积分中的变换运用

黄朝军

（凯里学院，贵州凯里 556011）

0 引言

积分的计算，大多数就是要找到原函数，利用上下限的函数值来计算出积分值［1］.在积分计算中，被积函数的形式与积分区域是紧密关联的.对于定积分即一重积分，积分区域就是直线上的一个区间；对于二重积分，积分区域就是平面上的一个封闭区域；对于三重积分，积分区域就是空间中的一个封闭立体区域；对于曲线积分，积分区域就是平面或空间中的一条曲线；对于曲面积分，积分区域就是平面或空间中的一个曲面.积分的计算过程往往就是让被积函数的形式与积分区域的形式逐步融合为一体的过程，常常采用变换达到这样目的.

1 变换的Jacobi行列式

设T:Ω →V是一一对应的映射，即T:xk=xk(ξ1,ξ2,…,ξn),k=1,2,…,n,(ξ1,ξ2,…,ξn)∈V，n为正整数，其中每个函数都有一阶连续偏导数［2］，则Jacobi行列式为

当n=1 时，Jacobi 行列式就是一个数；当n=2 时，Jacobi 行列式就是一个二阶行列式；当n=3时，Jacobi行列式就是一个三阶行列式.在积分中利用变换，被积函数要发生变化，同时积分区域元素形成一个倍数关系式dΩ=|J|dV.

很多数学教材上都介绍了极坐标变换、球坐标变换、广义球坐标变换、柱坐标变换等，实际上还有更多的一些变换，如倒数变换x=ξ-1，方幂变换ξ1,ξ2,…,ξn≥0）等.

2 利用变换解决积分计算

一般来说，在原函数能找到的情况下，还要寻找上下限的值，这也是一个困难之处.为了寻找到上下限，往往要对积分区域施行变换，其作用是把不规则、不利于被积函数的积分区域变为比较简单的、规则的、有利于被积函数的简化的区域，这样的变换是一种一一映射.

2.1 一重积分

一重积分的积分区域为直线上的一个区间，使用变换的主要作用是让被积函数的形式转化，以便容易计算出积分值.

2.2 曲线积分

曲线积分的积分路径为平面上或空间中的一条曲线，使用变换的主要作用是让积分路径变得规则，充分与被积函数的形式高度融合，以便容易计算出积分值.

2.3 重积分

重积分的积分区域为平面上或空间中的封闭区域，使用变换的主要作用是让积分区域变得简单规则，充分与被积函数的形式高度融合，以便积分计算更加容易.

推论1设f(x1,x2)=XT AX+2αTX，其中X=(x1,x2)T，α=(a1,a2)T，A=(aij)2×2是2 阶正定对称矩阵，则平面区域σ:f(x1,x2)≤h2的面积为其中λ1,λ2是A的特征值，η1,η2是A的正交的标准化特征向量.

推论2平面区域σ:f(x1,x2)=XT AX≤h2的面积为其中X=(x1,x2)T，A=(aij)2×2是2阶正定对称矩阵.

推论3空间区域Ω:f(x1,x2,x3)=XT AX≤h2的体积为，其中X=(x1,x2,x3)T，A=(aij)3×3是3阶正定对称矩阵.

3 结束语

上述实例看出，变换在积分计算中有着巨大的威力，还有其他一些变换，如u=x+y,v=xy；u=x+y,x=(x+y)v；y=ux,y3=vx2；x=(x2+y2+z2)u，y=(x2+y2+z2)v，z=(x2+y2+z2)w等，在此不赘述.

如何选用变换，主要是根据积分中的被积函数和积分区域的特点.积分区域往往是不规则的复杂图形，变换的作用是使积分区域变为比较规则的容易“看得见”的图形，从而方便确定出上下限，同时把被积函数表达式化成简单的形式.常规的做法是把无理式化为有理式，把超越式化为代数形式，把分式化为整式，把非线性式化为线性式子，等.对于二次曲线与二次曲面［3］，往往考虑用正交变换或可逆线性变换化为标准形式.