质心动能定理与相对动能定理

汤幼强

(南昌县莲塘第一中学 江西 南昌 330200)

黄亦斌

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330022)

1 理论

质点系的动能定理其实不止一种，正如质点系角动量定理可以对静点，亦可对质心，不止一种一样.我们先来梳理一下质点系动力学.

对于一个一般的质点系，可以对其中每个质点列出质点动力学方程(动能定理、动量定理和角动量定理)，其中每个方程的左边涉及到力(包括内力和外力)，而右边则涉及对运动的描述(动能、动量和角动量).将这些方程相加，左边就是内力和外力的贡献，右边则出现系统的总动能、总动量或总角动量.

下面是牛顿第三定律上场.这个定律似乎存在感不强，其实相当重要.正是由于这个定律，使得一对内力的冲量之和为零，力矩之和为零.这就使得质点系的动量定理和角动量定理的左边不出现内力，只有外力.多大的简化！遗憾的是，一对内力的做功问题要复杂.由牛顿第三定律，一对内力做功之和不一定为零，但也简单到仅依赖于两相互作用质点的距离变化.于是有质点系动能定理：外力功和内力功之和等于系统动能的变化

(1)

A内+A外=dK

接下来，我们进入力学量的分解.对任意质点系都可以定义质心，注意这里没有任何前提条件.质心是质点系的平均位置，是各质点以质量为权的加权平均位置

(2)

由此自然引申出质点系的平均速度——质心速度和质点系的平均加速度——质心加速度

(3)

显然，质心运动代表着质点系的整体运动.此外，每个质点还存在对质心的相对运动

ri=rC+r′ivi=vC+v′iai=aC+a′i

(4)

质心运动和相对运动有时又称为外部运动和内部运动，在刚体情况下也称为平动和转动，或公转(轨道运动)和自转(自旋运动).

我们知道，对于一般的质点系，利用速度分解式(4)，可以得到动能分解的柯尼希定理

(5)

K=KC+K′

恰好是式(1)右边的分解，其中右边两项分别是质心动能和相对动能，在刚体情形又分别叫做平动动能和转动动能.左边是不是也可以分解呢？定义了质心后，质点系动量定理等价于质点系质心运动定理

(6)

其中左边只有外力，没有内力.将上式两边点乘质心位移drC，可得到

(7)

此式右边是质心动能的增量，故这就是质心动能定理.在这个定理中，内力根本不出现，而各外力所点乘的位移并不是式(1)中各自受力点的位移，而是统一为质心位移.式(1)中左边的外力功又可依式(4)变为

(8)

此式可理解为外力功的分解.联立式(1)、(5)和(7)，马上得到相对动能定理

(9)

其中外力点乘的位移是各自受力点相对于质心的位移，而内力功部分的位移仍为两质点间的相对位移：dr′ji=drji.相对位移与惯性系还是质心系无关.

以上内容可以总结如下

(10)

其中，3个横式分别为质点系的(总)动能定理、质心动能(平动动能)定理和相对动能(转动动能)定理，3个竖式分别为内力功、外力功和动能的分解式.可以看出，每个外力功可分解为质心运动部分和相对运动部分，而内力功则只有相对部分，这是因为内力不会影响质心速度和整体运动.

作为对比，我们看看对角动量定理的分解.对静点的质点系角动量定理为

(11)

其中，右边存在角动量分解(类似于动能的柯尼希定理)

(12)

两项分别为质心角动量(将整个系统的质量集中于质心后对静点的角动量)和相对(于质心的)角动量.而左边的合力矩可依式(4)分解为

(13)

式(12)、(13)中，左边是对应的[见式(11)]，右边第二项也是对应的(即对质心的角动量定理)，故有如下表示

(14)

其中，3个横式分别为质点系的(总)角动量定理、质心角动量(轨道角动量)定理和相对角动量(自转角动量)定理，两个竖式分别为力矩和角动量的分解式.与式(10)不同的是，此处没有内力项.

2 例题

以常见的一道柔链题为例[1]进行分析.题目如下：

一柔链条长为L，单位长度的质量为λ，链条放在有一小孔的桌面上，一端由小孔稍伸下来，其余部分堆在小孔周围，如图1所示.由于某种扰动，链条因自身重量开始下落.求链条下落速度与落下距离之间的关系.所有摩擦不计.

图1 柔链放置图

可以看出，由于存在完全非弹性碰撞(上部的静止链条被下部的运动链条突然拉扯)，此系统机械能不守恒.文献[1]给出多种方法，此处用质心动能定理求解.

质心动能定理中的功是“质心功”，有两个要素：一是只有外力，没有内力；二是位移只是质心位移.此题中的外力是支持力和重力，其中支持力做(总)功为零，但其质心功为负(质心下移)；重力当然包括上部的重力和下部的重力，然后还要乘以(整个系统的)质心位移，故都做正功.

此题的关键是要确认：系统所受外力之和等于下部的重力.考虑一微元过程：上部相接处的一小段链条被下部拖动.此过程中，该小段与上部之间并无相互作用，只存在该小段与下部之间的拉扯，故上部所受的支持力除了抵消上部的重力外无额外的部分.于是，支持力与上部重力之和为零，二者的质心功之和为零，只剩下下部重力的质心功——下部重力(λyg)乘以整个系统质心的位移(dyC).于是，根据质心动能定理，有

(15)

容易计算出

代入式(15)，化简即得

文献[1]对此题进行了详尽的分析，给出多种解法以及一些概念辨析.可以看出，本文上述解法实质上就是文献[1]的解法三，只不过该解法在那里被误判了.