反比例函数图象与双曲线的关系探究

林晓晴

【摘要】反比例函数图象是双曲线，却极容易被忽略。为探究反比例函数图象与双曲线的关系，首先从图象观察猜想入手，再运用所学知识进行推理验证，然后，利用已有关系进行性质探究，寻找反比例函数图象与双曲线的关系桥梁——旋转变换、伸缩变换的特性。

【关键词】反比例函数;等轴双曲线;一般双曲线;图象;变换

说明：本文所指双曲线如无特殊说明，都是指焦点在x轴上的双曲线，其方程为，反比例函数如无特殊说明，都是指图象在一、三象限的情况，解析式为.

初中，我们已经掌握了反比例函数的解析式、图象及其函数的性质等相关知识，在初中课本中有这样一句话“反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。”同样是双曲线，它和我们高中学习的双曲线又有什么联系和区别呢？高中课本人教A版选修2-1中，关于初中学习的抛物线和高中学习的抛物线之间的关系做出了解释，放在“探究与发现”中，却没有对双曲线做出更详细的解释。但在学习过程中，我们又很容易发现反比例函数的图象与双曲线之间有着不少联系，而且这种联系或许会对我们学习双曲线有一定的启发。

遗憾的是我们对反比例函数的图象、性质等的研究很多，对双曲线的研究也不少，但却很少将二者进行联系与比较。

一、反比例函数图象与双曲线之间的关系

1.观察发现与猜想

从图象的形状来看，反比例函数的图象与双曲线一样，它们形状相似，且都具有两条渐近线（反比例函数图象的渐近线是两条坐标轴）。基于这个发现，由两种图象的渐近线存在某种旋转的关系，我们大胆猜想：把反比例函数的图象顺时针旋转45o后与双曲线完全重合，借助特殊例子，并运用几何画板对这个猜想进行初步验证。

在几何画板中画出反比例函数的图象和双曲线，如图：

把反比例函数的图象顺时针旋转45o，如下图，可发现，其图象与双曲线重合。

2.推理证明与结论

为了证明猜想成立，我们利用坐标轴变换公式进一步探讨反比例函数的图象与双曲线的关系。

设双曲线方程，反比例函数 即xy=k，利用坐标轴旋转变换公式即，则反比例函数解析式变为即，显然，这是等轴双曲线的方程，也就是说反比例函数的图象顺时针旋转45o后就是等轴双曲线，且实半轴长为。

因此，可确定反比例函数的图象实质上是等轴双曲线，即反比例函数的图象是特殊的双曲线。

二、利用反比例函数图象的性质探究双曲线的性质

有了反比例函数图象与等轴双曲线的关系，我们就可以利用反比例函数图象的一些性质来得到等轴双曲线的部分性质，甚至推广到一般双曲线的对应性质。

1.关于面积的性质

对于反比例函数的图象，图象上任一点P（m，n）到两坐标轴的距离之积是常数k，由反比例函数图象与等轴双曲线的关系可知，等轴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积也是常数，进一步，可以猜想，对于一般的双曲线，双曲线上任一点，到两条渐近线的距离之积也是常数，这个结论是否成立呢？

设双曲线上任一点，则有即b2m2-a2n2=a2b2，所以点P到两条渐近线bx±ay=0的距离分别为，故。

可见，由反比例函数图象的性质推导出的这一结论，对于一般双曲线也同样适用。

2.关于双曲线形状的性质

除了面积的性质，反比例函数图象的性质也是我们关注的重点，其图象形状会受到k值的影响，当k越小时，图象上任一点到两坐标轴的距离之积越小，这意味着图象越接近两条坐标轴。由前文可知，通过旋转变换，得到等轴双曲线方程为，它的实半轴长为，所以等轴双曲线的实半轴长越小，其越接近两条渐近线。进一步也可以猜想，对于一般的具有相同渐近线的双曲线，它的实半轴长越小，双曲线越接近两条渐近线。这一结论是否成立呢？

设渐近线相同的双曲线方程为即，任取双曲线上一点，可以求得点到两条渐近线的距离之积为。对于渐近线相同的双曲线，a与b的值相同，所以越小，即双曲线的实半轴长越小时，双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积越小，意味着此时双曲线越贴近两条渐近线。故此结论对于具有相同渐近线的双曲线同样成立，若是渐进线不同，我们更习惯用离心率的大小来看双曲线的形状性质。

三、从反比例函数图象（特殊双曲线）“跨越”到一般双曲线

由前面的讨论可以看出，反比例函数图象的性质，可以通过旋转变换，转化为等轴双曲线的性质，再进一步探究此结论对于一般双曲线是否适用。这就给了我们一个启示，是否可以利用反比例函数图象与双曲线的这一联系，由反比例函数图象（特殊双曲线）的性质来探究一般双曲线的性质，这个想法的实现，关键就是从反比例函数图象到一般双曲线的“跨越”。

对于反比例函数，首先利用旋转变换将其转化为等轴双曲线，再利用伸缩变换转化为一般双曲线即，这样一来，我们就实现反比例函数图象到一般双曲线的跨越。此过程也可以反過来，将一般双曲线由伸缩变换、旋转变换转化为反比例函数的图象，这样一来，就可以将双曲线的问题转化为反比例函数图象的问题来研究。

四、几点思考

通过探究，可以明确：反比例函数图象实质上是等轴双曲线，其与一般双曲线之间有着不少共通的性质，这也给了我们一些教学上的启示。

责任编辑  林百达