构型与建模：渗透学生的模型化思想

王瑞俊

[摘  要] 数学模型的建构不仅需要量的积累，更需要型的感悟。在小学数学教学中，教师可以借助学生的经验、操作、推理、抽象等，引导学生构型建模。作为教师，要引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的全过程，才能有效地引导学生进行模型建构。通过构型建模，能引导学生感悟模的丰富、博大与深邃，进而形成对数学认知的飞跃。

[关键词] 小学数学;构型;建模;模型思想

“模型思想”是小学数学教学中最为重要的数学思想。东北师范大学史宁中教授认为，“数学的基本思想有三：抽象、推理和建模”。通过建构数学模型，引导学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用。一般而言，建构数学模型，需要经历这样的过程：对模型素材的感知，对模型素材的探究，综合并提炼出数学模型，对模型进行应用推广等。模型不仅需要素材的量的积累，更需要型的感悟。只有这样，才能引导学生感悟模的丰富、博大与深邃，进而形成对数学素材的认知的飞跃。

一、借助经验，引导学生构型建模

经验是学生建构数学模型的根基。从某种意义上说，数学模型是“现实世界中数学关系的一种精准的、有效的刻画”。小学数学中的概念、规律、定义等都可以从广义上看成是一种模型。常见的对学生有影响力的模型主要有“乘法模型”“函变模型”“分数模型”等。相对于数学知识，数学模型是更为上位的一种构造。引导学生构型建模，关键是要让这些模型获得学生经验（包括知识经验和生活经验）的支撑、支持。同样，相对于数学知识，模型的数学包摄力、应用力更强。

引导学生构型建模，首先需要教师给学生提供丰富的素材。通过丰富的素材，引导学生聚类分析。比如教学“乘法分配律”（人教版四年级下册）这部分内容，教师不能仅仅给学生提供教材中安排的单一化的素材，而必须给学生提供更为广泛的素材，包括内容的广泛和形式的广泛。如笔者在教学中，向学生提供了生活中丰富的经验化素材：学校四年级举行植树活动，四年级有男生450名，女生420名，每人植树4棵，一共能够植树多少棵？不仅如此，在解决问题的过程中，笔者引导学生将这些学生经验、生活中的数量关系内化为点子图、长方形面积图等，进而促进学生对乘法分配律的理解。由于有了经验的支持，学生能够将数量关系与几何图形的面积结合起来进行比较。借助于计算、乘法意义、几何图形面积等，引导学生自主建构乘法分配律的数学模型。如此，学生不仅能把握乘法分配律的模型的“形”，更能领悟乘法分配律的“质”。学生的数学认知就会从感性走向理性。

借助学生的生活、经验，引导学生将乘法分配律与已经学习的诸多数学知识结合起来，更让乘法分配律这一模型有效地纳入学生认知系统之中，比如“两三位数乘两位数的竖式计算”，等等。不仅如此，笔者还因势利导，引导学生从两个加数乘一个数过渡到三个加数乘一个数，进而过渡到多个加数乘一位数等。通过经验，学生获得了对乘法分配律的深度理解。

二、借助操作，引导学生构型建模

数学模型是抽象化的数学存在，但学生对数学模型的理解却应当是感性的。在数学教学中，教师要引导学生进行操作，来让学生构型建模。瑞士著名教育心理学家皮亚杰认为小学生的数学思维以直观动作、具体形象思维为主体。作为教师，要善于引导学生进行数学化操作，让学生获取数学知识，引导学生感悟数学思想，建立数学模型。在数学操作中，学生内在的数学建模能力获得外源性支撑。

比如教学“平行四边形的面积”（人教版五年级上册），笔者首先引导学生猜想：平行四边形的面积可以怎样计算？学生通过推拉长方形演变成平行四边形，以及平行四边形可以剪切为长方形，提出了两种数学猜想：一是平行四边的面积等于底乘斜边，二是平行四边形的面积等于底乘高。为此，笔者引导学生动手操作，运用数方格的方法进行验证，促成学生的自悟自得。通过验证，学生发现平行四边形的面积不等于底乘斜边，而是等于底乘高。基于此，学生展开深度思考。有学生将长方形推拉成平行四边形向极限处思考，即当平行四边形非常“倾斜”时，平行四边形近似于一条直线，也就是说平行四边形的面积近似于0。有学生通过剪拼法将平行四边形推拉成长方形，通过比较、感悟，学生自主建构出平行四边形的面积公式模型。

数学建模不仅是一种数学学习方法、策略，更是一种数学学习思想。著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”通过操作，能引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程。教学中，教师要引导学生从“境”到“型”，又要引导学生从“型”到“境”。而操作，就能引导学生在“境”和“型”之间转换。

三、借助推理，引导学生构型建模

推理是数学的基本思想，也是建构数学模型的基本方法。数学学习，就是从一些具体的材料出发，通过抽象、推理，建构数学模型。相比较于实验归纳，抽象的逻辑推理更能培养学生的数学建模能力。因为事实上，并不是每个数学模型都需要通过实验归纳形成的，有时候数学模型的建构过程就是建立在模型的相互演绎基础上的。正是在这一意义上，著名数理逻辑学家罗素说，“什么是数学？数学就是符号加逻辑”。

推理必须符合一定的逻辑，即使是直觉推理，也必须具有一定的合理性。逻辑性是推理的核心要义。借助推理引导学生进行数学建模，必须具有一定的逻辑性。比如教学“圆柱的体积”（人教版六年级下册）这部分内容，在引导学生通过动手做实验，将圆柱体的数学模型切拼成近似的长方体模型之后，笔者从不同的视角引导学生比较长方体和圆柱体。当长方体正放时，学生推理长方体底面的长相当于圆柱底面周长的一半，长方体底面的宽相当于圆柱底面的半徑，长方体的高相当于圆柱体的高，进而学生建构出这样的圆柱体体积的计算模型：V=πr2h;当长方体侧放时，学生推理长方体的底面积相当于圆柱体侧面积的一半，长方体的高相当于圆柱体的半径，进而学生建构出这样的圆柱体体积的计算模型：V=S侧÷2×r;当长方体再换方向放置，学生再次比较长方体和圆柱体，从而建构出圆柱体体积的计算模型：V=hr× ，等等。借助严密的推理，学生从不同的视角建构出不同的圆柱体体积的计算模型，这些多元化的计算模型是学生有效进行数学运用的重要载体。

推理是一种基本的数学思想和方法。学生根据长方体的体积计算公式经过演绎推理建构出圆柱体的体积计算模型的过程，既是模型的演绎推理过程，也是促进学生逻辑推理能力的发展过程。在这个过程中，学生既要观察长方体与圆柱体之间的关系、联系，又要通过等量代换逐步推理、建构出圆柱体的体积计算公式。通过推理建构数学模型，不仅有助于积累丰富的推理思考经验，同时也有助于促进学生逻辑推理能力的发展。

四、借助抽象概括，引导学生构型建模

“抽象”一词，其基本含义有抽取、排除、提纯等意思。抽象、概括是提炼数学本质属性、舍弃非本质属性的过程。抽象概括是数学的基本方法，也是数学的基本思想。借助抽象、概括，可以引导学生构型建模，助推学生形成良好的认知结构。一般的，如果一个人的抽象概括水平高，这个人的数学关键能力、必备品格、思维水平就强。相应地，这个人也应该具备良好的数学核心素养。

借助抽象概括建构数学模型，能让学生的数学学习形成质的飞跃。因为学生数学思想的领会和掌握是一个从个别、特殊走向一般，从具体走向抽象的过程。比如教学“用数对确定位置”（人教版五年级上册）这部分内容，笔者从学生的生活经验出发，创设座位图情境，引导学生用自己的方式将某些学生的位置表示出来。通过同一位置的不同表示方法，引导学生自主建构确定位置的规则。通过不同学生创设不同的确定位置的符号表示方法，确定用数对确定位置的数学规则，即“用列（从左往右数）和行（从前往后数）”，建构用数对确定位置的模型，即（x，y）。通过抽象概括，让学生对数对的认知从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级。有学生推而广之认为，如果要在空间中用数对确定点的位置，就必须用三个数来刻画了。在这里，数学模型不仅具有一种方法論的意义，更具有一种本体论的意义。在数学教学中，教师不仅要让学生建构数学模型，更要引导学生的数学应用。通过应用，深化学生对数学模型的领悟。

在发展学生核心素养的背景下，为了助推学生的模型建构，深化学生对数学模型的感悟，教师要有意识地引导学生进行模型应用。数学模型的建构不仅需要量的积累，更需要型的感悟。作为教师，要引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的全过程，才能有效地引导学生进行模型建构。在这个过程中，教师要渗透、孕育数学思想和方法，促进学生对数学思想和方法的感悟。