将“理”进行到底

伍优青

人教版五年级下《因数与倍数》单元探讨了2、5、3的倍数的特征。从教材中看，让学生获得2、5的倍数的特征的方法，是从百数表中先圈出2、5的倍数，再问学生发现了什么，从而给出“个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数”“个位上是0或5的数都是5的倍数”。而发现3的倍数特征，也一样是圈数，观察，得出“一个数各位上的数地和是3的倍数”。学生凭着这三点，来判断个数是不是2、3、5的倍数。

若教师反问学生“为什么2、5的倍数就只用看个位，而3的倍数就要看各位上的数字之和呢？”学生会给我们怎么样的答案？学生说不出这背后的“理”。用百数表探索2、5、3倍数的特征，是不能很好地让学生明白2、5、3倍数的特征的算理的。那么，教学中，教师要不要让学生明白这个“理” 呢？笔者认为是非常有必要的。

一、启发思维，让学生明“理”

《数学课程标准（2011版）》指出，课程内容不仅包含数学的结果，也包含数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。教学的一项重要任务就是教师应当启发学生思维、明白其中的道理，不能只是单纯地让学生记下方法，而不明它的算理。

在教材的“你知道吗？”采用举例说明地方式揭示了2、5、3倍数的特征的算理。

24=20+（4），2485=2480+（5）

也就是说，整十数一定是2或5的倍数，所以一个数是不是2或5的倍数，只要看个位就可以了。

24=2×10+4=2×（9+1）+4=2×9+（2）+（4）

2485=2×1000+4×100+8×10+5

=2×999+4×99+8×9+（2）+（4）+

（8）+ （5）

划线部分是3的倍数，剩下部分正好是这个数各位上的和，所以一个数是不是3的倍数，只需看这个数各位数上的数字之和是不是3的倍数就可以了。

探究2、5、3倍数特征的算理，通过举例子说明，学生不难理解。这样教学，学生就可以真正从意义上去理解2、5、3倍数的特征，了解知识的本质。学生不仅掌握了2、5、3倍数特征的基本知识，还进行了理性思考，理解了数学道理。

二、让学生在学习中理解运算的道理

随着年级的升高，学生的思维能力及数学表达能力越来越强。学生学到的数学技能，要在学习实践活动去展示，从而获得解决问题的成功感。甚至，有的学生会触类旁通，举一反三。

教材中有一道这样的练习：

在学生只是单纯通过百数表知道了2的倍数特征，而没有和学生探究背后的算理时，笔者让学生尝试独立完成这道题。数据统计如下：

判断一个数是不是4的倍数解题方法统计表（全班48人）

从表中可以看出，只有25%的学生是能获得正确的4的倍数特征的答案，即这个数末两位数是4的倍数，则这个数是4的倍数。而75%的学生是没有获得正确的答案的。学生只知道判断一个数是不是2的倍数，只需看个位，但学生不明白为什么只需看个位，就是不明“理”。百数表能很直观地让学生发现2的倍数特征，但是它没有让学生明白“理”。于是，学生就落入了只记住方法，而没有明白知识的本质的“坑”里。所以在研究4的倍数特征时，学生发现看个位是没有用的。那么，应该看哪一位呢？看十位也是没有用的。受思维定势的影响，学生马上失去了研究的方向。

三、在理解算理的基础上，让学生记住计算方法

在教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何计算，还要知道相应的算理。教师在进行有关计算类题目教学时，不能填鸭式地让学生记住计算的方法，而要让学生再明白计算算理的基础上去记住计算方法，知其然知所以然。2、5、3倍数特征的教学也是一样的，我们不能只让学生死记结论，还应该让学生明白算理。

当然，要找到4的倍数特征，对学生来说是一定的困难。教材也把“怎么判断一个数是不是4的倍數”定为选做题，让学有余力的学生去完成。如果我们在学生获得了2、5、3的倍数的特征的知识之后，让学生继续深入研究它们的算理。那么，学生完成这道题的难度是不是就能降低了呢？

明理而知所以然。学生通过前面的学习，研究透了2、5、3倍数的特征，把研究2、5、3倍数特征的研究思路和研究方法，迁移到研究4的倍数特征。通过思考分析，对比就能写出如下的算式：

248=200+48       247=200+47

从而探究出4的倍数特征。这样，将“理”坚持到底，不仅不会让学生觉得这道选做题难，而且会提升学生的学习兴趣，提升学生解决问题的能力。教师还可以对部分能力高、数学逻辑思维强的学生提出更高的要求，启发他们将这一推理加以推广，得出判断9的倍数，25的倍数，8与125倍数的方法。而这些学生对一个数倍数特征的深入研究和理解，是不是教师给学生提供了良好的思维飞跃的基石。让这些学生不单单是在学数学，而是在研究数学，让学生的推理能力和思维能力得到进一步的发展，就是教师在数学教育中希望看到的。

让每一个学生在学习数学知识的时候，不靠背和记，而是沉浸在“探究”知识原理的海洋里。理解知识的来龙去脉，逐步思考数学知识的内涵和本质。使每一个人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。