问题导学下高中数学高效课堂教学探究

花新矿

[摘   要]数学课堂教学的高效源于“问题”的解决.以“问题”为主线，从多方面、多角度引导学生自主探究解决问题的方法，可以拓宽学生解题思路，开阔学生思维.

[关键词]问题导学;高效课堂;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0025-02

一、问题的提出

题目：在双曲线[x23-y2=1]上，求一点P，使它和两焦点[F1、 F2]的连线互相垂直.

教师：本题是课本中一道具有代表性的习题，可以说它是圆锥曲线问题的典例之一，涉及探究曲线上特殊点问题.通过对该问题的探究，让学生掌握此类问题的解决办法，进而归纳出问题解决的通法，对变式问题的探究具有指导意义.

问题一：请同学们想一想，本题有几种解题方法？（开门见山，提出学习任务）

二、解题方法的探究

教师悉心引导学生思考问题，并按要求写出解题过程.为了合作学习，教师特地请几位学生代表口述其解法，分享研究成果，教师板书.

解法一：[a=3]，[b=1]，[c=2]，设[Px0 ， y0]，[F1-2， 0]，[F22， 0]，由[PF1⊥PF2]得，[k1k2=-1]，即[y0x0+2?y0x0-2=-1?x20+y20=4.]又[x203-y20=1]，解方程组[x20+y20=4，x203-y20=1，]得[x20=154，y20=14，]所以满足题意的点P共有4个，即

[P1152，  12] ，[P2152，-12] ，[P3-152，  12] ，[P4-152，-12].

解法二：由[PF1⊥PF2]可知，点P是在以[F1F2]为直径的圆上，且[F1F2=2c=4]，[x20+y20=4].又[x203-y20=1]，以下解题过程同上.（略）

解法三：由[PF1⊥PF2]得，[PF1?PF2=0]，[PF1=-2-x0，-y0]，[PF2=2-x0，-y0]，由[PF1?PF2=0]得[-2-x0?2-x0+y20=0]，即[x20+y20=4].以下解题过程同上.

解法四：因为[PF1=ex0+a]，[PF2=ex0-a]，其中[e=23]，[a=3]，所以[PF1=23x0+3]，[PF2=23x0-3]，由[PF12+PF22=F1F22]，[23x0+32+23x0-32=4]，解得[x20=154].又[x203-y20=1]，所以[y20=14].以下解题过程与解法一相同.

解法五：设[PF1=m]，[PF2=n]，则由[PF1⊥PF2]得[m2+n2=16]，不妨设[m>n]，则由双曲线定义可知，[m-n=23]，[F1F2=4]，由方程组[m2+n2=16，m-n=23，]得[mn=2].设[△PF1F2]的面积为S，则[S=12mn=1].又[S=12F1F2×y0=2y0]，所以[y0=12].以下解题过程同上.

教师针对以上五种解法，可提出下面的问题.

问题二：你能说说以上解法的理论依据吗？

解法一是根据平面解析几何中当两条直线的斜率之积为-1时，它们才互相垂直.

解法二是利用点P是直径为[F1F2]的圆上的移动点，又知点P在已知曲线上，可以根据点P满足的方程组解出其解.

解法三是根据平面向量的数量积运算公式和两向量互相垂直的充要条件解决问题.

解法四是巧妙地应用二次曲线的焦点半径公式来解决问题，简化了操作过程.

解法五是利用双曲线的定义和勾股定理计算出[mn=2]，然后用三角形面积公式进行变换，进而求出点P的坐标.

问题三：通过上述解法，你有什么收获？

学生甲：解法一是常规方法，容易想到，不足之处是运算量比较大;解法二是不容易想到用圆的性質来解题，这种方法技巧性比较强.

学生乙：解法三还是比较容易想到的，可操作性合理，而且解题思路很清晰，容易理解.解法四是利用双曲线的焦半径公式解题使得运算过程简单化.

学生丙：对于解法一至解法四，我与以上两位同学的想法是一致的.解法五是将问题转化为求解直角三角形问题，难度比较大，原因是所用的公式变形不易，技巧性较大，涉及许多知识点，如三角形面积公式、勾股定理、完全平方公式以及双曲线定义等.因此这种方法难以接受.在这五种解法中，本人更加倾向于解法一、解法三和解法四.

教师：这三位同学分析得非常好，我很赞同.下面我就以上解法谈谈自己的看法.本题考查“垂直”问题，可以从直线方程入手，考虑两直线的位置关系，两条线之间的垂直关系当且仅当[k1k2=-1]，通过点坐标代入即可.当然也可以从平面向量方面着手，利用[PF1?PF2=0]和相关公式即可求解.另外，还可以把问题转化为解三角形，利用双曲线定义、勾股定理、完全平方公式以及三角形面积公式等知识解题.以上这些方法的特点是通过“转化”的思想方法来解题.这也是我们解题需要具有的一种基本的技能和方法.

三、问题升华，总结规律

问题四：在上面解法五中，应用面积公式计算得到[S△PF1F2=1]，请同学们思考一下，这个结果是否有一定的规律性？（教师在黑板上写上双曲线方程[x23-y2=1]，引起学生的注意）

学生丁：老师，我认为三角形的面积是[S△PF1F2=b2]，其中b是双曲线的虚半轴长.

教师：为什么？你能推理你的研究成果吗？

学生丁：好的.

题目：已知点P在双曲线[x2a2-y2b2=1]上，焦点是F1和F2，且[∠F1PF2=α]，求[△PF1F2]的面积.

解析：设[PF1=m]，[PF2=n]，不妨设[m>n]，则[m-n=2a]，由余弦定理得

4c2 = m2 + n2 - 2mncos [α]=（m-n）2+2mn（1-cos [α]）=4a2+2mn（1-cos [α]）

即[mn=2b21-cos α]，[S△PF1F2=12mnsinα=b2·sin α1-cos α=b2tanα2]，特别地，当[α=90°]时，[S△PF1F2=b2].

教师：这位同学推理很完美.老师还有这样的疑惑，如果把题目进行变式，你能解吗？

变式题：已知点P在双曲线[x2a2-y2b2=1]左支上，焦点为F1和F2，且[∠PF1F2=θ]，求[△PF1F2]的面积.

此時教室里安静下来，学生认真演算.过了五分钟，学生乙举手示意，教师叫他上黑板板书.

解析：设[PF1=r1]，[PF2=r2]，且[r2>r1]，则[r2-r1=2a]，由余弦定理得[r22=r21+4c2-4r1ccosθ]，将[r2=r1+2a]代入可得[r1=b2a+ccos θ]，

[S△PF1F2=12r1·2c·sinα=b2csin θa+ccos θ]，特别地，当[θ=90°]时，[S△PF1F2=b2ca].

四、总结归纳

本题多种解法中，我们应用了哪些重要的数学思想方法？你得到哪些收获？

【课例评析】

下面就本课例谈谈教师课堂教学的体会.

1.“问题的提出”是课堂教学的首要条件，问题设计的合理性直接影响教学效果.教师所选的题目很好，原因有二：一是从特殊点入手，符合事物的发展规律（特殊到一般）;二是对通解通法的总结、归纳.

2.解题方法的探究，也就是平常说的“通法”.所谓“通法”，即对一类问题的共同特征进行处理的通用策略.教师课堂教学的开放性为学生提供了广阔的研究空间，把学习的主动权还给学生，让他们自主研究问题，做到提出问题、分析问题和解决问题.更为重要的是，学生在教师的精心引导之下，知识面得到了拓宽，完善自我，丰富了他们认识事物的内涵.

3.学生通过自主探究改善知识结构，总结出解决问题的新方法.本节课里，教师大胆地把问题进行变式，让学生探索.变式问题使得题目难度加大，让学生尝试不同条件下的问题解决方法.同时，学生在“问题”的探索中成长，不断提高自己.

4.高效课堂教学要有归纳、总结，这个环节不能忽视.在本节课中，教师所设计的问题，不仅提供解决问题的方法，而且还对方法进行归纳、总结，这样有助于优化学生的知识结构，提高他们的解题速度，提升他们解决问题的能力.

总之，构建有效课堂是教学改革的一个重要任务，这种课堂要求“为学而教”，学生团结互助，共同学习，共同进步，教学效果是高效的.构建高效的课堂，最终目标将转移到学生的全面发展上.因此，构建高效课堂是一个漫长而有意义的过程，需要不懈的努力.

（责任编辑 黄桂坚）