经历过程 理解本质 发展素养

李新

【摘 要】度量是数学的本质，学生学习长方形和正方形的面积是学习二维图形大小度量的起步，从一维到二维，是认识上的一次飞跃。分析苏教版数学教材在这个单元的内容设计与编排特点后，建议教师在教学中，引导学生以数学实验的方式，经历概念建立、知识发现、问题解决的思维过程，理解度量本质，形成量感，发展数学核心素养。

【关键词】度量 数学实验 量感 数学核心素养

数学实验是指在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知和非认知因素参与下进行操作体验、探索发现、综合实践，理解数学知识、发现数学规律、解决数学问题的一种学习活动。《长方形和正方形的面积》在目标指向、内容安排、素材选择、情境创设、活动组织等诸多方面，都适宜以数学实验的方式开展学習。

下面，笔者以数学实验为视角，就如何引导学生经历概念建立、规律发现、问题解决的思维过程，理解度量本质，发展数学核心素养，对《长方形和正方形的面积》教材进行简要分析，并提出一些教学建议。

一、参与操作体验，经历概念的建构过程

数学概念可以分为对象性概念、度量性概念、观念性概念。度量性概念的获得过程，不同于对象性概念的概念同化、概念形成，而是自主建构的过程。《长方形和正方形的面积》中的概念，主要是面积的意义、面积单位，教学中，教师应设置合理的探究空间，引导学生展开操作体验，经历概念的自主建构过程，理解概念本质，发展核心素养。

1.从定性到定量，在操作中理解面积的本质

教材通过合理编排，精心选择素材，引导学生操作体验，充分感知“物体表面的大小”“围成的平面图形的大小”，并发现“数方格”比较图形面积大小的方法，感悟“什么是面积”。

教学时，可以创设比较情境，向学生提供比较“面的大小”的任务串：首先，对于黑板面和课本封面，学生凭观察可以知道“黑板面比较大”，教师顺势提出“黑板面的大小是黑板面的面积”，使学生对面积获得一种语义性理解;接着，比较“课桌面和椅子面的面积”“练习簿的封面、文具盒盖的面、直尺的面的面积”“长方形和正方形的面积”，丰富学生的操作方式，不仅进行观察，也进行触摸、涂色，突出“面的大小”。在此基础上，学生比较如下两个长方形面积的大小（如图1），在操作、探究中，感受度量的必要，得到面积度量的雏形，初步形成面积概念。教学中，应给学生提供实验工具，即两个长方形和透明面积量具。学生运用工具，首先发现“凭观察不能比出大小”“凭重叠也不能比出大小”（实际上，观察、重叠不是度量的本质，但这是学生从生活经验通向本质理解的必经之路），接着在教师的启发下，用透明面积量具将两个图形覆盖（如图2），通过“数方格”解决了问题，感悟到了什么是这两个长方形的面积，这是基于面积单位理解面积本质的雏形。

学生建构面积的概念，仅凭第一课时的学习是远远不够的，后续学习中，教材继续科学安排，逐步加深学生对面积概念的理解。比如，在学习了面积单位“平方厘米”后，让学生回答下面的问题（如图3）。教学中，可以此为蓝本，组织两个层次的数学实验活动。层次1：学生用6个1平方厘米的正方形拼长方形，体会“面积都是6平方厘米”“一个图形的面积是多少，就看这个图形里有多少个面积单位”;层次2：学生估计并测量邮票面、电话卡面的面积，深化对“一个图形的面积是多少，就看这个图形里有多少个面积单位”的理解。

2.从多元到统一，在操作中形成单位的量感

面积是通过工具得到的度量。这样的度量“虽然方法可以多种多样，但是为了传播和交流的需要，必须建立统一的度量语言，这就是度量单位”。度量面积的单位是面积单位。关于面积单位，教材编排时突出了两点：引导学生经历面积单位从多元到统一的产生过程;引导学生充分感知，形成关于各个面积单位的量感。

引入面积单位时，教材引导学生用书本面、文具盒盖面测量课桌面的面积。教学中，教师可以从数学实验的角度，进一步丰富学生的实验工具，开放操作过程。比如，学生分组活动，每组分别用大楷簿、茶杯垫、树叶、数学簿铺同样的桌面，交流，产生疑问：“同样的桌面，为什么表示面积大小的数不同？”感悟到“要用统一的面积单位”。

认识面积单位时，教材先给出定义（如边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米），再通过丰富的活动，引导学生将面积单位与原有认知结构建立联系（包括对这一面积单位的认知，与某些已有概念如长度单位的区别，等等），最后形成新的认知结构，这样安排是符合学生学习面积单位的心理规律的。

面积单位的教学是很适合数学实验开展的，或者说，学生以数学实验的方式学习面积单位，有利于有效建立面积单位概念，形成量感。以平方厘米的认识为例，教师可以安排如下的学习过程：

学：测量边长1厘米的正方形塑料片的边长（教师揭示“边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米”）。

记：观察这个1平方厘米的正方形，记住它（闭眼，想出它的样子;在纸上画出1平方厘米的正方形，用手中的塑料片对比，差异大的重画）。

找：找生活中面积接近1平方厘米的物体表面（某个指甲盖，方格纸上的方格子，某些按钮的面，等等）。

拼：用6个面积为1平方厘米的正方形拼成长方形（这也是深入理解面积意义的操作过程，后面的估计、测量同样如此）。

估：估计邮票面、电话卡面的面积。

量：测量邮票面、电话卡面的面积。

六次操作构成一个关于1平方厘米的完整的体验活动。经历这样的活动过程，学生对1平方厘米形成清晰的认识，促进量感的形成和直观想象素养的发展，为后续学习1平方分米、1平方米积累经验，同时操作、观察、估计、交流等意识和能力得到提高。

二、参与探索研究，经历知识的发现过程

长方形和正方形的面积公式、面积单位间的进率，都是小学数学中的基础知识。从前后联系来看，一方面，这些基础知识的学习基础是学生对于面积和面积单位概念的理解与掌握，另一方面，这些基础知识是学生后续学习面积、体积等诸多知识的基础。从学习心理来看，苏霍姆林斯基建议“把基础知识保持在学生的记忆里”“要不惜花费时间，去深入思考所接触到的事实、现象和规律的实质，想得越深透，记得越牢固”。对学生来说，基于问题，借助一定的手段或工具展开探索研究，是促进“深入思考接触到的事实、现象和规律的实质”的有效方法。

1.从具象到抽象，发现面积公式

教材对于长方形面积公式的推导安排了3个例题（如图4、5、6）。在例题7之后，引导学生讨论：长方形的面积与什么有关？可以怎样求长方形的面积？由此得到长方形的面积公式。

分析三个例题，可以看出这是一个从具象到表象再到抽象的认知过程，同时又是一个合情推理的思维过程：例题4的操作具体形象，学生初步发现长方形的面积（包含面积单位的个数）和长与宽的关系，提出猜想;例题5启发学生运用表象进行测量、思考，例题6引导学生将面积单位个数的计算方法与长、宽的内在联系抽象概括成面积公式。这种通过把握知识内在因果关系而得出结论的过程，是一种科学归纳推理（归纳推理是合情推理的一種）。

教学中，教师要充分展开每个例题的数学实验过程，引导学生操作到位、感知到位、交流到位。例题4的教学，每个小组（一般每组2～4人）摆出不少于3个长方形，合作填表后，组内交流，再全班交流，交流时既展示摆法，也展示表格，更要说清楚表中数的来历、数与数之间的关系，这既是初步发现长方形的面积和长与宽的关系，也是对面积意义的再次深度理解（需要注意的是，不宜由例题4直接归纳出长方形的面积计算公式）。例题5的教学，可以将长方形印在学习单上，让学生用面积单位测量面积，可能学生一开始仍将面积单位铺满长方形，铺着铺着，量着量着，学生会简化测量的过程，只铺一排、一列，直到不铺（实际上，此时是头脑中运用表象在“铺”）。此时组织交流，相互启发，教师专门引导学生一起“看着空白长方形，在头脑中用面积单位铺”，促进学生达到相同的表象思考水平。例题6的教学，学生中可能存在三种表现水平，一是仍用具体的面积单位来铺（量），二是在头脑中用面积单位来铺（量），三是想到“长7厘米，一排能摆7个面积单位;宽2厘米，一列能摆2个，就是摆2排”而抽象成7×2（这种表现水平的学生应是多数）。教师要充分暴露学生的想法，努力引导全体学生都能达到水平三的认识，促使全体学生完成由具象到表象再到抽象的认知过程，主动发现长方形的面积计算公式。

2.从一维到二维，探索单位换算

学生学习面积单位间的进率及换算，容易受长度单位间的进率及换算的负迁移影响。要克服这种负迁移，以数学实验的方式进行教学，虽然花费的时间长一些，但却是行之有效的。

实验的工具比较简单，每个学生1平方厘米、1平方分米面积单位各1个，1平方米的面积单位每组1个或全班1个。探索平方分米和平方厘米的关系可以这样组织实验：

（1）引入问题。学生将1平方厘米放在1平方分米的一个角上，估计、猜测：1平方分米=（）平方厘米。

（2）制定方案。学生制定验证方案，可能有这几种：实际地用1平方厘米铺满1平方分米;在头脑中铺;将1平方分米画成1平方厘米的小方格;用面积公式计算，1分米×1分米，10厘米×10厘米。

（3）实验验证。学生按方案进行验证，展示交流（不一定四种可能的方案都出现），优选验证方法（显然是第4种，这是基于实验的演绎推理）。

（4）反思提升。教师引导学生反思，为什么1分米=10厘米（进率是10），但1平方分米=100平方厘米（进率是100）？领悟“正因为1分米=10厘米，所以1平方分米是两个10厘米相乘，是100平方厘米”，实现从一维到二维理解度量单位的思维进阶。

三、参与综合实践，经历问题的解决过程

综合与实践是数学课程标准中规定的课程内容，通过综合实践，学生进一步理解所学知识，形成并发展发现和提出问题、分析和解决问题的能力，丰富数学活动经验。数学实验中的综合实践，主要是指学生借助有关工具和材料，综合运用知识，开展数学问题解决的实践活动，以提升数学综合素养，增强应用意识、创新意识，发展探究能力、实践能力。《长方形和正方形的面积》教材中，安排有丰富的基于数学实验的综合实践课程资源，教师要充分发掘这些资源，组织学生开展综合实践，引导学生经历数学问题的解决过程。

1.静与动结合，加强度量概念的对比实践

学习了面积、面积单位后，关于图形大小的度量从一维发展到二维，长度单位与面积单位、周长与面积是两对最需要对比辨析的度量概念。对此，教材做了恰当安排，主要是在“想想做做”和“练习”“复习”中安排适量的有针对性的对比题。比如，学习了“面积和面积单位”后的“想想做做”第2题（如图7），在“单元复习”中的第13题（如图8），等等。

教学中，教师可以根据这些题目开发综合实践形态的数学实验，使学生把静态的观察思考变为动态的实践探索，正如董林伟等教授所说：“借助工具的数学学习体现了操作与思维的统一，学生从可视化的数学内容入手，通过动手操作、动脑思考，逐步对直观的知识进行抽象、推理，获得数学结论。”以图8中的题为例，教师可以这样设计教学：

尝试：出示题目，学生读题后尝试画一个。

交流：指名（2～3名）学生展示所画的图及思考过程。

小结：结合交流，师生小结思考方法。一是试验调整法，即先任意确定长、宽，画好后，计算周长，如果不符合“20厘米”就进行调整，直到符合;二是先算再画法，即20÷2=10（厘米），这是“长+宽”，10分解成两个数的和，就是长和宽，再画出图形。

再画：学生选择自己喜欢的方法，再画几个，并算出面积。

思考、交流：学生结合画图过程，根据计算结果，思考“发现什么”，再交流。交流的主要内容：关于画图方法的体会、关于周长和面积关系的体会。其中，关于周长和面积关系的体会，应是开放的、多层次的、个性化的，不必统一提升到“周长一定，长与宽越接近面积就越大”。相反，对于“周长相同的长方形，面积不一定相等”的体会，需要深入研究其原因，引导学生发现“周长是长方形一周边线的总长，面积是长方形所包含的面积单位个数，边线的围法不同，区域内的面积单位数可能不同”。

拓展：让学生用20个1平方厘米的小正方形拼长方形，拼了几次后，提出问题（引导学生提出：拼成的长方形周长分别是多少？），并自主展开研究、交流。

2.算与估结合，加强度量知识的应用实践

估测或估计是数学课程标准突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现;不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。对度量单位的大小感受是形成量感的重要表现，估测的意识和能力是在实践中发展起来的。结合度量知识的学习，教材适时安排估测实践任务，促进学生加深对面积、面积单位的理解，发展空间观念，比如“练习八”第5题、“练习九”第6题，等等。

教学中，要突出这些任务的实践特点，也就是引导学生在任务驱动（解决估测或估计的实际问题）下，主动展开探索过程，寻找问题解决的多种方法，比较各种方法之间的联系和区别，尝试持续优化方法，在丰富的实践活动中，增进估计的意识和能力，加深对面积、面积单位的本质理解。以图9中的题为例，可以这样组织教学：

尝试：出示题目，学生尝试估计左图的面积。

交流：指名（2～3名）学生展示估计的过程、方法和结果。由于是第一次进行这样的估计活动，多数学生采用的方法是：先数整格和很接近整格的（6格），再把不是整格的进行拼补，凭借观察认为“图中不是整格的合起来大约是2个整格”，所以大约是8平方厘米。这种方法较为灵活，但也较为烦琐。教师可以引导学生体会“估计”的含义：我们需要怎样的精确度？如果只需要很粗略的估计，那么小方格里有图形的就记作1，没有图形的就记作0，最后相加;如果需要精细一些，那么小方格里图形有一半的记作1，不到一半的记作0，最后相加。

再试：学生按粗略的方法、比较精细的方法分别再次估测左图的面积，并交流，比较三种方法之间得到的结果，体会相互之间的差异、思考造成的原因，并根据图的特点，讨论三种方法中哪种最优。

应用：学生选择合适的方法估计右图的面积。交流，进一步比较、体会。

拓展：準备小方格为1平方厘米的方格纸，描出手掌的轮廓图，估计轮廓图的面积。

总之，图形的度量是小学数学教学发展学生核心素养和关键能力的重要载体，长方形和正方形的面积是图形度量的基础内容，在整个图形度量的教学体系中，起着承上启下的关键作用，无论是对面积和面积单位本质的理解，还是逻辑推理、直观想象等素养的培育，都是实现学科育人的基本内容和重要目标。数学实验作为学生数学学习的重要方式，在《长方形和正方形的面积》的学习过程中，能与学习内容完美融合，两者相辅相成，促进学生有效经历学习过程，真正理解内容本质，全面发展数学素养。