多元表征下的小学数学可视化教学

仲崇梅

[摘  要] 可视化的数学教学能有效地提升学生的数学学习力。在数学教学中，教师可以借助多元表征，诸如操作性表征、工具性表征以及图形化表征，引导学生的可视化学习。可视化学习能让学生的数学学习触手可及、动态展现、有迹可循。可视化教学能让学生的数学学习真正发生、深度发生。

[关键词] 小学数学;可视化教学;多元表征

数学是一门抽象的科学，小学生的思维是以直观形象思维为主。在数学教学中，教师必须加强可视化教学，以便让抽象的数学知识直观化、形象化，让隐性的数学知识显性化，让学生不可视的思维可视化。可视化教学的手段、方式、方法是多样化的，既可以引导学生动手操作，也可以引导学生借助新媒体新技术工具，还可以借助图表、图形、图像等。通过可视化教学，能有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

一、操作性表征：让学习触“手”可及

工欲善其事，必先利其器。可视化的数学教学，可以借助出声的言语表达思维，也可以借助外显的动作表达思维。作为教师，要引导学生“既动手”“又动脑”，从而紧贴学生学习心理设计、研发教学。操作性表征，能让学生的数学学习触“手”可及，能让学生的数学学习智慧从指间上跳出来。正如陶行知先生所说，“动手又动脑，才能有创造”。操作性表征，开辟了学生用手思考问题的道路。

操作性表征，就是要让学生将数学知识“做”出来。做，从某种意义上说，是一种直接感受、体验的思维方式。一方面，操作为学生的数学思维提供了外援帮助;另一方面，思维为学生的动手做活动提供了内援支撑。通过“做数学”，不仅能让学生掌握知识，更能让学生积累数学活动经验，感悟数学思想和方法。比如教學“三角形三边关系”（苏教版四年级下册），学生借助结构化的素材——“不同规格的小棒”，拼搭三角形。在动手做的过程中，学生不仅发现了“两根小棒的长度和必须大于第三根小棒的长度，三根小棒才能围成三角形”，而且发现了围成三角形的“小秘密”，即“三根小棒要‘拱起来”。有学生在动手做的过程中，与同组的学生围成的三角形进行比较，进而发现了“三角形的稳定性”，即“三根小棒的长度确定了，三角形的形状和大小也就确定了”。由此，萌发了学生对“全等三角形”的深度探索。有学生认为，围成的两个三角形的三根小棒的长度相等，两个三角形就完全相同;有学生说，围成三角形的两根小棒的长度相等，它们的夹角相等，两个三角形也完全相同;还有学生说，围成三角形的三个角都相等，两个三角形不一定完全相同;有学生迅速补充，围成三角形的三个角相等，只要再加上一条边相等，三角形就完全相同，等等。这样的操作探索、表征，不正是“全等三角形”“相似三角形”的条件的一种主动发现、建构吗？

“动手做”不仅是一种动手能力的体现，更是思维活动方式的体验。在动手做的过程中，学生不仅能感受、体验到操作性的快乐，更能感受到思维性的快乐。教学中，教师要引导学生“做数学”，在观察、操作、实验、演示等具身性活动中，让学生研究路径显性化。直观操作有助学生思维的形成，同时思维的形成又能反哺学生操作。操作性表征，能让学生形成“做思共生”的学习样态。

二、工具性表征：让学习“动”态展现

在小学数学教学中，教师不仅可以运用传统的可视化学习工具，如粉笔、白板等，而且可以运用现代信息技术工具。现代信息技术往往集“数、形、表”于一体。充分运用现代媒体技术，能将不可视的数学知识可视化，进而能让学生对数学知识展开深入而细致的思考，获得替代性感受、体验。在“互联网+”时代，教师可以借助网络资源，包括图片、视听、动画等媒体资源，对数学知识进行模拟、演示、诠释等。通过新媒体、新技术的应用，让学生发现数学知识背后的本质，体会到数学知识是清晰的、自然的、水到渠成的。工具性表征，能让学生的数学学习“动”态展现。作为教师，要注重数学知识的本质渗透、融入，从而促进学生的数学知识理解，增强学生的数学知识应用。

比如教学“圆的周长”（苏教版五年级下册），很多教师都喜欢带上圆形物体，引导学生通过数学实验“滚圆”“绕圆”的方式或方法测量圆的周长。这样的导入方式，容易让学生滋生这样的疑问：既然我们可以通过滚圆、绕圆等多种方法去测定圆的周长，我们为什么要探究圆的周长和直径之间的关系呢？笔者在教学中，也向学生展示了圆在生活中的原型、模型等素材，但更为重要的是，笔者通过新媒体新技术，展示了一个动态的“轨迹圆”。这样的展示，生发出学生的认知冲突，即圆的周长不能依赖于实验，而必须通过实验探究周长与直径、半径的关系。在实验的过程中，学生可以借助传统工具测量圆的周长，然后借助新媒体新技术统计学生的实验数据，汇总学生的实验数据，即时显示圆的周长实验数据与直径测量数据、半径测量数据的商，等等。通过数据的即时显现，学生能够认识到圆周率是一个特殊的数，即圆周率是一个无限不循环小数。借助新媒体新技术，可以让圆周率的计算更为精确、精准。教学中，教师还可以运用多媒体技术还原展示刘徽的割圆术，从“圆的内接正六边形”到“内接正十二边形”“内接正二十四边形”等，随着分割的边数越来越多，正多边形越来越接近圆。这里，新媒体新技术能让学生直观地感受、体验到极限思想。

传统的学习工具用起来简单、直观、方便，现代的学习工具能让学生的数学学习更为精确、更为精准、更有趣味性。随着时代发展，电子化工具越来越多，从多媒体课件到微课、从Flash动画到几何画板，从手机到平板电脑等，学生的学习工具越来越丰富、越来越多元，交互性越来越强，功能越来越强大。很多原来学生无法直观感知的数学知识都可以动态地显现，很多原来看不见的学生的思维都能看到。

三、图形化表征：让学习有迹可循

在小学数学教学中，教师应充分运用图示、图式，包括思维导图、板书、表格、记录单、知识结构图等进行可视化教学。数学的知识是体系化的，既有基本的知识点、概念的教学，又有方法类型的概括。借助知识框架图，能让数学知识集结起来，建构知识块、知识串、知识群，让知识成为一种结构化的载体。正如法国数学家笛卡尔所说：“没有任何东西会比几何图形更能简单直接地引入脑海，用图形表达事物是很有帮助的。”

图形化表征，主要诉诸学生的感官，尤其是视觉感官。通过图形化表征，学生的数学学习能够有迹可循。在图形化表征中，抽象的代数问题能够几何化，复杂的数学问题能够直观化、形象化、简单化。图形化表征，能敞亮学生的数学思维，在客观的数学知识与学生的主观心智之间搭建一座桥梁，从而让隐藏在数学知识背后的数学本质、思想和方法、文化精神等都显现出来。作为教师，不仅要引导学生识图，更要引导学生制图、建图、创图，让图能归纳知识，进行知识表达。比如在学生学完了“因数和倍数”（苏教版五年级下册）这一部分内容后，教师可以通过知识结构图、框架图、思维导图等，引导学生追溯知识的源流。将本单元的相关数学概念如“因数与倍数”“2、3、5的倍数的特征”“奇数和偶数”“公因数与公倍数”“质数与合数”“互质数”“最大公因数”“最小公倍数”等相关概念融入其中，厘清概念的种属关系，把握每个数学概念的上位概念和下位概念等。通过图形化表征，相关的、相似的、相对的、相反的数学知识能够被有效地集聚，从而建构了一个数学知识结构。这样的知识结构不仅能让学生回望已有的知识，更能让学生探索未知的知识，从而为发展奠定坚实的基础。

古希腊智者派的主要代表人物普罗泰戈拉说：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需要被点燃的火把。”借助图式化表征，不仅能将抽象的数量问题具象化，让学生获得对数学知识的本质性理解，而且能让学生把握数学知识的关联，获得对数学知识的关系性理解。图形化表征，是学生可视化学习的一个重要手段、方式和方法，能开掘学生的数学学习潜质，展现学生的数学学习水平。

可视化的学习手段是学生数学学习的“路线图”，也是学生数学学习的“导航仪”，更是学生数学学习的“风向标”。借助操作性表征、工具性表征和图形化表征，能引导学生的数学认知从低阶走向高阶。当然，教学中教师也要力避学生对可视化学习工具的依赖，让学生的数学学习能超越可视化的学习工具，从而培育学生的抽象性思维。可视化的数学教学不仅能让学生的数学学习真正发生，而且能让学生的数学学习深度发生。