基于订单取消量可预测的制造商原材料库存优化研究

陈光会　王瑞亭　苏兵　李会聪

摘 要：本文针对已支付定金客户取消订单的情形，提出根据历史订单量和实际交易量利用线性回归模型来预测订单取消量。在此基础上，本文构建了以库存总成本最小为目标的订单取消量可预测的制造商原材料库存优化模型，然后设计了时间复杂度为O（np）的近似算法GA求解模型（其中n为原材料的种类数，p为预测订单取消量的时段数），并分析了算法GA的近似比。最后选取XAHL有限公司的库存数据进行实例分析，验证了模型和算法的有效性，根据模型计算结果给出公司原材料采购和库存优化策略。本文旨在为制造商进行原材料采购及库存决策提供理论依据。

关键词：预测;订单取消量;原材料库存;线性回归;近似算法

中图分类号：C934文献标识码：A文章编号：1003-5192（2021）03-0069-07doi：10.11847/fj.40.3.69

Research on Material Inventory Optimization of Manufacturersunder Order Cancellations Predictable

CHEN Guang-hui， WANG Rui-ting， SU Bing， LI Hui-cong

（School of Economics and Management， Xian Technological University， Xian 710021， China）

Abstract：For the practical case that customers orders may cancel who have paid down deposit， the paper proposes to predict order cancellations based on linear regression model according to historical orders and actual transactions. Then the material inventory optimization model under order cancellations predicted with the objective of minimizing total inventory costs is established， and approximate algorithm GA with time complexity O（np） to solve the problem is designed（Where n denote categories of materials， p denote phases of order cancellation）， and the approximate ratio of GA is analyzed. Finally， take inventory data of XAHL Co.， Ltd. as an example to conform effectiveness of the model and algorithm，which help to optimize inventory strategies and material purchasing of XAHL Co.， Ltd.. All the conclusions are aim to provide theoretical basis for all material purchasing and inventory decision-makers of manufacturers.Key words：prediction; order cancellations; material inventory;  linear regression; approximate ratio

1 引言

制造商（本文特指面向訂单企业）在接到客户订单（均指产品订单，后同）且客户支付一定定金后进行原材料采购及生产。实际中，客户支付定金后会由于销售不景气或发现性价比更有竞争力的产品等原因取消部分或全部订单，此时制造商已完成原材料采购。为削弱客户取消订单带来的库存持有成本和管理成本增加，制造商会提前预测客户订单取消量。因此，研究客户订单取消量可预测的原材料库存优化对制造商的采购、库存决策具有重要的研究意义。

现有研究一类是考虑订单不可取消情形下，要么考虑缺货成本[1～7]研究制造商原材料库存优化，其中李毅鹏等[3]主要从供应链上下游角度分析了制造商的订单决策及期望利润。Wang[5]建立了包括采购、持有和缺货成本的多周期库存优化模型。许圣佳和蒋炜[7]通过点击量和购买量进行需求预测建立了库存优化模型。要么考虑生产延误成本[8～10]，Cohen等[8]结合丢失订单的成本、最终并未签订的订单丢失成本、产成品入库而导致的持有成本以及因生产时间延迟引起的产品延误成本研究了制造商库存优化。Li[9]引入决策风险偏好对制造商最佳开始生产时间的决策进行了研究。黄焜等[10]构建了包含生产延误成本的供应商成本模型。要么考虑生产变动成本，Khouja[11]，Darwish[12]探讨了考虑生产变动成本的制造商原材料库存优化。另一类考虑订单可取消的情形，文献[13，14]考虑订单取消量为常数，其中Vlachos和Dekker[13]对固定退货率的单周期存储问题展开了探讨，You和Wu[14]结合顾客在预售时段取消订单且销售时段的变质率是常数构建了以期望利润最大为目标的目标函数。文献[15～17]考虑订单取消量服从概率分布，其中Fleischmann等[15]提出了订单取消量服从泊松分布的库存模型，黄祖庆和达庆利[16]假定需求和订单取消率服从泊松分布建立了带时滞性的最优订货模型并求解，范丽繁和陈旭[17]构建了所有订单取消量的概率相等并服从二项分布的顾客接受概率模型。上述两种方式多考虑过程结果即最佳订货量和订货点，预测的结果有时与实际不符，且针对面向订单企业的制造商库存优化研究的比较少，更缺少对基于订单取消量可预测的制造商原材料库存优化进行建模及求解经济结果的研究。

针对现有研究的不足，本文针对已支付定金客户取消订单情形下的原材料库存优化问题进行研究。首先构建基于历史订单量和实际交易量的线性回归模型对客户订单取消量进行预测，在此基础上以库存总成本（订货成本+购入成本+库存持有成本+缺货成本-定金）最小为目标建立基于订单取消量可预测的制造商原材料库存优化模型，设计算法求解，并分析算法的复杂性和近似比[18，19]。最后以XAHL有限公司的库存数据为例验证了模型和算法的有效性，并计算和分析此情形下公司原材料库存总成本，利用分析结果给出公司库存优化策略。

2 问题描述与建模

制造商依据与客户签订的订单向原材料供应商采购原材料进行生产或装配，并在采购原材料之前向客户收取一定定金，同时制造商会依据订单量给出价格折扣。原材料采购完成后，常出现已支付定金客户取消订单的情形，制造商如何预测客户订单取消量并决策原材料的采购量Q，使得其库存总成本最小从而尽可能减少由此带来的损失。

2.1 基本假设

为了更好解决已支付定金客户基于订单取消量可预测的制造商原材料库存优化问题，给出以下基本假设：

（1）在新订单出现之前原材料采购不能瞬时补货。

（2）原材料采购完毕不能补货。

（3）客户取消订单前制造商采购的原材料价格不变。

（4）客户取消订单前制造商原材料已采购完毕。

符号说明：K为订货成本;Qi为第i种原材料采购量;Pi为第i种原材料的单位购买价格;bi为第i种原材料的单位缺货成本;H为单位库存持有成本;A为客户预定的产品数量;α为制造商提供给客户的定金率;β为制造商提供给客户的价格折扣率;P0为制造商提供给客户的单位产品销售价格;D为预测的订单取消量;γi为制造商生产单个产品A需要第i种原材料的比例系数;c为采购常量（c>0），为了保证制造商采购量的非负性而设立。决策变量为Qi。

2.2 基于线性回归的订单取消量预测模型构建

客户订单取消量受众多因素影响，本文选取历史订单量和实际交易量（二者的差值正是订单取消量）作为自变量，建立基于历史订单量和实际交易量的线性回归模型对客户订单取消量进行预测，进而构建了基于线性回归的订单取消量预测模型。以往研究通常假设第t时间段的订单取消量为Dt，其订单取消量预测模型为

Dt=μ1+σ1Z（1）

（1）式为一般订单取消量预测模型服从正态分布时的线性回归形式。其中μ1为正态分布的期望值，σ1为订单取消量的标准差，Z为标准正态分布的随机数。

本文根据t-1时间段的历史订单量Xt-1对第t时间段的订单取消量进行预测，模型转变为（2）式

Dt|Xt-1=θ0+θ1Xt-1+σ2Z（2）

其中σ22=Var[D2t]=（1-ρ2）σ21（3）

ρ是歷史订单量和实际交易量之间的相关系数，θ0和θ1是参数，σ2表示订单取消量的标准差。

可以看出，基于历史订单量与实际交易量间的相关性建立的订单取消量预测模型比单纯用订单取消量进行预测误差更小。

2.3 订单取消量可预测的库存优化模型构建

本文在预测订单取消量基础上，建立订单取消量可预测的制造商原材料库存优化模型并进行求解。以制造商库存总成本最小为目标建立模型如下

min TC=K+∑ni=1QiPi+∑ni=1QiH2+

∑ni=1[γi（A-Dt）-Qi]bi-AαP0β（4）

s.t. Qi=-γi（A-Dt）+c（5）

∑nPi

A-Dt0（7）

0<β<1（8）

0<α<1（9）

0Qiγi（A-Dt）（10）

目标函数（4）：制造商库存总成本最小，依次为订货成本、购入成本、库存持有成本、缺货成本、违约定金;约束条件（5）为原材料采购量和预测的订单取消量成线性函数的约束;约束条件（6）是价格约束，即制造商原材料的采购价格小于产品的销售价格;约束条件（7）是客户订单取消量的约束;约束条件（8）是制造商提供给客户的价格折扣率约束;约束条件（9）是制造商提供给客户定金率约束;约束条件（10）是原材料的采购量约束。

3 模型分析与求解

库存问题是一个NP难问题，因此本文设计近似算法GA对所建模型进行求解[18，19]。假设Dt为预测的第t时间段的客户订单取消量;m为实际中客户历史订单取消量最小值;M为订单取消量最大值。

3.1 算法GA思想与步骤

3.1.1 算法GA思想

第一，制造商接到客户订单量A，根据产品的物料清单计算出原材料的需求量qi=γiA（i=1，2，…，n），即求出构成产品的n种原材料的需求量。而企业预测第t时间段的客户订单取消量为Dt，结合历史订单取消量所处区间[m，M]，将预测的订单取消量与实际中历史订单取消量的极值进行比较，会得到不同情形，再针对不同情形进行具体分析并给出制造商原材料采购策略。

第二，将预测的订单取消量同实际中历史订单取消量进行比较，分为三种情形，如图1所示。

图1 情形分析

（1）若Dt

（2）若Dt∈[m，M]，即预测的订单取消量处在实际中历史订单取消量区间内。那么，当Dt=m时，按历史订单取消量最小值m计算;当

Dt∈[m，M]时，按Dt=mM计算;当Dt=M时，按历史订单取消量最大值M计算。

（3）若Dt>M，即预测的订单取消量大于实际中历史订单取消量最大值，则按历史订单取消量最大值M计算。

第三，按照y=γi（A-Dt）进行n种原材料采购。

第四，根据原材料采购数量，输出对应的Qi及min TC。

3.1.2 算法GA步骤

第1步 计算Dt|Xt-1=θ0+θ1Xt-1+σ2Z（t=1，2，…，p），令D={Dt}。

第2步 令τ=1。

第3步 如果Dt

第4步 如果mDtM，转第6步;否则Dt>M，转第10步。

第5步 令D*=D，转第14步。

第6步 如果Dt=m，转下一步;否则转第8步。

第7步 令D*=m，转第14步。

第8步 如果Dt∈（m，M），转下一步;否则转第10步。

第9步 计算mM，且令D*=mM，转第14步。

第10步 如果DtM，转下一步;否则转第4步。

第11步 令D*=M，转第14步。

第12步 如果τ

第13步 令k=1。

第14步 计算yk=γi（A-D*），若k

第15步 计算min TCi，输出对应的yi。

3.2 算法GA的时间复杂度分析

算法第1步的计算次数为O（p）;第3～4步需要循环n次;第6步需要循环n次;第8步需要进行n次循环;第9步需要计算O（n）次;第10～12步需要进行n次循环;第14步需要计算n次，因而算法的复杂性为O（np），进而得到定理1。

定理1 订单取消量可预测的库存优化模型的算法GA的时间复杂度为O（np）。其中n为原材料种类数，p为预测订单取消量时段数。

由于算法GA是一个近似算法，因此需要对算法的性能好坏进行分析，算法性能的好坏通常用算法的近似比来度量[18，19]，以下是算法GA的近似比分析。

3.3 算法GA的近似比分析

令OPT（I）表示任一实例I的最优解，A（I）表示应用算法GA求出的实例I的解。首先分析最优解并给出引理1。

引理1 对于任一实例I，该库存优化问题最优解OPT（I）的下界为

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

證明       TC=K+∑ni=1QiPi+∑ni=1QiH2+∑ni=1[γi（A-Dt-Qi）]bi-AαP0β

=K-AαP0β+∑ni=1QiPi+H2∑ni=1Qi+

∑ni=1γibi（A-Dt）-∑ni=1biQi

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）minQi+nγibimin（A-Dt）

意味着对任一实例I，其最优解OPT（I）下界为K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）minQi+nγibimin（A-Dt），证毕。

运用算法GA对I进行求解，解为

A（I）=K+∑ni=1QiPi+∑ni=1QiH2+

∑ni=1[γi（A-Dt）-Qi]bi-AαP0β

=K-AαP0β+∑ni=1QiPi+H2∑ni=1Qi+

∑ni=1γibi（A-Dt）-∑ni=1biQi

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）·

max Qi+nγibimax（A-Dt）

综上，给出定理2。

定理2 订单取消量可预测的库存优化模型的算法GA的近似比为

η=K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）max Qi+nγibimax（A-Dt）

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

近似比与max Qi、max（A-Dt）成正比，与min Qi、min（A-Dt）成反比，其变化如图2所示。

根据近似比变化图，可进一步讨论近似比的取值范围。

η=1+（nPi+H2-nbi）max Qi+nγibimax（A-Dt）-

（nPi+H2-nbi）min Qi-nγibimin（A-Dt）K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

=1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

当K-AαP0β=0时，算法GA的近似比为

η1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

因而得到推论1。

推论1 订单取消量可预测的库存优化模型的算法GA的近似比η上界为

1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

由于K-AαP0βmax{K}，即当制造商的采购成本最大、固定订货成本最大时，得到算法GA的近似比为

η1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）+max{K}

由此得到推论2。

推论2 订单取消量可预测的库存优化模型的算法GA的近似比η下界为

1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）+max（K）

因为近似比η的取值取决于max Qi、min Qi及max（A-Dt）、min（A-Dt），如果预测的订单取消量的最大值与最小值相差不大时，则η的上界和下界都趋近于1。因此从近似比η可知，预测的订单取消量之间误差越小算法GA得出的值越接近最优值。

4 实例分析

XAHL有限公司，其产品一体化喷嘴（按客户订单进行原材料采购后生产）对各原材料需求状况如表1所示。

第一，XAHL有限公司接到一体化喷嘴订单量A=200件后，根据物料清单构成计算各原材料的需求量为qi，各原材料名称及价格如表1所示。其中xi（i=1，2，…，12）表示一体化喷嘴由12种原材料构成，qi（i=1，2，…，12）表示客户订单对原材料的需求量，ai（i=1，2，…，12）表示单位产品原材料的需求量，Pi（i=1，2，…，12）表示原材料的单价。

第二， 由XAHL有限公司庫存数据知，公司实际中历史订单取消量最大值为76，最小值为13。当公司接到客户订单A=200件时，首先根据前一时段末的订单取消量计算订单取消量预测值Dt（t=1，2，…，12），并与历史订单取消量实际值[13，76]进行比较，分三种不同情形。若D<13，即预测的订单取消量小于实际中历史订单取消量最小值，按预测的订单取消量D计算;若13D<76，即预测的订单取消量处在实际的历史订单取消量区间内时，若D=13当时，按D=13计算，当D∈[13，76]时，按D=13×76=31.43计算，实际以32计算;若D76，即预测的订单取消量大于实际的历史订单取消量最大值，按D=76计算。不同时间段一体化喷嘴的实际订单取消量及基于线性回归预测的订单取消量如表2所示。

第三，按照y=γi（A-D）进行12种原材料采购。

第四，计算采购量Qi。

第五，由于Pi

第六，计算库存总成本：min TC=3520015.48元。

由上述分析可得XAHL有限公司库存优化策略：当公司预测的订单取消量与实际的历史订单取消量误差不大时，根据预测的订单取消量来决策原材料的采购量，此时其库存总成本最小。

5 结论与启示

本文在考虑已支付定金客户取消订单情形下，首先根据制造商的历史订单量和实际交易量建立基于线性回归的订单取消量预测模型;然后以制造商库存总成本最小为目标构建订单取消量可预测的制造商原材料库存优化模型，对模型设计近似算法GA进行求解分析，得到GA的时间复杂度是O（np）;接着进行近似比分析。由求解结果可知，如果预测出的订单取消量最大值与最小值相差不大时，近似比η的上界和下界都会趋近于1，此时算法GA得出的值越接近于最优值。

综上所述，制造商在进行原材料采购前，可以先预测已支付定金客户的订单取消量。若预测的订单取消量小于实际中历史订单取消量最小值，按照预测的订单取消量进行计算;若预测的订单取消量处在历史订单取消量变化区间内，以预测值D=最大值×最小值（指实际历史订单取消量）进行计算;若预测的订单取消量大于历史订单取消量最大值，则按历史订单取消量最大值计算。由此可知，根据订单取消量预测值，结合制造商原材料库存优化模型，对原材料进行采购，从而达到库存总成本最小。上述结论可为制造商进行原材料采购及库存决策提供理论依据。

本文研究的不足之处在于提出的假设为客户取消订单之前制造商采购的原材料价格一直不变，并不完全符合现实市场发展规律，也没有针对多级库存进行研究。

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