基于分布鲁棒优化的电-气综合能源系统弹性提升策略

张亚超，易 杨，胡志鹏，谢仕炜，黄张浩，郑 峰

（1. 福州大学电气工程与自动化学院，福建省福州市350108；2. 国网浙江省电力有限公司杭州供电公司，浙江省杭州市310017）

0 引言

近年来，极端天气对电力系统的安全稳定运行造成了极其恶劣的影响，如2018 年中国超强台风“山竹”造成大面积用户停电［1］。仅考虑配电网N-1 安全准则不足以避免极端天气下的大规模停电事故，为尽可能降低小概率-高损失极端事件的影响，发展弹性配电网是能源转型背景下智能电网发展的必然趋势［2-3］。另一方面，在能源互联网的发展背景下，作为综合能源系统中主要的能源供输网络［4-5］，电-气互联系统实现了电力、天然气2 种不同形式能源的紧密耦合［6］，可利用天然气管道对极端天气的抵御能力为配电网提供能量补给并加速其恢复过程，为提高配电网弹性提供了新的途径。

针对配电网弹性提升，文献［7］提出了考虑分布式可再生能源配置的鲁棒优化（robust optimization，RO）模型，并采取配电网重构、微网分区等策略提升配电网弹性。文献［8］提出配电杆塔加固和线路走廊清障的防御方案。上述研究仅从配电网角度出发，未计及天然气网对配电网弹性提升的作用。文献［9］对灾害条件下电-气互联系统的恢复过程进行弹性量化评估，验证了电力、天然气网耦合运行时具备更强的弹性。文献［10-11］从电力、天然气系统综合规划角度构建RO 模型，表明综合能源系统在应对极端灾害方面具有较大优势。上述研究通过辨识最严重攻击策略制定加固规划和运行决策，并未考虑自然灾害下元件发生故障的概率信息，使得弹性增强策略不够完善。

针对电力系统元件的故障概率评估，文献［12］提出一种考虑在时空双维度下极端天气对电力系统元件影响的弹性评估框架。文献［13］结合元件脆弱性曲线建立了考虑风速、风向影响的故障率模型。文献［14］基于历史灾害数据拟合配电网线路故障概率曲线，提出一种离线仿真和在线匹配相结合的线路故障概率评估方法。

由此可见，有必要在面向弹性提升的RO 模型中融入元件的故障概率信息，建立分布鲁棒优化（distributionally robust optimization，DRO）模型以改善RO 模型决策偏保守的缺点［15］。目前已有研究采用不同的DRO 模型求解含不确定量的优化问题［16-17］，文献［18-19］分别基于不确定量的矩信息和概率密度函数置信带构造其模糊集；文献［20］提出基于综合范数约束的不确定量概率分布置信集，并在此基础上建立多离散场景的DRO 模型。

综上，本文提出一种考虑极端天气下元件故障概率信息的电-气综合能源系统弹性提升模型，分别构建配电网DRO 问题和天然气网运行可行性校验子问题。针对上述具有min-max-min 形式的非凸、非线性优化问题，结合对偶理论和内、外双层循环求解框架并采用列与约束生成（C&CG）算法和Benders 分解算法进行迭代求解。最后，通过算例验证了所提模型和方法的有效性。

1 弹性导向的模型描述

配电网弹性是指在极端天气条件下系统的恢复能力。恢复力即为电力系统针对小概率-高损失极端事件的预防、抵御及快速恢复负荷的能力［2］。弹性电力系统的状态按时序可划分为预先准备阶段、抵御与吸收阶段、响应与适应阶段和恢复阶段。针对上述阶段的弹性提升策略可分为事前预防策略、事中响应策略和事后恢复策略。针对与天然气系统互联的配电网，本文基于图1 所示的防御-攻击-防御3 层优化框架来制定事前预防的弹性提升策略。

图1 3 层优化框架Fig.1 Tri-level optimization framework

在电-气互联综合能源系统中，天然气传输网络采用地埋管道，故其在暴雨、台风等极端天气下一般不会遭到损坏，可维持正常运行。作为电力、天然气系统的耦合元件，燃气机组消耗天然气产生的电能可用来缓解配电网故障状态下的供能不足，提高配电网弹性。在防御-攻击-防御的3 层优化框架下，攻击者制定极端天气下最严重的攻击策略，防御者在攻击事件前制定最优的线路加固方案，并在最严重攻击下优化配电网运行方式来尽可能地减小弃负荷损失，可建立基于RO 的目标函数如式（1）所示。

式中:al为线路l断开/闭合的二进制变量，取值为1表示线路闭合，为0 表示断开；hl为线路l是否加固的二进制决策变量，取值为1 表示加固，为0 表示不加固；ul为线路l是否遭受攻击的二进制变量，取值为0 表示受到攻击，为1 表示没有受到攻击。

目标函数中H和U可表示为:

式中:Nh为线路最大加固数；Nl为配电网线路l总数；kmax为线路最大损坏数；Ωl为线路l索引集合。

2 模型的建立

2.1 不确定量模糊集

式中:P为不确定量U发生的概率；EP(·)为求期望值函数；Γ(·)为概率分布集合。

基于上述模糊集可建立基于DRO 的目标函数为:

式中:sup 表示上确界。

由上述2 种优化模型的目标函数可知，式（1）不考虑线路发生故障的概率分布特性，仅通过辨识不确定量U中的最恶劣线路损坏场景制定防御决策。与RO 模型不同，式（6）结合极端天气条件下线路故障率置信区间及其损坏总体期望值构建关于不确定量U的模糊集F，从而提出融入不确定量统计信息的DRO 模型。

2.2 配电网约束

2）节点电压约束

式中:Uj，t为节点j在时段t的电压；Ur为额定电压；rl和xl分别为线路l的电阻和电抗值；Umax和Umin分别为节点电压的上、下限；M表示一个足够大的正数。

3）功率传输限制

2.3 天然气网约束

1）气源流量约束

3 模型求解

本文在防御-攻击-防御优化框架下，结合极端天气条件下表征线路故障分布信息的模糊集构建弹性导向的配电网DRO 模型，采用C&CG 算法［22］将其分解成外层主问题和内层子问题，内层子问题辨识出给定线路加固方案后的最严重攻击策略，将其返回到外层主问题；外层主问题基于攻击策略集合求解线路的加固方案。

另一方面，考虑电力、天然气系统的耦合运行约束，燃气机组的调度出力值受到气网侧管道输送容量、气网节点气压限制等因素的影响。因此，通过Benders 分解算法［23］将电-气耦合系统的弹性优化模型分解为上述配电网DRO 主问题和气网运行可行性校验子问题。配电网主问题求解得出燃气机组出力值传递给气网子问题，该子问题对其运行可行性进行校验，并生成Benders 割集添加至主问题。下文将详述双层迭代循环的建模求解流程。

3.1 配电网DRO 问题

弹性导向配电网DRO 模型可表示为:

式中:b、c、d和g为常系数向量；a为决策向量；A、B、C、D、E和K为常系数矩阵；h为外层主问题的决策向量；y为内层子问题的决策向量；EP(·)为求期望值函数。第1 行约束对应式（3）；第2 行约束对应式（5）；第3 行约束对应式（2）、式（4）、式（7）—式（11）。

其中，式（2）可转化为如下线性约束形式。）

令O=mincTy，式（17）中与模糊集F有关的目标函数和约束条件可转化为如下优化问题。

α和β分别为式（19）中第1 行约束和第2 行约束的对偶变量。根据对偶理论将式（19）转化为有限维优化问题［24］:

结合式（20），可将模型式（17）转化为:

3.2 外层C&CG 循环

DRO 问题（式（21））中第3 行约束中O为最小化函数，可转化为如下等效形式。

由于上述约束中含有max-min 形式函数，故将式（21）分解为内层子问题和外层主问题进行迭代求解。

3.2.1 内层子问题

内层子问题辨识最严重攻击策略，其模型为:

其中，决策向量h*和对偶变量β*可通过求解外层主问题得到。λ为约束条件的对偶变量。二进制向量a取值由h*和最严重攻击策略u决定，故其中min 问题为仅含连续型变量y的线性规划问题，其包含的变量如式（24）所示。

式中:λm为λ中的第m个元素；φml和Eml分别为矩阵φ和E中第m行、第l列元素；Ndu为对偶变量所含元素个数。

（Ba）Tλ也可采用上述方法进行线性化处理。

3.2.2 外层主问题内层子问题在每次迭代中辨识出一个最严重攻击策略时，外层主问题会添加一组新的决策变量及约束条件，则主问题的数学模型可表示为:

式中:u(q)*为第q次循环由内层子问题辨识出的攻击策略；y(q)和a(q)为第q次循环中添加至外层主问题的决策变量；R为外层循环迭代次数。

3.3 气网运行可行性子问题

由于配电网DRO 模型主问题求得的燃气机组出力受到天然气网运行约束限制，故需构建气网运行子问题对其可行性进行校验。

将气网中接入燃气机组的节点流量平衡方程式（16）改写为:

其中，式（14）和式（15）为非线性约束条件，需引入二进制辅助变量采用分段线性化技术进行处理，其过程详见文献［25］。因此，该子问题可转化为一个非凸混合整数线性规划（MILP）问题。由于Benders 分解要求子问题为凸优化问题，采用如下步骤生成主问题的Benders 割［26］。

步骤1:求解MILP 子问题（式（29））获得所引入二进制辅助变量的值。

步骤2:将步骤1 求得的二进制变量数值代替原MILP 子问题中的二进制变量，得到相应的线性规划（LP）子问题。

步骤3:求解步骤2 中LP 子问题，如果其目标函数值大于0，表明配电网主问题中燃气机组出力值不能满足，生成如式（30）所示的Benders 割返回至配电网主问题。

3.4 求解流程

综上所述，针对弹性引导的电-气综合能源系统，结合C&CG 算法和Benders 分解算法将其弹性提升问题分解成配电网DRO 主问题、最严重攻击策略辨识子问题以及气网运行可行性校验子问题，并采用内、外双重循环的方式进行迭代求解。求解流程如图2 所示，具体步骤如下。

图2 求解算法流程图Fig.2 Flow chart of solving algorithm

步骤1:C&CG 算法参数初始化。设置迭代次数q=1；DRO 主问题（式（27））的上、下限设置为Ub=+∞，Lb=-∞；最大间隙σmax设为一较小正数；标记符I设置为1。

步骤2:求解主问题（式（27））。如果标记符I为1，根据主问题目标值对Lb进行更新，将其最优解记为(h(q)，α(q)，β(q))，令h*=h(q)，β*=β(q)，转入步骤3；否则，根据主问题（式（27））辅助变量y(q)*的数值并结合式（24）对P′i，t进行赋值，转入步骤5。

步骤3:求解子问题对偶问题（式（25））。其目标函数值记为Q(q)*，辨识出的最严重攻击策略为u(q)*，并将主问题上限更新为Ub=min(Ub，Q(q)*+dTβ*)。

步骤4:如果Ub-Lb≤σmax成立，则将h*作为最优线路加固方案，外层C&CG 循环结束，程序运行终止；否则，将标记符I设置为0，将Benders 分解迭代次数v设置1，添加辅助变量(y(q)，a(q))及相应约束条件至主问题（式（27）），并更新迭代次数q=q+1，返回步骤2。

步骤5:求解气网子问题。将式（29）转化为MILP 问题求解，所求得0-1 变量值代替原MILP 问题中的二进制变量，得到气网LP 子问题。

步骤6:对步骤5 中的LP 子问题进行求解，如果目标函数值等于0，则内层Benders 迭代结束，返回步骤2；如果目标函数值大于0，则将式（30）的Benders 割添加给主问题（式（27）），更新迭代次数v=v+1，将标记符I设置为0，返回步骤2。

4 算例分析

4.1 基础数据

本文选取改进的IEEE 33 节点配电网和7 节点天然气网构成电-气综合能源系统，其耦合拓扑结构见附录A 图A1；电力、天然气负荷见图A2；配电网系统中各线路在极端天气条件下06:00 发生故障的概率见附录B 表B1［14］；配电网和气网的其他运行参数见文献［27-28］。本文算例在MATLAB 平台上调用Gurobi 8.1.1 求解器进行计算。

4.2 仿真结果

为验证所提DRO 模型的优越性，设置如下仿真场景进行分析。

场景1:考虑极端条件下线路Nl-kmax故障的电-气综合能源系统鲁棒优化模型。

场景2:考虑极端条件下线路故障概率的电-气综合能源系统DRO 模型。

针对场景1 的RO 模型，其目标函数为式（1），线路发生故障的不确定集为式（4），该模型所包含的运行约束条件与所提DRO 模型的一致，同样采用第3 章提出的内外双层循环协调框架进行求解。线路最大损坏数kmax设为3，期望损坏数为50%kmax，上述2 种场景的仿真结果见表1 和表2。

表1 场景1 的弹性增强策略Table 1 Resilience enhancement strategy in scenario 1

表2 场景2 的弹性增强策略Table 2 Resilience enhancement strategy in scenario 2

由表1 和表2 可知，2 种场景下的弃负荷成本随加固线路数目的增加而减小，但线路加固费用会随之增大。针对同一加固线路数，所提DRO 模型的弃负荷成本比RO 模型显著降低。此外，由于DRO 模型在决策过程中考虑了配电网实际线路在极端天气下的故障发生概率，其线路加固方案随着加固数目增加是一种有序的事前防御决策，即加固线路数较大的方案中必然包含加固线路数较小的方案。而RO 模型未计及极端事件下线路发生故障的概率统计信息，仅通过辨识最严重攻击策略来确定事前防御决策，故其在不同预定线路加固数下的加固方案关联性不大，不利于决策人员明确线路加固的优先级别。

当加固线路数为3 时，可知场景1 和2 在迭代中辨识出的最严重攻击集含有5 个相同攻击策略，与之对应的弹性运行决策的电压质量［29］见表3。

表3 节点电压质量比较Table 3 Comparison of node voltage quality

由表3 可知，针对同样的攻击策略，在弹性增强方案下，场景2 的节点电压质量均优于场景1。在上述攻击策略下，场景1 和2 的弃负荷均值分别为5.603 MW·h 和5.105 MW·h。故DRO 模型决策下弹性配电网具有更优良的运行可靠性和电能质量。

当预设加固线路数取值为3～8 时，2 种模型所得优化决策中线路的加固频数见附录A 图A3。由图A3 可知，场景2 确定的加固线路数为8，而场景1确定的加固线路数为12。对于2 种场景同时选中的加固线路，场景2 的加固频数高于场景1。在预设加固线路数为8 时，仅场景2 将线路29 纳入加固方案。由附录B 表B1 可知，线路29 具有最高的故障率（0.479 9），但场景1 由于未将线路故障信息融入决策过程，以至预设加固线路数高达8 时仍未将其纳入加固方案中。由此可见，兼顾线路故障概率信息的DRO 模型具有更完备的弹性增强策略。

4.3 模型参数影响分析

当加固线路数在3～8 之间取值，线路最大损坏数kmax在1～4 之间取值时，上述RO 模型和DRO 模型的2 种模型的仿真结果如图3 和图4 所示。

图3 场景1 的弃负荷成本Fig.3 Load shedding cost in scenario 1

图4 场景2 的弃负荷成本Fig.4 Load shedding cost in scenario 2

由图3 和图4 可知，在每种场景下，弃负荷成本随着加固线路数的增加而减小，随着最大损坏数的增加而增大。在预设加固线路数和最大损坏数相同的情况下，场景2 的弃负荷成本与场景1 相比显著减小。因此，所提DRO 模型能有效降低RO 模型的保守性，便于系统决策人员对弃负荷损失做出更加客观的评估，从而制定经济合理的配电网加固方案。

此外，当线路最大损坏数和加固数均取值为3时，对线路故障率和线路期望损坏数的敏感性进行分析，针对所提DRO 模型建立如下场景。

1）场景3:所有线路故障率均取值为0.1。

2）场景4:所有线路故障率均取值为0.2。

3）场景5:线路故障率取附录B 表B1 中的不同值。

基于上述场景，线路期望损坏数取值为1、1.5和2 时的仿真结果见附录A 图A4，并可求出线路加固方案包括如下3 种:①加固线路1、2 和18；②加固线路1、18 和26；③加固线路1、18 和19，具体方案见附录B 表B2。由图A4 可知，配电网线路故障率对目标函数有直接影响。经计算可得场景5 中线路平均故障率为0.283 2，大于其他2 种场景的平均故障率，其弃负荷成本最大。此外，由表B2 可以看出，针对3 种不同线路故障率求解出的线路加固方案各不相同，故在配电网弹性增强策略中融入线路故障率信息具有重要参考意义。

4.4 求解算法性能分析

本节对场景1 和2 中采用RO 模型和DRO 模型的收敛性能进行分析。当线路加固数取值为3 时，模型的求解迭代次数如图5 所示。2 种模型求解的迭代次数和运行时间见附录B 表B3。

图5 求解迭代过程Fig.5 Iterative process of solving

针对上述2 种模型，其求解流程中均含有外层C&CG 循环及内层Benders 循环的计算过程，该双层循环的迭代求解是影响模型运行时间的关键因素。结合图5 和附录B 表B3 可知，随着加固线路数的增大，配电网中可供选择的线路加固组合方案急剧增加，RO 模型求解迭代次数和运行时间显著增大。而对于DRO 模型，当加固线路数小于5 时，迭代次数和运行时间显著增加；当加固线路数大于5时，迭代次数和运行时间增加较平缓；当加固线路数为8 时，DRO 模型的求解时间小于RO 模型。

5 结语

针对极端天气条件下电-气综合能源系统的弹性提升，本文提出了考虑配电网线路故障率和电-气耦合关系的综合能源系统DRO 模型及其求解方法。通过算例验证了所提模型和算法的有效性，可得如下结论。

1）在面向配电网弹性提升的决策模型中考虑了配电网中线路故障概率的统计信息，并将其融入防御-攻击-防御的优化框架中，以便做出更加有效合理的综合能源系统弹性提升决策。

2）相比传统RO 模型仅通过辨识最严重攻击场景制定弹性提升决策的方法；本文以线路故障率置信区间及其损坏期望值构造模糊集，在此基础上提出DRO 模型，有效降低了RO 模型的保守性。

3）对于上述模型转化得到的非凸、非线性优化问题，结合对偶理论将具有max-min 形式的双层优化问题转化为单层有限维优化问题，并提出内外双层迭代求解框架并采用C&CG 算法和Benders 分解算法联合求解，通过算例验证其有效性。

需要指出的是，本文提出了考虑线路故障概率信息的DRO 模型制定综合能源系统的弹性提升策略，但并未考虑强烈地震灾害时天然气网遭受破坏的情况，下一步工作将研究电力、天然气网同时遭受破坏时综合能源系统的弹性提升策略。

附录见本刊网络版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），扫英文摘要后二维码可以阅读网络全文。