浅谈凑微分法的教学

黄海涛

（湖南幼儿师范高等专科学校，湖南 常德 415000）

不定积分作为微积分学最基础的内容之一，是学生今后学习其他知识的基础，是后续知识的过渡桥梁，在知识体系中有承上启下的作用。当前，高等数学的课时普遍较少，学生学习的任务繁重，部分学生没有养成良好的思维习惯等因素，导致部分学生在学习不定积分这部分知识时，感觉非常难懂、很抽象，对各种不同的计算技巧和方法感到难以掌握和灵活地运用，这在一定程度上加重了他们的学习负担，也对学生学习高等数学的积极性产生了不好的影响。针对这种现象，本文结合笔者的教学经验，对凑微分法（第一类换元积分法）的教学和使用，介绍了自己独到的理解，并结合具体实例展开分析，以期帮助学生快速地掌握凑微分法的基本思想和方法。

1 凑微分法教学中必须讲清的几个关系

1.1 原函数的概念与微分计算公式

原函数的概念是不定积分中出现的一个最基本的概念，引入这个概念并不难[2]。

定义1 设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义，若对于I上的每一点，都有

F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数。

从微分计算公式dF(x)=f(x)dx来看，从左向右是求导的过程，从右向左是凑微分的过程，也是一个积分的过程。因为这一过程并没有出现积分号，常会使学生感到困惑，所以运用凑微分法求不定积分，需要学生熟悉常用的微分式，要让学生明白，凑微分的过程就是在找原函数，此过程中已经在进行积分了。例如常见的微分式：可改写为积分式，可改写为等等。正确理解上述概念是学好凑微分法的第一步。

1.2 导数与不定积分的互逆关系

根据不定积分的定义，若F'(x)=f(x)，则有，由此可见导数与不定积分是互逆关系。要想把握不定积分的本质，必须弄清两者之间的关系。例如：

1.3 不定积分的形式不变性

对于积分基本公式，许多学生可以理解和熟记，但往往不能熟练使用，特别是对公式的变形，更是一窍不通[3]。在教学中，我们要帮助学生深刻理解积分变量的“符号”作用，中的积分变量x可以换成可导函数φ(x)，公式依然成立，变形为，更一般的，可用符号“□”去替换积分变量x，只要积分的形式一致，就可以利用基本公式进行积分。

对于公式中的变量x，不妨用符号“□”去替换，得到的形式。（其中□可以是x，可以是x2，可以是关于x的函数φ(x)，等等）

具体解题时，学生易受到思维定势的影响，总以为积分变量只能是x，其实，可以将某一个式子作为积分变量，将某一个整体看作积分变量，深刻体会不定积分的形式不变形是掌握凑微分法的关键。

2 凑微分法的解题步骤

学生在进行解题时，有时不知如何下手，教学中有必要将使用凑微分法的步骤向学生交代一下，帮助他们快速的理清思路，掌握方法。

运用凑微分法的主要步骤：

1）观察积分式，联想最接近的积分公式。

2）将被积函数中的某一部分看作积分变量，在d中凑出这个整体。

3）根据积分基本公式得到最终结果。

解 分析：（1）被积表达式中有，联想最接近的积分基本公式；（2）把x这个整体看作积分变量，在d中凑出这一整体，即；（3）积分式变为，根据不定积分形式的不变性，将x这个整体看作积分变量，即的形式，对照形式得到最终结果。

3 总结

在用凑微分法解决不定积分问题时，找到正确的“整体”作为积分变量，从而在d中凑出这个“整体”，是学生最容易出错的地方[4]。不定积分形式不变性表明，基本积分公式中的积分变量x可以换成某个函数、某个“整体”（比如x2，lnx，□，等等），公式依然成立，所以凑微分法的目的就是将所要求的积分转化为能使用基本积分公式的广义形式。学生在平时的练习中要随时注意被积函数的类型和特点，并体会积分变量的“符号”作用，从而提高用凑微分法准确、迅速求解不定积分的能力。