ）+=1+.

解：方程两边同乘（x+2）（x-2），得：（x-2）+4x=（x+2）（x-2）+2（x+2）.整理得：x-2+4x=x2-4+2x+4.移项、合并同类项得：x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2.检验：当x1=1时，（x+2）（x-2）=-3≠0，所以x1=1是原方程的根;当x2=2时，（x+2）（x-2）=0，所以x2=2是原方程的增根.因此，原方程的根是x=1.

一个分式方程化成一元二次方程后，如果有两个解，且其中一个满足原方程而另一个不满足，那么满足的那个解就是原分式方程的解，另一个是原方程的增根，要舍去.

通过这个例子，学生走出了“误区一”.

再如： 若关于x的分式方程=a无解，求a的值.

解：方程两边同乘x+1得：x-a=a（x+1），整理得（1-a）x=2a

∵原分式方程无解，∴有两种情况.

①方程（1-a）x=2a无解，此时a=1;

②方程（1-a）x=2a有解，但这个解是分式方程的增根，即x=-1，把x=-1代入（1-a）x=2a，解得a= -1.

综上所述，a的值为±1.

通过这个例子，帮助学生走出“误区二”.

6  运用渗透式指导法，提升学生思维能力

根据学生学习的实际情况，相机引导，把学习方法、解决问题的策略渗透到学生的学习过程中，润物无声.

6.1  运用渗透式指导法，提升学生的逆向思维能力

逆向思维要求学生变换角度思考问题.如果学生能经常性地进行逆向思维训练，那么他们考虑问题会更全面、周到.甚至能独辟蹊径解决数学难题.学习分式方程的解法，由于有时会出现增根，借助分析增根产生的原因，训练学生的逆向思维.

例如： 关于x的方程=有增根，则增根是______ ，m的值为______.

解决这个问题，学生必须理解“增根”的概念以及增根产生的原因.从而加深学生对“增根”的理解.

该方程的最简公分母是3（x-3），而出现增根是由于对应整式方程的解代入到最简公分母中时，最简公分母为零.所以，由3（x-3）=0，解得x=3. 显然，该方程如果有增根，增根就是x=3.

如何解“m”呢？根据增根产生的原因——对应整式方程的解，但又不是分式方程的解——此时分式的最简公分母为零.据此，去解.

解：方程两边同乘3（x-3），得3（x-1）=m2，根据题意，增根x=3是此整式方程的根.将x=3代入3（x-1）=m得：3（3-1）=m2，∴m=±.增根是3，m的值为±.

6.2  运用渗透式指导法，提升学生思维的慎密性

解含有字母系數的分式方程，对于学生是难点，他们往往忽略检验这一环节.教学时，引导学生把字母系数当作一个具体的数字来用，告诉他们解法与解一般的分式方程相类似.运用渗透式指导法，训练学生思维的缜密性.

例如. 关于x的分式方程=-2的解是非负数，求a的取值范围.

解：方程两边同乘2（x-1），得：2x=3a-4（x-1），解得x=.

∵原方程的解是非负数，∴x≥0，即≥0.∴a≥-.

请注意，本题的解到此并没有结束，而有些学生往往就做到此处.他们忘记了解分式方程的一个最重要的环节——检验.数学教师必须向学生讲清楚，接下来还要根据2（x-1）≠0.继续解答.

∵2（x-1）≠0，∴x-1≠0，即≠1，解得a≠.综合起来，就是a≥-，且a≠.

解含有字母系数的分式方程，同样要求验根，确保分母不为零，分式才有意义.

指导学生学法，根据知识点的特殊性以及本班学生的实际水平、能力，选择适当的指导方法，灵活机动，才能取得较为理想的效果.