着眼数学建模 提升核心素养

姚榕添

【摘要】数学建模是高中数学问题的良好解决方案之一.随着当前教学环境的发展，对学生核心素养观念的培养越来越重要.如何基于核心素养更好地建模和解决相关数学问题是当前教学中的一个重要问题.本文就针对核心素养理念下高中数学的建模教学进行策略研究.

【关键词】高中数学建模;核心素养理念;高中数学教学

【基金项目】本文系增城区教育科学“十三五”规划2019年立项课题《基于数学建模素养培育的高中“函数及其导数的应用”教学策略研究》的研究成果：ZC2019015

数学建模是根据实际问题解决相关的数学问题，并通过实际方法构建模型处理学习中的一些问题，可以提高学生对相关数学思维方法的思考.因此，高中数学教师应该及时向学生传达一些数学建模思想，让学生利用数学模型解决实际问题.本文基于核心素养，探究如何更好地制订详细的策略，促进数学建模研究的发展.

一、构建数学模型的理论策略

按照现代高中教育数学学科教学标准，我们可以将建模教学划分为三个不同环节，分别是数学概念的构建、数学规律的探索、数学知识的论证和应用.

（一）数学概念的构建

由于高中数学建模教学的核心理念便是让学生在学习之中大胆发挥想象力进行假设，因此，第一环节的重点内容便是理解概念.教师在实际教学之中要利用建模概念，将其与练习题相互结合，促使学生对建模与练习题进行对比，引导学生从答案到假设，更好地理解概念.

（二）数学规律的探究

将理论联系实际，可以培养学生解决实际问题的能力.因此，第二阶段教学主要是引导学生通过已知条件推导事物的发展规律，同时在逻辑结合实际生活的基础上总结问题的解决规律.

（三）数学知识的论证和应用

进行结论分析和验证，不断完善建模思想.在数学建模过程中，除了提出结合实际情况的概念外，最后一步也是最重要的一步是分析和验证结论，使其在应用中得到完善.本阶段主要是培养学生对结论的验证能力，使学生不断进行思考，从而完善结论.

二、根据课程内容进行高中数学问题解决的教学设计

（一）二次函数

函数思想法是数学中的重要思想方法.在函數教学中，结合实际问题抽象出数学模型，可让学生感受运用函数概念建立模型的过程，然后应用函数性质理解和处理现实生活中的简单问题，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，理解数学本质，提高实践能力.

下面就二次函数的应用进行一些探讨与分析.

【二次函数模型】f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

在现代生活中二次函数十分常见，其属于两个变量间的实际关联，通过图像便可促使各种数学问题得到解决.

【例】某文具店有一定类型的笔记本，每天可以卖100本，每本20元.现在因为店铺装修升级，老板想提高笔记本的价格.调查发现，如果每本笔记本的价格增加2元，每天售出的笔记本数量将减少10本，如果不考虑其他因素，店主应该把价格提高到多少，才可以达到每天最大的销售额？

【问题分析】这是一个实际生活中常见的销售问题，题目中涉及销售数量、销售成本、销售价这三个量，教师在教学中可以引导学生自己整理出题目中量与量之间的关系，然后引导并帮助学生通过抽象思维将其变成数学问题.

【模型假设】通过以上可以了解到，此模型为二次函数，所以在假设环节所用模型便为二次函数.

【模型建构】设老板把价格提高到x元，销售总额为w元，

则w=x100-x-202×10，

化简，得w=-5（x-20）2+2000.

【模型求解】利用二次函数图像，可以找到其对称轴和最高点，故当x=20时，销售额最高，最大销售额为2000元.

【模型检验】通过对取值进行检验，符合实际情况，也符合问题要求.同时，这种模型可以应用于其他最优问题.

（二）分段函数

分段函数是对于自变量x的不同的取值范围有着不同的解析式.应用分段函数时需要遵守变量出现变化后的实际规则，将其变成几种问题，再分别确定每个问题中的变化规则与规律，然后把它们组合在一起，并标记好分段的自变量范围，特别是端点值.

【例】提高跨江大桥的通行能力，可以改善全市的交通状况.一般情况下，桥上的交通流速度v（单位：千米/时）是交通流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上交通流密度超过200辆/千米时，交通流速度为0千米/时;当交通流密度不超过20辆/千米时，交通流速度为60千米/时.结果表明，当20

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式;

（2）当交通流密度x为多大时，交通流量（以辆/时为单位，单位时间内通过桥上观测点的车辆数）f（x）=x·v（x）可以达到最大，请求出最大值.（精确至1辆/时）

【问题分析】引导学生先分析题目，由于题目中出现两种不同的交通流密度，因此判定此题为分段函数.

【模型假设】根据问题分析，假设模型为分段函数模型.

【模型建构】

（1）由题意，当0≤x≤20时，v（x）=60;

当20

由已知，得200a+b=0，20a+b=60，解得a=-13，b=2003.

故函数v（x）的表达式为

v（x）=60，0≤x≤20，13（200-x），20

【模型求解】

（2）综上可得f（x）=60x，0≤x≤20，13x（200-x），20

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x=20时，f（x）在区间[0，20]上取得最大值1200;

当20

所以当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值100003.

综上可得，当x=100时，f（x）在区间（0，200]上取得最大值100003，即当交通流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时.

【模型检验】对取值进行检验，符合实际情况，符合问题要求.同时，这种模型可以应用于其他分段函数问题.

（三）三角函数

建模在高中数学教学之中本就属于一种帮助学生提高解题能力，促使其掌握数学知识的有效方式，因此，本文通过建模教学中的三角函数应用，进一步探究如何在高中数学中利用三角函数开展建模教学.

【例】在生活中，我们经常遇到的一个问题是在安装电视时，如何根据电视机的大小、客厅沙发到电视墙的距离来调整电视机的高度，使人们在舒适的状态下看电视（也就是求最大的视角）.

【问题分析】这种数学问题与日常生活比较贴近，其中没有任何数学符号与数字的存在，且可能在所有家庭之中都会出现这个问题，因此，教师便可要求学生针对问题展开自行探索，通过问题之中的隐藏内容，进一步确定问题与自我认知是否相同，这样便可帮助学生快速解答数学问题.学生在解答问题时，需要先查找相关信息与资料，确定视角含义后尝试构建图1，这样便可通过图形建立数学模型.

图1

【模型假设】依据图1及问题分析，我们假设此模型为三角函数模型.

【模型建立】在建立模型时，如将P点作为眼球，其与电视墙之间的实际距离为PB，长度为x，电视顶部为A点，A点与B点之间的实际距离为a，电视底部为H点，H点与B点之间的实际距离为b，那么电视顶部和底部与眼球之间所形成的角度分别是∠APB=α，∠HPB=β，其中α>β，则α-β便是视角.

由图可知，在△APB与△HPB中，tan α=ax，tan β=bx，

可得tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=a-bx+abx.

【模型求解】因为a，b为常数，0<α-β<π2，要使α-β最大，只需要tan（α-β）最大，即x+abx最小.

利用均值不等式，可得x+abx≥2x·abx=2ab，当且仅当x=abx时取等号，即x=ab时，α-β最大，视角最大，人们观看时最舒适.

【模型检验】對取值进行检验，符合实际情况，符合问题要求.同时，这种模型可以应用于其他三角函数问题.

（四）导数

在学生对问题展开进一步了解时，需要按照问题内容与建模意识挑选最为适合的建模方式，最后通过导数求解模型便可解答问题，这样便可促使学生的数学核心素养得到提升.

【例】在做吹气球动作时，当气球内部空气逐渐增多后，气球半径扩大速度反而会变慢，站在数学角度该如何解答这种现象？

【问题分析】气球是一个近似的球体，我们可利用V（r）=43πr3这个函数帮助求解.

【模型假设】假设气球的半径r为体积V的函数，那么r（V）=33V4π.

【模型建立】由球体体积公式以及半径r为体积V的函数，得到

r（V）=33V4π.

【模型求解】

（1）当V从0增加到1时，r增加的值可以表示为r（1）-r（0），约为0.62，那么气球的平均膨胀率为r（1）-r（0）1-0，约为0.62;

（2）当V从1增加到2时，r增加的值可以表示为r（2）-r（1），约为0.16，那么气球的平均膨胀率为r（2）-r（1）2-1，约为0.16.

综上，随着气球体积逐渐增大，其平均膨胀率逐渐变小.

【模型检验】对取值进行检验，符合实际情况，符合问题要求.同时，这种模型可以应用于其他导数问题.

总之，在数学建模素养的影响下，高中数学课堂教学要有所改变，重视对学生的学习主动性和解决问题思维的指导，使他们在实践过程中提高数学建模的意识、方法、思维和能力，促进学生综合数学能力的发展.

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