在小学几何教学中渗透“变中有不变”的思想方法

詹锦秀

（福建师范大学第二附属小学，福建 福州 350015）

几何图形的数量关系和空间形式是具体事物的高度抽象。为了帮助学生理解和接受数学的抽象，小学几何的知识点分散在各个年级，教材的编排也是逐步抽象的螺旋式递升难度。但是，分散的知识点容易造成学生对几何基本性质认知的割裂与理解的片面，在题型变换中无所适从，无法将几何知识从点到线、从线到面的形成思维体系，更谈不上将知识应用于实际问题的解决。这就要求教师在教学中，逐步渗透“变中有不变”的思想方法。在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是变中有不变的思想。［1］这有助于学生在小学几何学习中掌握不变的几何基本性质，将变化的情境假设服务于基本性质的掌握。本文就概念的比较、知识的联系及问题的解决三个方面，阐述如何在小学几何教学中渗透“变中有不变”的思想方法。

一、概念比较，抓住本质特征

在小学几何教学中，有很多基本图形的概念以及由概念推导出来的基本性质，这些概念和基本性质都是“变中有不变”教学思想中的“不变”量。在概念、规律、方法归纳教学中进行变与不变的对比，使得隐含的思想外显。在变与不变中揭示概念，概念的本质特征更容易让学生抓住。［2］教师要通过概念规律的比较，从变化的现象、情境中寻找不变的量，再以不变量为主导，引导学生比较辨析各种概念及基本性质，从而更清晰地理解概念的本质特征。

例如，五年级上册《梯形的认识》，本课的重点是对梯形概念的理解。教学中，要引导学生比较、辨析，从众多变化的量中找到不变的量，清晰地抓住梯形概念的本质特征。

第一步：初步感知梯形。多媒体出示实物图片，如梯子、跳马台和堤坝的横切面，让学生先感知生活中的梯形，建立实物表象；再逐步抽象出梯形的几何图形，从实物表象到几何抽象，初步建立梯形的概念。

第二步：认识梯形特征。教师提出问题：仔细观察下面三个梯形（图1），总结它们的共同特征。与其他四边形相比较，它们之间的相同点和不同点分别是什么？让学生带着问题，观察梯形，从边、角等方面阐述特点。

图1

生1：梯形都有4 个角。

生2：梯形的边可以不相等。

生3：梯形都有4 条边，是四边形。

生4：梯形不仅有4条边，还有一组对边是平行的。

第三步：比较、辨析。从众多可变的信息中，通过比较、辨析，发现唯一不变的特征。

师：根据你们的发现，找找下面图形（图2）中谁是梯形？

图2

生5：①号、②号是梯形，③号不是；

生6：③号不是，虽然有一组对边平行，但不是四边形。

设计意图：设置的问题让学生有目的地在比较、辨析中寻找答案，激发学生探究未知事物的欲望，同时有意识地渗透梯形与其他四边形之间的关系，为整体建构四边形的知识网络关系做好铺垫。

第四步：概括定义。

师：再来看看它是梯形吗？（图3）

图3

生：是，只要满足一组对边平行的四边形就是梯形。

通过梯形与一般四边形及其他多边形的对比，让学生透过图形的大小、平面放置方向等变化的量，深入理解和把握“只有一组对边平行的四边形”这个不变的基本性质，就能够正确地认识和理解梯形概念的本质，在判断梯形的过程中，就不会困惑于变化的情境，帮助学生更加深刻有效地掌握知识并提高思维能力。

二、知识联系，系统把握重难点

“转化”这一方法经常应用于小学几何“空间与图形”的教学过程中。转化就是让学生在数学学习过程中，懂得将新知识通过观察与分析等思维活动，转化到旧知识中进行解决。［3］通过知识点间的相互联系，不断渗透“变中有不变”的思想方法，帮助学生克服教材中各知识点分散分布带来的认知割裂、理解片面等缺陷，系统地把握一类知识的本质特征。当学生面对同样问题的各种提法时，就会有意识地按照“变中有不变”的思想方法来观察、思考问题，透过变化的情境，抓住不变的本质特征，寻求解决问题的方法，从而深刻、牢固地掌握这一类知识的要点。

例如，在复习五年级平面图形面积时，教师可结合变中有不变的教学思想，把小学阶段学过的直线平面图形进行一次大串联。多媒体出示图4：

师：我把上底向右平移两格后，梯形面积会和原来一样吗？

生：会一样，因为上下底的和不变高不变。

师：现在把上底减少一格，下底增加一格，梯形变化成什么图形？面积变了吗？

生：还是梯形。面积不会变，因为上下底的和没有改变，高也没变。

师：如果设定面积不变，还有可能变成什么图形？

生：三角形。上底减少到0，下底可以增加到6。

师：与原来梯形相比，什么变了？什么没变？

生：仍然是上下底之和没变，高没变，所以面积也不会变。

生：我会用公式来证明，（0+6）×4÷2=12。

图4

设计意图：从观察梯形上、下底边的变化，到验证梯形的面积是否有改变，再到梯形的上底减少到0，下底增加，这一系列的动态变化，让学生感受到上、下底的边长在变化，但推理过程不变，公式也不变，面积也不变。抓住“什么变了”“什么没变”来探究，才能发现隐藏的规律。

生1：除了三角形，还可以变成平行四边形。只要保证上下底之和不变都是6 格，高也不变，面积自然也不会变。上底为3，下底为3，所以（3+3）×4÷2=12。

生2：也可以变化成长方形。长为3，宽为4，所以（3+3）×4÷2=12。

师：请同学们观察，在计算方法上有什么地方相同？

生3：虽然上下底的长度不一样，但上下底之和不变，高不变，面积不变。

图形转化后，教师要基于各个知识点相互之间的联系，结合“变中有不变”思想展开教学，引导学生发现、总结几何图形周长、面积及体积的计算方法等教学重难点，主动把新知识的学习转化到旧知识的系统中，从而形成新的数学能力。

三、问题解决，加强实践应用

事物是变化着的，而“变化”中又蕴含着“联系”和“不变”的因素，从错综复杂的“变化”中发现这种联系和不变，往往是解决问题的突破口。“变中有不变”思想是一种概括性和实用性都很强的思想方法，教师要有意识地引导学生用“变中有不变”思想去发现问题、解决问题，逐步渗透“变中有不变”思想。小学几何图形中的等面积、等体积变化这一类的问题，也可以通过“变中有不变”的思想方法来解决。

例如，六年级下册求不规则圆柱的体积时，教材呈现1 瓶未装满水的瓶子，装水部分是圆柱体，空气部分是不规则体积，如何求得瓶子的体积呢？显然，用水的体积+空气的体积=瓶子的体积，水的体积是圆柱体，可空气的体积该如何求呢？很多学生想到可以把瓶子倒置，把空气的体积转化成圆柱的体积。为什么可以转化呢？从表面上看，空气的体积变了，可再仔细研究，并不是空气的体积变了，而是空气部分的形状发生改变，它的体积并没有发生改变。学生由此发现其“不变”的本质意义，形状变了，体积不变。在变化中寻找不变的规律，将复杂的问题简单化。

综上所述，教师对小学几何各种基本图形概念的发生及演变要熟练掌握，并通过概念规律的比较、知识点间的相互联系及问题解决过程中的转化与计量单位的统一约定，不断渗透“变中有不变”的思想方法，引导学生在学习及解决问题的过程中，以不变的量为突破口，透过纷繁复杂的变化，在概念比较中辨析各知识点基本特征间的“同”与“不同”，在各知识点间的相互联系中有意识地归纳总结，并在问题解决的实践过程中不断提炼，形成一个完整的知识体系。