分数阶Modified Equal Width(MEW)方程的精确解

王 丹

（青岛理工大学琴岛学院，山东 青岛 266106）

分数阶微分方程是对传统整数阶微分方程的推广，在很多领域发挥着重要的作用，其精确解的研究是海洋动力学﹑物理学﹑光学及工程学等诸多学科领域的一项重要任务。鉴于非线性分数阶微分方程精确解的重要性，构造非线性分数阶微分方程的精确解的很多有效的方法应运而生，如反散射法[1]﹑Bǎ cklund变换法[2-3]﹑Darboux变换法[4]﹑Tanh函数法[5-9]及展开法等。

R.Khalil[11]等人给出了分数阶导数的新的定义，本文在此定义的基础上研究了分数阶MEW方程的精确解。

1.分数阶导数

2.分数阶MEW方程

Morrison[12]等人将如下形式的整数阶微分方程

命名为equal width方程(EWE)，该方程是一个重要的数学物理方程，其解析解引起了很多学者的关注，到目前为止，已有大量的方法如：B样条曲线法[13]﹑基于无网格核法[14]等有效的方法来求解。本文将研究分数阶modified equal width(MEW)方程：

对于方程(8)，对其积分一次，并令积分常数为零，则得如下方程：

3.分数阶MEW方程的精确解

将(12)带入到方程(10)中，并结合方程(11)的解，我们可以得到方程(6)的解析孤波解如下：

4.结论

本文通过使用变换和改进的展开法，借助符号计算软件求得了时空分数阶MEW方程的暗波解﹑周期解及其他形式的精确解，这是以往双曲正切函数有理展开法所不能的。这说明该方法在求解非线性分数阶微分方程是有效的，可以用来解决更广范的非线性偏微分方程的精确解。