关于几何问题多解成因的举例探究

李通

[摘  要] 几何多解问题在初中数学十分常见，如不能把握问题的核心条件，理解多解成因很容易造成漏解或错解，因此探究几何多解的成因十分重要. 文章将深入剖析多解问题，结合实例探究多解问题的四大成因，与读者交流探讨.

[关键词] 几何;多解;成因;图形;点位置;相似

问题综述

多解是数学几何中常见的情况，即对于同一问题，在设定条件下，需要考虑问题的不同情形，对应的结论不是唯一的. 在解题时如若考虑不全面，很容易造成“漏解”，因此深入探究几何问题多解的成因十分必要. 造成几何问题多解的因素是多样的，包括因图形表述不确定、点位置不确定、特殊图形特性不明、相似三角形对应关系不明等. 对于几何多解题，可采用分类讨论的策略，解题时需要把握造成问题多解的成因，结合题意分别讨论不同情形，构建模型逐步剖析. 下面结合实例对几何多解问题的成因及构建思路进行深入剖析.

实例探究

成因一：图形表述不确定引起的多解

图形表述不确定是造成几何问题多解的重要成因，图形表述不确定有多种情形，如旋转角度不确定、平移方向不确定、图形形状不确定等. 具体解析时要根据核心条件来逐步推理，确定分类讨论的标准，从而确定具体的图像.

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC和AB的中点，现将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D′、E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长为______.

分析 本题目中以几何旋转为背景，探究旋转后线段CD′的长，核心条件是“直线D′E′经过点A”，由于没有限制旋转角度，该条件下有两种情形：情形一，点D′、E′位于点B的上方;情形二，点D′、E′位于点B的下方. 后续只需结合三点共线构建模型，然后提取图形中的特殊关系即可求解.

解 在Rt△ABC中使用勾股定理，可得AB= =2 ，由于点D、E分别是边BC和AB的中点，则DE是△ABC的中位线. 其中BD=2，BE= ，所以DE∥AC，DE= AC=1，则∠EDB=90°. 根据旋转特性可得BD′=2，D′E′=1，BE′= ，∠BD′E′=90°. 有如下两种情形.

情形一：点D′、E′位于点B的上方时，如图1所示. 由于点A、D′、E′三点共线，则∠AD′B=90°. 在Rt△AD′B中使用勾股定理，可得AD′= =4，所以AE′=5. 因为∠ABC=∠D′BE′，则∠CBD′=∠ABE′，结合 = = 可证△CBD′∽△ABE′，所以 = ，可解得CD′=2 ;

情形二：点D′、E′位于点B的下方时，如图2所示. 由于点A、D′、E′三点共线，则∠AD′B=90°，在Rt△AD′B中使用勾股定理，可得AD′= =4，所以AE′=3. 因为∠ABC=∠D′BE′，则∠CBD′=∠ABE′，结合 = = 可证△CBD′∽△ABE′，所以 = ，可解得CD′=  ;

综上可知，CD′的长为2 或  .

评析 上述几何问题中由于没有给定图形旋转的具体方向和角度，条件表述不明造成了问题多解，结合图中的共线关系，出现了两种情形，这是问题分类讨论的基础. 后续利用特殊图形、特殊关系构建思路即可完成求解.

成因二：点位置不确定引起的多解

点的位置关系是几何问题讨论的关键，位置关系将直接影响到几何图像. 若问题中点的位置不确定则可能造成问题多解，如点在线段上的位置，点在图形内外的位置等. 具体解析时可分类讨论点之间的位置关系，构建具体的问题图像，然后结合相关知识逐步剖析.

例2 在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，已知点P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为______.

分析 本题目中直接明确了点P的位置有多种情形，可位于正方形边上，也可位于对角线上，因此需要基于點P开展分类讨论，构建具体的模型. 问题的核心条件是“PD=2AP”，据此可推导出AP的长度.

解 由于四边形ABCD是正方形，则AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，AC=BD=6 . 需要讨论点P的位置.

①当点P位于AD上时，如图3所示，由于AP+PD=AD=6，PD=2AP，所以AP=2;

②当点P位于AB上时，如图4所示. 因为∠PAD=90°，则AP 2+AD 2=PD 2. 因为AD=6，PD=2AP，则AP 2+36=4AP 2，所以AP=2 ;

③当点P位于AC上时，如图5所示. 过点P作AD的垂线，设垂足为点N，则△PDN和△APN均为直角三角形，设AN=x，则DN=6-x，PN=x，由勾股定理可得AP= x，PD= .

因为PD=2AP，所以 =2 x，可解得x= -1或x=- -1（不符合题意，舍去），所以AP= x= - ;

而当点P位于正方形的其余边上或对角线上时，不存在可使PD=2AP的点.

综上可知，AP的长为2或2 或 - .

评析 上述问题中明确了点P可位于正方形的边上，也可位于对角线上，直接确定了需要分类讨论点P的位置. 而在实际讨论中排除了核心条件不成立的情形，确定点位置的三个解. 因此对于点位置讨论的几何问题，不仅要讨论全面，还要关注点位置的合理性.

成因三：特殊图形的特性反映不明引起的多解

特殊图形是几何探究的重点，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、正方形等. 若题干对特殊图形的特性反映不明很容易造成多解，如没有指明直角三角形的直角顶点、没有指明等腰三角形的腰，均会呈现三种情形. 解题时需要基于几何特性进行分类讨论，然后结合几何特性构建模型.

例3 如图6所示，已知∠MAN=90°，点C位于AM上，AC=4，点B是边AN上的一动点. 现连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直線对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E. 当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____.

分析 本题目所设条件众多，讨论△A′EF为直角三角形时AB的长，由于没有设定△A′EF的直角顶点，从而造成有∠A′EF=90°和∠A′FE=90°两种情形. 后续根据直角情形构建模型，分别探究AB的长.

解 当△A′EF为直角三角形时，有如下两种情形.

①∠A′EF=90°时，如图6所示，因为△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，则A′C=AC=4，∠ACB=∠A′CB. 又知点D和E分别是AC和BC的中点，则DE就为△ABC的中位线，则DE∥AB，可推得∠CDE=∠A′EF，进而可得AC∥A′E，所以有A′C=A′E=4. 在Rt△A′CB中，点E是斜边BC的中点，则BC=2A′E=8，由勾股定理可得AB2=BC2-AC2，则AB=4 ;

②当∠A′FE=90°时，如图7所示. 由于∠ADF=∠A=∠DFB=90°，则∠ABF=90°. 结合问题中的对称条件可得∠ABC=∠CBA′=45°，则△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC=4;

综上可知，AB的长为4 或4.

评析 上述问题中由于没有设定直角三角形的直角顶点，从而造成了多解的情形. 问题涉及三角形中位线定理、勾股定理、轴对称特性等知识，问题综合性极强，采用数形结合，合理构建模型，逐步讨论是常用的解题策略.

成因四：图形对应关系不明引起的多解

图形对应关系不明也易引起多解，最常见的有相似三角形对应关系不明，全等三角形对应关系不明. 一般情况下会出现三种对应关系，但实际解题时由于图形位置关系的影响，可能仅出现两种对应情形. 解题时同样以构图为主，然后逐步提取图像的特殊关系、特殊图形.

例4 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D、E分别在边AB、AC上. 如果D为AB中点，且△ADE与△ACB相似，那么AE的长度为______.

分析 本题目中设定点D是AB的中点，而点E可以运动，要求△ADE与△ACB相似，显然有两种对应情形：△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，后续根据对应关系来求解即可.

解 ①当△ADE∽△ABC时，如图8所示，则DE∥BC，又知点D为AB的中点，则DE是△ABC的中位线，即AE= AC=5;

②当△ADE∽△ACB时，如图9所示，此时∠AED=90°，由相似性质可得 = ，已知AD=4，AC=10，AB=8，所以AE=3.2;

综上可知，AE的长可为5或3.2.

评析 上述问题中没有设定两个三角形相似的对应关系，但设定了点D为所在边的中点，从而造成只存在两种相似情形. 后续直接利用相似特性或平行特性即可求出AE的长. 上述所涉模型实则是相似三角形的两种常见模型，即正“A字型”相似和反“A字型”相似.

总结思考

几何多解问题的解析难度较高，多解成因是初中数学探究的重点. 图像模型不明是多解问题的表象，几何特性的多样性才是多解成因的本质，如旋转过程、直角顶点、相似对应中隐含了数学的旋转三要素、直角三角形特性、相似三角形特性等. 在探究教学中要透彻分析几何的概念、定义、定理、特性，强化学生对基础知识的理解. 同时注重数学文字与图形的结合，引导学生从不同角度探究图形.

另外，教学中要注重培养学生思维的严密性和逻辑性，可从以下两个方向进行：一是演示图形变换过程，围绕设定条件开展数学建模，使学生直观了解分类讨论的根本缘由;二是变式探究，针对不同的多解成因进行变式探究，引导学生探究问题的核心条件，全面认识问题. 探究教学中要关注学生的思维活动，合理设问引导学生思考，培养学生良好的思维习惯.