行之有效 有的放矢

刘辉

[摘 要] 模型思想作为一种数学思想，要真正使学生有所感悟，需要经历从简单到复杂、从具体到抽象的过程，让学生积累经验，掌握建模方法，逐步形成模型思想，发展数学思维。因此，我们必须认识模型思想的内涵和教育价值，采取有效的教学策略，让学生充分感悟模型思想。

[关键词] 小学数学;模型思想;内涵;价值;策略

课标（2011版）在课程内容部分明确提出了初步形成模型思想。模型思想是解决数学问题的有效形式，让学生经历数学模型和运用模型是解决生活中的实际问题的过程，对发展学生的逻辑思维能力、抽象能力以及应用意识都有着重要的作用。因此，教师在教学中要重视数学模型思想的渗透，帮助学生初步形成模型思想，提高数学基本素养。

一、模型思想的深刻内涵

（一）数学模型含义

数学模型是采用各种各样的数学语言来概括和描述现实世界客观事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学模型是数学抽象的产物，是从简化到抽象的结果，它不同于实际对象的本身，必须放弃实际对象质的规定性，而从数量关系上对实际对象作形式化的描述和刻画。由此可见，数学模型是概括的、近似地反映现实世界的客观事物。从广义上来说，数学模型是一个内涵比较丰富的概念，数学中的每一个概念、性质、定理、定律、法则、公式、数量关系等，都是直接或间接地以各自的现实原型为背景抽象出来的，因此，它们都可看作数学模型。从狭义的角度来看，只有反映特定问题或特定事物系统的数学结构关系，才叫作数学模型。例如，把物体平均分的数学模型是分数;366人的学校里一定有两个学生是同一天的生日，数学模型就应该是抽屉原理。

（二）数学模型思想

数学模型思想不等同于数学模型，它们是两个不同概念。所谓数学模型思想，就是将实际问题转化成数学问题，并经过对问题中的数量和其关系的构建数学模型，并通过各种方法求解、验证或拓展数学模型等活动而实现问题解决的思想。可以看出，数学模型思想不仅包括数学模型的构建，也包括使用构建出来的数学模型解决生活中的实际问题。模型思想的本质是从解决一个问题到解决一类问题的思路或方法。

二、模型思想的教育价值

数学模型作为一种最基本的数学思想，无论是对提升学生对数学的理解，还是提高学生的数学能力，特别是培养学生的解决问题的能力等都具有十分重要的教育意义。

学习数学的模型思想，能够帮助学生感知数学内部知识之间的关系、其他学科与数学的关系，现实生活与数学的联系，体会数学应用的价值，培养学生应用数学的意识和数学学习的兴趣。例如，通过数学模型“工作总量=工作效率×工作时间”的构建，有利于学生感受到乘法问题与现实生活的联系，激发学习乘法的兴趣。

学习数学模型思想的过程实际上就是让学生体验、感知数学建模的过程。在这一过程中，学生不但可以感知解决问题的过程，探索解决问题的策略、方法，还可以解决问题积累的经验，提高学生解决问题的能力。

数学模型思想让学生历经从复杂问题情境和具体事物中放弃不是本质因素，发现本质因素和数量关系，并加以概括构建抽象数学模型的过程，有助于提高学生的抽象概括能力和思维能力。

三、模型思想内容的体现

数学模型思想在小学数学学习中大量存在并被广泛运用。具体来讲，大致体现在以下六个方面。

四则运算中，如加、减、乘、除四则运算分别就是四种不同的数学模型，用符号表示是：a+b=c，c-a=b、c-b=a，ab=c，c÷a=b、c÷b=a（a≠0，b≠0）。

在加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等运算定律中，都反映了运算形式变化但运算结果不变的数学结构。因此，分别表现出五种数学模型，用字母表示分别是：a+b=b+a，a+b+c=a+（b+c），ab=ba，abc=a（bc），（a+b）c=ac+bc。

根據四则运算意义建构的基本数量关系与一些典型的现实问题结合，构建出一些典型的数学模型。如购物中的单价、数量与总价之间的关系结构：单价×数量=总价（y=ax），行程问题中速度、时间与路程之间的关系结构：速度×时间=路程（s=vt），正比例关系=k（k一定），反比例关系xy=k（k一定）等都是四则运算意义与具体情境相结合构建的典型数学模型，体现了数学模型思想。

方程也是一种数学模型。方程表示两个数学式（如两个数、量、运算等）之间的相等关系，因此，方程中不但渗透有方程思想，也蕴含着数学模型思想。

几何图形的周长、面积、体积计算公式，反映出图形周长、面积、体积分别与其图形的长、宽（或高、底面半径等）的数量关系结构，自然也是一类数学模型。

用统计图、表来描述和分析各种信息是统计的模型，用分数表示可能性的大小也是一种计算模型。

四、模型思想的教学策略

培养学生的模型思想必须从问题背景或生活中的例子出发，让学生通过各种各样的分析学习方法，用数学符号或者数学语言表达出数学模型，再运用数学模型解决一些生活中的实际问题。教师要带领学生历经建模的整个过程，帮助学生在小学阶段形成一定的模型思想。

（一）典型的素材

建立模型思想的本质就是要让学生理解和体会数学与外面世界的关系。为了实现这个目的，教师要为学生提供典型的素材。简单地说，就是提供的材料和要建立的数学模型保持高度相同，这样便于学生更好地观察现实情况，获取有用的信息，抽象出数学模型。

例如，用植树的素材讲间隔计数问题就比较恰当，因为植树的素材中清晰地蕴含着点和段，很好地体现了点和段之间的关系。教学中，可以让学生模拟植树，在操作的过程中，学生就会发现不同情况下棵数与段数之间的关系。这种舍去植树问题的一些非本质属性，形成纯数学的间隔计数问题的关系结构，并用文字语言进行表达（如下图），从而渗透模型思想。

（二）熟悉的素材

弗赖登塔尔认为，数学化的对象就是学生熟悉的现实，而不是成人熟悉的现实。因此，在教学中要尽可能选择学生熟悉的素材，帮助学生建立数学模型。

例如，建立加法运算这个模型时，教师可按顺序展示多个生活实例。

1.学生们在做千纸鹤，李明做了5只红色的，王红做了3只黄色的，两人一共做了多少只千纸鹤？

2.草地上有3只白兔，2只黑兔，一共有多少只兔？

……

这些问题都是学生熟悉的素材，在解决这类问题的时候，让学生感到不管是求“一共做了多少只千纸鹤”，还是求“一共有多少只兔”……其相同的方法都是将两部分合并起来。教师适时引导学生归纳：把两个数合并成一个数都可以用加法计算。

总之，模型思想是解决问题的脊梁。教师在教学实践中要有渗透模型思想的意识，让学生在建立数学模型的过程中，理解数学模型的价值与作用，能够解释和应用数学模型，提高创新能力和解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]王永春.小学数学与数学思想方法.[M]上海：华东师范大学出版社，2014.

[2]吴正宪，张丹.发展学生数学关键能力.[M]北京：教育科学出版社，2017.

[3]李光树.小学数学学习论.[M]北京：人民教育出版社，2014.

[4]于华静.整体把握小学数学思想方法渗透教学的实践与思考.[M]济南：山东友谊出版社，2013.

（责任编辑：朱福昌）