正定二次型的习题课设计

尹正

摘 要：高等代数二次型理论中，正定二次型的判定是重点也是难点，不少同学解题时感到无从下手。本文就从基本概念的回顾、正定二次型与正定矩阵的性质、二次型正定及矩阵正定的判定等方面来设计正定二次型的习题课。

关键字：高等代数;二次型;正定二次型;习题课

Design of an Exercise Lesson of the Quadratic Form

of Positive Definite

Yin Zheng

Yunnan Normal University  YunnanKunming  650050

Abstract：Quadratic form of positive definite plays an important role in the teaching content of advanced algebra. It is important and difficult to determine whether a real quadratic form is positive definite or not. This paper designs exercises of quadratic form of positive definite from the aspects of concept review， properties of quadratic form of positive definite and positive definite matrix， determination of positive definite quadratic form and positive definite matrix.

Keywords：advanced algebra;quadratic form;quadratic form of positive definite

1 绪论

在正定二次型的课堂教学中，同学基本上能明白二次型、正定二次型及其与对称矩阵之间的关系，对正定二次型的各种判定方法也比较容易理解。但是，面对课后具体的各类型判定二次型正定的习题却感觉解题思路模糊，把握不了解题的关键点。因此，我们在正定二次型内容的习题课上，教师不仅要概括和复习主要的知识点，还要对解题的方法进行剖析，帮助学生理清解题思路，特别是通过典型的一题多解例子的讲解，使得学生理解不同解法之间的纵横关系，这样就可以极大地开拓学生的解题思路，掌握解题的方法，不断提高学生运用学到的知识去探究和解决问题的能力。

2 概念与结论回顾

习题课开始时，先复习和巩固二次型的相关概念、定理、化二次型为标准型的两种基本方法。教师可以借助灵活的教学手段，激发学生的学习兴趣，启发同学们积极思考、理清解题思路，把题目中的已知条件和要解决的问题之间的关系和桥梁搞清楚。下面定理1是最基础的结论之一，可以从二次型角度和对称矩阵角度来描述。

3 正定二次型、正定矩阵的判定

为了使学生更好地理解正定二次型、正定矩阵的概念，熟练掌握判定方法，习题课上应结合正定概念的核心内容精选典型例题用多种方法进行讲解，经过分组讨论等形式，让学生明白解题的分析过程和解题思路，感受各种解法之间的联系，并对二次型正定或矩阵正定的证明方法进行归纳和总结，在此基础上，鼓励学生进一步探讨和加以推广，培养数学的思维方式，不断提高解题能力。

经过上面一个典型一题多解例子的讲解，不仅使学生加深了对二次型及矩阵正定的相关概念和解题思路的理解，而且，也能归纳总结出判定二次型及矩阵正定的方法与技巧，从而达到开阔眼界、发展思维;尤其是通过分组学习、讨论，既有利于学生在主动探究和学习中达到问题的解决，也有利于学生掌握题型、开拓解题思路、熟悉解题方法。

用证法一，即二次型正定的定义和证法三，即用二次型对应的矩阵的各阶顺序主子式还可以来讨论含参数二次型的正定性，例如：

上面的例题是判定二次型或矩阵正定的几种常用的方法，下面的例题则是考察学生对正定矩阵性质的理解。

分析：由于矩阵    的元素结构没有给出，像这样的抽象矩阵无法计算出它的顺序主子式，因此，要判断其正定性，没法用其顺序主子式全大于零来判定。这类问题一般用例1的证法一或证法五，即用定义或用其特征值全大于零这两种思路来证明。而求抽象矩阵的特征值需要知道矩阵满足的一定的矩阵关系式，该题目也没有给出此类条件，因此，这类题目只能用定义来证明。

4 结语

实践证明，在正定二次型教学的习题课上，教師经过典型例题的详细分析和多种证明方法的讲解，不仅让学生掌握分析问题和解决问题的方法与技巧，而且，在参与学生分组讨论时适当地加以启发，及时发现和纠正学生分析证明思路的错误，引导学生结合所学习的证明方法进行正确的审题，抓住证明的关键点有极大的帮助;对证明二次型或矩阵正定有更好的证明思路和证明方法给予充分的肯定和鼓励，可极大地提高学生学习的兴趣和分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018：138-152.

[2]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2012：271-294.

[3]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京：高等教育出版社，2004：150-175.

[4]丘维声.数学的思维方式与创新[M].北京：北京大学出版社，2011.

基金项目：云南师范大学本科教育教学改革研究项目（YNJG 201831）;云南师范大学本科线下一流课程建设项目（2019xxkc28）