挖掘教材与课标的内涵着力发展学生核心素养

农学宁

【摘要】本文以2020年广西北部湾经济区学业水平考试为例，阐述命题的目标、立意、思路以及命题的过程，以帮助教师能更好地了解考试的本质、理解教材与课标的内涵，更好地进行日常教学并做好中考备考，提升课堂教学质量。

【关键词】广西北部湾经济区 学业水平考试 命题 课标

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章編号】0450-9889（2021）13-0130-02

《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》指出，考试命题要注重引导学校落实德智体美劳的教育体系的全面培养，引导教师积极探索基于情境、问题导向、深度思维、高度参与的教育教学模式，引导学生自主、合作、探究学习，充分发挥考试对推动教育教学改革、提高学生综合素质、促进学生全面健康成长的重要导向作用。《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》同时指出，取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题，不得超标命题。因此现行的《义务教育数学课程标准（2011版）》和教材（人教版）是考试命题的重要依据。然而从目前学校的中考备考情况来看，大多数学校对课标和教材的教学不够重视，教学课程内容超标、重结果轻过程、重教辅轻教材、重技巧轻概念的情况依然比较普遍存在。本文从2020年广西北部湾经济区学业水平考试命题的主体立意、教材与课标的关系出发，以发展学生核心素养为起点，以试题的命制过程为主线，分析试题命制的立意，深入探讨课标与教材的思想内涵，以期帮助老师们更好地理解教材与课标的内涵，便于老师们提升课堂教学质量，并做好中考备考。

一、命题目标与立意

中考是义务教育阶段的终结性考试，是全面衡量初中学生在学科学习方面的水平考试，考试结果是高中阶段学校招生录取的主要依据。由此性质决定了中考试题既要注重学生的基础知识和基本技能的考查功能，又要注重选拔性的考查功能，要求具备一定的难度和区分度。其中几何综合题是中考试题中十分常见的类型，其综合性强，蕴含的知识点多，对学生的几何直观思想、逻辑推理、模型思想等能力要求比较高，常常出现在压轴题中。2020年广西北部湾经济区学业水平考试的几何综合题有一定难度，其考查的内容以圆的性质和相似三角形相结合为主，其目标是为了考查“几何直观”“推理能力”“运算能力”等数学核心素养，以及“数形结合的思想”“转化与化归的思想”等数学思想方法。试题相较于往年，既保持了一定的稳定性，又具有一定的层次性和区分度。试题的命制思路主要借助教材例题和练习立意，以改编为主要手段，体现相关知识的核心内容和思想。

二、材料收集及初定框架

在教材中，有两道关于圆的性质的比较典型的题目，是这次命题的主要参考内容。为了让读者能更好地了解命题的基本思路和过程，现分述如下。

〖教材内容参考 1〗（人教版九上P98 练习第 1 题）如图 1，AB是 ⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB。求证：AT 是 ⊙O 的切线。

〖教材内容参考 2〗（人教版九年级 P101 习题 24.2 第 6 题，变式提升）如图 2，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°。求∠P的度数。

这两道题均是教材中的典型练习，主要考查切线的判定和性质、圆周角的性质、切线长定理等。两道题的解法和证明过程虽然比较简单，但其可塑性强，考查的内容与方法十分经典。因此确定以这两道题为母题进行进一步改编。

〖初步思路一〗在教材内容参考1上进行改编。

如图3，AB 是 ⊙O的直径，AB=d，∠ABT=45°，AT=AB，连接OT 交 ⊙O于点 C，BC 的延长线交 AT 于点 D。

（1）求证：AT 是 ⊙O 的切线;

（2）求 AD 的长。

显然在原题的基础上增加了OT，BD 两条线段，图形开始变得有点复杂，主要考查点还是切线的判定，入手不难，但 AD 的长为 [5-12]d，则一下子难度增加过大，需要有一定的过渡。以圆的切线判定为考查的一个重要知识点是恰当的，但第二问的难度过大问题，需要进一步讨论。进一步分析发现， [5-12] 这数字正好是黄金分割，这正是我们所需的，让人十分振奋。因为这可以提高本题的数学文化性质，体现题目的数学文化功能，同时又使运算有一定的难度，确保适当的区分度，体现选拔性的命题特点。

〖初步思路二〗在教材内容参考 2 上进行改编。

如图 4，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AT为直径，在Rt△PAC中，AC边长为 4，AP 边长为 3，这时恰好有AP=AT=2 OA。（显然这里可以通过连接AB，TB证明）

三、思路整合与优化

以上两个思路有一个交汇点，即圆的直径没有变化，而且还可以继续使用两个教材练习的条件。

〖第一稿〗如图 5，在△ACP 中，以 AT 为直径的 ⊙O 交 OP 于点D，连接TD并延长与AP相交于点E，连接AD，且∠DAE=∠ACE，PB与 ⊙O相切于点B，AC=4，AP=3。

（1）求证：AP 是 ⊙O 的切线;

（2）求 AE 的长。

这题有两问，其中，第一问比较简单，第二问的答案是在AP=AT 的基础上进行证明而得到。然而AP=AT的证明（如前）所用的方法和第一问的方法相似，这对于知识点的考查似乎过于单一，而且问题缺乏梯度。如果第二问先证明AP=AT，则第三问的隐蔽性又不太够，思路引导过于明显，难度不够。因此，还要在第二问上下功夫。

[思考]这一稿主要集中在第二问的突破上。在第一稿的基础上增加连接BT，AB两条线段，如图6，这时就会有以下的结论：

（1）BT∥PO;

（2）BA⊥PO;

（3）∠CBT=∠BAT=∠APO;

（4）∠BAD=∠DAE。

其中，（1）（2）（3）（4）问在知识点上相连，方法和模型比较常规。主要运用弦切角定理、切线长定理推论、直角三角形的两个锐角互余等，与本题中要考查的主要知识点相符。

由此设计出第二稿如下：

〖第二稿〗如图7，在Rt△ACP中，∠CAP=90°，以AT为直径的⊙O交OP于点D，连接TD并延长与AP相交于点E，PB与⊙O相切于点B，AC=4，AP=3。

（1）求证：AP是⊙O的切线;

（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE;

（3）求AE的长。

这一稿则基本上解决了第（2）问的问题，而且在通过第（2）问的证明过程，让学生可以发现△FAD∽△DAE∽△TAE，对第（3）问的解决也有了一定的思路引导。但也存在一个问题，就是第（1）太过于简单，简单到几乎可以不用证明。

经过研究发现，主要矛盾是在Rt△ACP和AC=4，AP=3这几个条件上，让本题的运算大大增加，因此考虑能不能不用这几个条件。同时，我们也发现，由于∠BAT=∠APO，故它们的正切值均为 [12]。如果给出这几个角中任意一个角的正切值，那么就可以通过主动设元的方法，求出△ATE的线段比，这也同样得到黄金分割的结果。

四、定稿

如图8，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE=∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B。

（1）求证：AP是⊙O的切线;

（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE;

（3）若tan∠OAF=[12]，求[AEAP]的值。

〖解析〗选择给出∠DAE=∠ACE的条件，以便第（1）问的证明，其方法是教材内容的通法，比较容易入手。第（2）问则是以第（1）为基础，结合PB与⊙O相切于点B这一条件，运用切线长定理及等弧所对的圆周角相等等定理也可以轻松证明。由此对与圆有关的几何性质的运用比较充分，同时难度也不大。第（3）问中就舍弃了Rt△ACP的边长的条件，而是基于三角函数（定型）和三角形全等（△ABC≌△PFA）的线段转化或相似方法进行角的转化来推导求出线段比。目的是引导学生利用设元的方法进行求解，从而增加解题方法。

五、反思与拓展

（一）明确考查目标，关注学科知识的内涵与特征

考试命题是一个融合课标、教材、教学的创作过程，需要明确考查的知识内容标准。国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。它规定本门课程的性质、目标、内容，提出指导性的教学原则和评价建议。教材是教师进行教学的主要依据，它为教师备课、上课、布置作业、学生学习成绩评定提供了基本材料。初中阶段学生在几何知识方面的学习，主要集中于空间观念和几何直观。其中，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象所描述的实际物体及其方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等;几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，把复杂的数学问题变为简明、形象的问题，以助探索解决问题的思路，预测结果。

本题是一道与圆有关的几何综合题，主要考查了圆周角定理、切线的性质与判定、切线长定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理、解直角三角形的应用等，均为初中阶段的主干知识。本题以学科核心素养为立意，围绕学科相关的核心知识点进行设计，充分关注学科知识的内涵与特征;以知识为主线，考查了学生的“几何直观”“推理能力”“运算能力”等数学核心素养以及“数形结合的思想”“转化与化归的思想”等数学思想方法。

（二）选取合适的素材，关注教材、课标及育人价值

从命题的过程上看，以教材的练习题为起点，考查了课标内容中的主要知识内容，以达成课标的要求;同时又进行了适当的、有梯度的难度拓展，以提升学生的数学素养水平。根据课程标准，注重数学基础，即注重基础知识、基本技能、基本思想、基本活動经验。这是学生数学素养的重要组成部分，也是发展能力的基础。本题较好地体现学业考试的性质，发挥考试评价对数学教学的导向作用。

关注数学文化，体现学科育人价值。从文化素养上，本题还融入古埃及中的埃及三角形的文化内涵，以及黄金分割的数学文化，对以后教师在教学中的拓展运用有很大的帮助。

（责编 卢建龙）