Hilbert K-子模上广义框架的(强)可补性

董芳芳, 裴瑞昌

(天水师范学院数学与统计学院 甘肃 天水 741001)

0 引言

HilbertC*-模和Hilbert空间的主要不同在于： HilbertC*-模不一定可补并且不一定存在标准正交基[1]， 而HilbertK-模是一种特殊的HilbertC*-模， 其中底代数K为作用在Hilbert空间上的全体紧算子组成的C*-代数， 不过文献[2]中证明了HilbertK-模一定有特殊的标准正交基， 因此研究HilbertK-模上框架的可补性很有意义.

由于对HilbertK-模，I∉K， 因此HilbertK-模无法膨胀， 从而只能在HilbertK-模本身上引入(广义)框架的(广义)框架变换[3]. 本研究的主要创新点： 一方面， 由于HilbertK-模无法膨胀， 加上可补性揭示两广义框架变换的值域是“不交生成”还是“正交生成”整个HilbertK-模M， 因此， 在HilbertK-模M的子模M1(M1⊂M)到M之间引入了广义框架的广义框架变换.另一方面， 在HilbertK-模M到广义框架变换的值域Φ(M1)之间引入了正交投影， 研究了广义框架变换和正交投影的关系， 再以广义框架变换为桥梁和纽带， 将广义框架的(强)可补性与正交投影挂钩， 得到了广义框架的(强)可补的充要条件， 并将其进行了推广.

1 预备知识

定义1[2]设K为作用在Hilbert空间Η上的全体紧算子组成的C*-代数，Μ是复数域C上的线性空间，Μ是左K-模， 满足：μ(kx)=(μk)x=k(μx).其中, ∀μ∈C，k∈K，x∈Μ， 若〈·, ·〉:Μ×Μ→K具有性质:

ⅰ) 〈x,x〉≥0， ∀x∈Μ； ⅱ) 〈x,x〉=0⟺x=0， ∀x∈Μ；

ⅲ) 〈x,y〉=〈y,x〉*， ∀x,y∈Μ； ⅳ) 〈kx,y〉=k〈x,y〉， ∀k∈K， ∀x,y∈Μ；

ⅴ) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉， ∀x,y,z∈Μ.

定义3[5]设M，Nj均为HilbertK-模， 称{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基， 若满足：

定义6M，Nj，M1和M2同定义5， 设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}分别为M1和M2关于Nj的广义框架， 定义直和：Aj⊕Bj:M1⊕M2→Nj， 使得对任意的x∈M1，y∈M2， (Aj⊕Bj)(x⊕y)=Aj(x)+Bj(y).

定义7称{Aj，j∈J}为HilbertK-模M关于Nj的广义Hilbert基， 若满足：

1) {Aj，j∈J}为M关于Nj的广义框架；

2 正交投影和广义框架变换之间的关系

定理1设M为HilbertK-模，M1为M的子模， {Aj，j∈J}为M1关于Nj的以a>0为广义框架界的广义紧框架，Φ为{Aj，j∈J}的广义框架变换，P为M到Φ(M1)上的正交投影， 则ΦΦ*=aP.

再由x的任意性有：ΦΦ*=aP.

3 Hilbert K-子模上广义框架的(强)可补性

定义8M，Nj，M1和M2同定义5， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}分别为M1和M2关于Nj的广义正规紧框架， 若{Aj⊕Bj，j∈J}为M1⊕M2关于Nj广义标准正交基， 则称{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}强可补； 设{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}分别为M1和M2关于Nj的分别以a>0，b>0为广义框架界的广义紧框架， 若{Aj⊕Bj，j∈J}为M1⊕M2关于Nj的广义Hilbert基， 则称{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}可补.

定理2M，Nj，M1和M2同定义5， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}依次为M1和M2关于Nj的广义(正规)紧框架，Φ1:M1→M，Φ2:M2→M分别为其广义框架变换，P:M→Φ1(M1)和Q:M→Φ2(M2)均为正交投影.则以下结论成立:

① {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}强可补当且仅当P⊥Q且P+Q=I， 即P=Q⊥；

② {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}可补当且仅当aP+bQ=I， 且P(M)∩Q(M)={0}.

事实上， 对任意的x∈M1，y∈M2， 有：

最后， 由于{Aj⊕Bj，j∈J}为广义标准正交基当且仅当对任意的gj∈Nj， 下式成立：

从而结合定理1有：

综上， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}强可补当且仅当P⊥Q且P+Q=I， 即P=Q⊥.

② 由于{Aj⊕Bj，j∈J}为M1⊕M2关于Nj广义Hilbert基， 从而其一定为M1⊕M2关于Nj的广义框架.因此， 存在c>0，d>0， 使得对任意的x∈M1，y∈M2， 有:

结合文献[4]中定理2的证明过程可知： 上式成立当且仅当Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0}.而P(M)=θ1(M1)，Q(M)=θ2(M2)， 因此，θ1(M1)∩θ2(M2)={0}当且仅当P(M)∩Q(M)={0}， 即{Aj⊕Bj，j∈J}为M1⊕M2关于Nj广义框架当且仅当P(M)∩Q(M)={0}.

即aP+bQ=I； 反之， 若aP+bQ=I， 显然有：

综上， {Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}当且仅当aP+bQ=I， 且P(M)∩Q(M)={0}.