借助“转化”整合知识体系 通过“证明”聚焦深度学习

马骏 罗建华

[摘 要]“三角形内角和”一课是学生探究图形内角性质、揭示内角规律、梳理知识脉络的典型内容。以“三角形内角和”一课为例，具体说明如何在教学中实现学生的整合性学习、意义性学习、批判性学习、阶梯式学习，有效诠释了“深度学习”之内涵，实现学生认知水平的逐级跃升和核心素养培养的落地。

[关键词]深度学习;整合知识;三角形内角和

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）14-0048-03

深度学习作为培养学生核心素养的实践途径，要求学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功，获得个体的发展。对于小学数学而言，深度学习的内涵囊括：新旧知识的整合性学习、深层思考的意义性学习、客观理性的批判性学习、由表及里的阶梯式学习。依据“SOLO理论”，其教学效果体现为：实现学生的认知水平从单一结构开始，逐步经历多元结构、关联结构，进而达到抽象拓展结构的水平。

“三角形内角和”属于四年级下册内容，是在学生认识三角形（概念、要素、特征）的基础上，进一步研究图形的性质，是学生对三角形从感性认识到理性认识的一次提升，是从外在特征到内在本质的一次转折，是从研究构成要素到研究要素之间关系的一次飞跃。而这一阶段的学生，以具体形象思维为主，同时抽象思维已经开始发展，具备了一定的逻辑推理能力。下面就以本课为例，说明如何在教学中践行深度学习理念。

一、问题引领，质疑反思

“深度学习”之基本样态，即以创设问题为前提、生成问题为核心、释疑问题为关键，逐步引导学生“浅入深出”。在学习过程中，学生从多个维度来进行批判性分析，进而发现疑问、修正结论。

1.从常识出发，引出问题

师（大屏幕呈现一套三角板）：这是什么？顺着边描出两个三角形，对于这两个三角形的内角，你们了解多少呢？

生1：一个三角形的内角分别是30°、60°、90°，另一个三角形有两个内角均是45°，还有一个内角是90°。

生2：一個三角形的内角和是30°+60°+90°=180°，另一个三角形的内角和是45°+45°+90°，也等于180°。

师：内角和为180°到底是这两个三角形的现象，还是所有三角形的普遍规律呢？

生（异口同声）：应该是普遍规律。

师：那该如何验证呢？今天这节课咱们就一起来研究这个问题。

上述教学中，以学生熟悉的直角三角板引入，从学生的已有知识出发，从个别到一般，打开学生视野，以验证普遍规律为切入点，生成本节课的核心问题：如何证明三角形的内角和是180°？

2.交流分享，引发质疑

师：下面请大家利用三角形模型或者学习单上的三角形来验证三角形的内角和是180°。

生1：我的方法是量一量，先量出每个内角的度数，然后加在一起，正好是180°，所以三角形的内角和是180°。

生2：他的说法不严谨，应该多量几个三角形才行。

师：那我们就多请几位同学来说说量的结果。

（连续几位学生都说自己所量度数之和为180°）

师：大家量出的三角形内角和都是180°吗？

生3：我量出来的度数之和是178°。

（马上有其他学生说出自己得到的度数之和，教师板书记录：179°、182°、176°、185°……）

师：看看黑板上的这些结果，你们能得出什么结论呢？

生4：只通过量一量就说明三角形的内角和为180°，不严谨。

生5：我来补充，得到的结果虽然很多不是180°，但都接近180°，所以结论是：三角形的内角和可能是180°。

师：除了量一量，大家还有别的方法吗？

生6：还可以折一折、拼一拼。

师：大家都用手里的模型来折一折、拼一拼，看看能得出什么结论？

生7：因为用折一折、拼一拼的方法，角和角之间会有重叠或者缝隙，拼出来的角也只是看上去像个平角，所以也只能得出三角形的内角和可能是180°。

师：看来，量一量、折一折、拼一拼都只能证明三角形的内角和可能是180°。

在上述教学中，学生交流互动，质疑反思，修正观念。具体包括：

（1）研究的对象。从根据单个三角形得出结论，拓展到根据不完全归纳法大量举例验证。

（2）结果的分享。由最初的只有180°一种结果，逐步还原为大量学生所得结果为180°左右的真实数据。

（3）矛盾的产生。从源于常识“三角形的内角和是180°”，到证明得出“三角形的内角和可能是180°”。

学生以生生互评的方式，理性地对其中的方法和结论进行审视、分析与评价。

二、迁移转化，层层验证

“深度学习”之特征要义，就是基于问题将多维知识进行整合，构建知识之间的多元连接，实现对知识的整体感知与运用。同时，要逐步超越“表层”的学习，进入知识的“深处”，把握数学本质和思想方法，从理性思维走向理性精神。

1.跳出“藩篱”，连通“已知”

师：大家对这样的结论满意吗？如何证明三角形的内角和一定是180°呢？想一想，每当我们遇到新的问题时，我们就会——

生1：用原有的知识试着解答。

师：说到内角和，我们知道哪些图形的内角？（屏幕呈现三角形、长方形、正方形、平行四边形）

生2：长方形和正方形的内角和已知，一定是360°，因为四个内角都是90°。

师：那能不能在长方形或正方形中找出三角形，并证明三角形的内角和是180°呢？大家可以利用学习单上的长方形或正方形来动手试一试。

生3：画出正方形的对角线，会得到两个一模一样的等腰直角三角形，这个三角形的内角和就是360°÷2=180°。

生4：画出长方形的对角线，会得到两个一模一样的直角三角形，这个三角形的内角和也是360°÷2=180°。

（其他学生的展示略）

师：从刚才的证明中，能得出什么结论？

生5：直角三角形的内角和是180°。

在教师的引导下，学生尝试结合已有的知识，去搭建新旧知识之间的桥梁。学生的认知发展水平，也从最初只围绕三角形本身的单一结构，跨越到了多元结构，建立起了正方形和长方形与直角三角形的联系。证明的方法，也从原本的动手操作深化为逻辑推理。

2.再次“转化”，完成“证明”

师：那除了直角三角形以外，还有什么三角形？

生1：还有锐角三角形和钝角三角形。

师：你们能不能借助直角三角形，证明另外两类三角形的内角和也是180°？

生2：在锐角三角形中，画一条高，这个高把锐角三角形分成两个直角三角形（如图1），也就是180°×2=360°，这里多了一个平角，但这个平角不是原来三角形的内角，所以还要用360°-180°=180°。

生3：钝角三角形的证明方法也一样，从钝角的顶点出发向对边画高，也把钝角三角形分成两个直角三角形（如图2），同时又多了一个平角，所以钝角三角形的内角和也是180°×2=360°，360°-180°=180°。

师：我们已经证明了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种三角形的内角和都是180°。那我们回顾一下，刚才是怎样一步一步来完成验证的。

生4：把已知内角和的长方形和正方形转化为两个一模一样的直角三角形，证明了直角三角形的内角和是180°，再把锐角三角形和钝角三角形转换为两个直角三角形，證明各自内角和也是180°。

师：生4的描述不仅完整，还体现了一个重要的数学思想——

生5：转化思想。

在这一教学片段中，学生利用“转化”的方式，完成了从直角三角形到锐角三角形、钝角三角形内角和的证明。通过知识的灵活迁移运用，学生在相似情境中能够做到触类旁通、举一反三，创造性地解决问题。在证明命题的同时，学生抽象和概括出所蕴含的数学思想，实现深层思考的意义性学习。

三、总结凝练，抽象拓展

“深度学习”之拓展延伸，就是在掌握了基本知识和技能之后，重新回归系统的、整体的视角，将知识点纳入知识体系当中，按照学段特点，将学生的认知水平从多元结构，逐步提升到关联结构，直到形成抽象拓展结构，概括出其内在特征，形成一般性的数学模型。

师：通过今天的学习，你们有哪些收获？

生1：知道了三角形的内角和是180°，感受到了数学的严谨精神，通过转化思想证明了三角形的内角和是180°。

（其他回答略）

师：今天这节课，大家对什么内容印象最深？

生2：转化思想。

师：能不能通过转化，用今天学到的知识来解决其他问题呢？如四边形的内角和是多少。

生3：四边形的内角和是180°×2=360°，因为可以将四边形转化为2个三角形。

师：那五边形呢？六边形呢？如果不画图，你们知道十边形、百边形的内角和是多少度吗？

（学生回答略）

师：如果是n边形呢？（n≥3，且n为整数）它的内角和是多少度呢？

生4：内角和是180°×（n-2）。

通过学生对课堂收获的反馈，教师将重心再次放在转化思想上，引导学生主动地将本节课所学知识作为新的学习起点，由三角形拓展到四边形、五边形、六边形等，并归纳总结出多边形内角和的计算公式，明晰了知识与知识之间的联系，实现了整个知识体系的建构，深化了学生的学科理解和方法感悟。

在“三角形内角和”一课的教学设计中，以知识统整，作为证明的路径和最终的教学目标;以学科本质，来引领学生形成深切体验和深入思考;以理性批判，来审视证明方法并在必要时调整途径;以阶梯递进，实现从数学操作到逻辑推理，从一类图形到各类多边形的全覆盖。让教学走向深入、走向深刻、走向深度，实现培养学生核心素养的教学目标。

纵观整个教学过程，问题来源于学生已有的知识储备，矛盾产生于学生操作和证明的局限，思维升华于学生将新概念与已有概念的串联沟通，视野拓展于学生再次利用转化思想打通整个知识体系。整节课经历了“命题提出—初步证明—发现矛盾—修改路径—转化证明—体系建构”的完整过程。让学生的逻辑推理素养得到了锻炼和提升，让数学学习在质疑精神和知识整合中走向深刻。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 马云鹏，吴正宪.深度学习：走向核心素养（学科教学指南·小学数学）[M].北京：教育科学出版社，2019.

[2] 王庆菊.深度学习：让学习真正发生[J].小学教学参考，2019（20）.

[3] 张晓芸.深度学习的关键技术：小学数学课堂教学问题设计的实践研究[J].小学数学教师，2020（3）.

[4] 苏明强.魅力课堂：追求教学的三个“有利于”：以“三角形内角和”的教学为例[J].小学教学研究，2018（28）.

（责编 黄春香）