谈谈切线的证明方法

梁新

【摘要】广东省数学中考从2013年开始至今，连续7年中考命题的第24题都是圆的综合知识的考查。在圆的综合知识考查中，切线的证明是高频考点，也是重点考点。因此，笔者对有关切线的证明方法进行了归纳，供大家参考。

【关键词】圆;切线;证明方法

证明圆的切线，教材给出了切线的判定方法有以下三种：

1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。

2.数量法：到圆心的距离d等于半径r的直线是圆的切线，即d=r。

3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

在上面判定切线的三种方法中，常用的是后面两种，而判定定理更是重中之重。分析判定定理，不难发现定理包含两个条件：①经过半径的外端;②垂直于这条半径。因此，根据切线的判定定理，笔者将切线的证明分为两种情况：（1）当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，简单说成“直线与圆有交点：连半径，证垂直”;（2）当已知条件不确定直线与圆是否有交点时，常过圆心作直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，简单说成“不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径”。

一、直线与圆有交点：连半径，证垂直

直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”，“证垂直”时，常用的方法有：①利用圆中角的关系，借助角度转换证垂直;②根据已有的垂直关系， 利用平行证垂直;③根据已知数据，运用“勾股定理逆定理”证垂直;④借助已有的直角三角形，利用三角形全等证垂直等。

（一）利用圆中角的关系，借助角度转換证垂直

1.例题分析

例1、如图，AB是☉O的弦，D为半径OA上的一点，过点D作CD⊥OA交弦AB于点E，交☉O于点F，且CE=CB.求证：BC是☉O的切线。

分析：已知直线BC经过⊙O上的点B，因此，只需连接半径OB，证明OB⊥BC即可。

证明：连接OB

∵OB=OA，CE=CB

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=90°

∴∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

又∵OB为⊙O的半径

∴BC是⊙O的切线

2.往届中考试题解析

（2014年广东省中考第24题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长;（结果保留π）

（2）求证：OD=OE;

（3）求证：PF是⊙O的切线。

分析：（1）根据弧长计算公式进行计算即可;（2）证明△POE≌

△ADO可得DO=OE;（3）已知点P为⊙O的点，半径OP已有，因此，只需证明OP⊥PF即可，本题可以利用角的关系，借助角度转换证垂直。

【解答】（1）解：∵AC=12

∴CO=6

∴=2π

答：劣弧PC的长为2π。

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中

∴△POE≌△AOD（AAS）

∴OD=EO

（3）证明：如图，连接AP，PC

∵OA=OP

∴∠OAP=∠OPA

由（2）得OD=EO

∴∠ODE=∠OED

又∵∠AOP=∠EOD

∴∠OPA=∠ODE

∴AP∥DF

∵AC是直径

∴∠APC=90°

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF

又∵DP∥BF

∴∠ODE=∠EFC

∵∠OED=∠CEF

∴∠CEF=∠EFC

∴CE=CF

∴PC为EF的中垂线

∴∠EPQ=∠QPF

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP

∴∠QPF=∠EAP

∴∠QPF=∠OPA

∵∠OPA+∠OPC=90°

∴∠QPF+∠OPC=90°

∴OP⊥PF

又∵OP为半径

∴PF是⊙O的切线

（二）利用平行证垂直

1.例题分析

例2、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC，AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，求证：DF是☉O的切线。

分析：已知☉O与边BC交于D，可知点D在圆上，因此，只需连接半径OD，证明OD⊥DF即可，又因为DF⊥AC，所以可以利用OD//AC来证明OD⊥DF。

证明：连接OD

∵OB=OD

∴∠ODB=∠B

又∵AB=AC

∴∠C=∠B

∴∠ODB=∠C

∴OD∥AC

∵DF⊥AC

∴∠DFC=90°

∴∠ODF=∠DFC=90°

∴OD⊥DF

又∵OD为⊙O的半径