基于自适应模糊控制器和非线性扰动观测器的永磁直线同步电机反馈线性化控制

赵希梅,王浩林,朱文彬

(沈阳工业大学电气工程学院,辽宁沈阳 110870)

1 引言

随着日益增长的高速高精度加工需求,直线电机以结构和性能上的优势备受关注[1].永磁直线同步电机(permanent magnet linear synchronous motor,PMLSM)采用直接驱动方式,省去了中间传动环节,具有推力大,响应速度快、效率高等优点,逐步取代传统旋转电机,获得广泛应用[2–3],但为实现高精度控制,必须克服系统受到的非线性影响.

反馈线性化是近年来应用较为广泛的非线性控制方法.但当系统受非线性不确定性影响时,难以保证系统鲁棒性,因此反馈线性化控制器(feedback linearization controller,FLC)一般与其他控制器相结合来保证闭环系统的稳定性[4–5].文献[6]针对非线性系统采用基于扰动观测器(disturbance observer,DOB)的反馈线性化控制,通过DOB抑制系统扰动从而改善系统性能.文献[7]采用非线性扰动观测器(nonlinear disturbance observer,NDO)补偿系统的不确定性,但系统抗扰性能受观测器增益影响较大,极易产生较大的观测误差.模糊控制这种智能方法再应用时不需要准确的数学模型,适合非线性系统控制[8].但由经验所得的模糊规则受扰动影响较大,难以达到较高控制精度,因此仅采用模糊控制来逼近系统不确定性有较大的局限性.

通过以上分析,设计基于自适应模糊控制器(adaptive fuzzy controller,AFC)和NDO的反馈线性化位置跟踪方法,应用于PMLSM伺服系统中,确保其高精度位置跟踪.采用NDO来观测并补偿外部负载扰动、参数变化和摩擦力等不确定性,由于观测器增益较难选取,会产生较大的观测误差,因此采用AFC 来逼近NDO的观测误差,利用李雅普诺夫稳定理论推导出自适应律对模糊规则进行动态调节,增强模糊控制器的学习能力,此外,对于模糊控制产生的逼近误差,采用鲁棒补偿器进行补偿.基于数字信号处理(digital signal process,DSP)的实验结果显示该方法行之有效,可明显提高系统的位置跟踪精度和抗干扰能力.

2 PMLSM数学模型

在建立PMLSM数学模型时,采用id=0方法简化模型.电磁推力表示为

式中:Fe为电磁推力;Kf为电磁推力系数;iq为q轴电流;Pn为极对数;λPM为永磁体磁链;τp为极距.

PMLSM机械运动方程为

式中:M为动子总质量;v为动子速度;D为粘滞摩擦系数;FΣ为系统总扰动.

假设扰动不存在,即FΣ=0 时,则理想情况下PMLSM的运动方程为

假设Γ(t)有界,即µ为总不确定性的上界,为一正常数.

3 系统设计

针对系统存在的非线性因素,确保实际位置跟踪给定位置,本文设计的位置控制器主要包括了FLC、NDO、模糊控制器和鲁棒补偿器等部分.基于AFC和NDO的系统控制框图如图1所示.

图1 基于AFC和NDO的PMLSM伺服系统框图Fig.1 Block diagram of PMLSM servo system based on AFC and NDO

3.1 FLC设计

在设计FLC时,首先假设系统参数已知,不确定性可测,则由式(5)可设计反馈线性化控制律为

式中α为需要设计的控制量.

将式(7)代入式(5)得

可以看出式(8)满足线性双积分器的关系.

式中:K=[k1k2]为FLC 增益,k1和k2为正常数,将式(9)代入式(7)得FLC的控制律为

将式(10)代入式(5)得

假设选择合适的K使式(9)的特征多项式的根均严格地位于左复平面内.因此当时间t趋于无穷时,E将收敛到零,即系统可以渐近地跟踪期望轨迹.由于反馈线性化控制要求系统状态是可测,因此采用NDO来估计并补偿系统不确定性,反馈线性化控制律可改写为

3.2 NDO设计

NDO主要通过估计输出和实际输出之间的差值来调整估计值.

式(5)可改写为

NDO设计为

对z(t)求导并将式(14)代入得

由式(15)得

NDO由式(16)–(17)确定.

定义观测误差为

对eNDO求导并将式(14)代入得

对式(19)求解微分方程得

进一步可得观测误差收敛上限为

根据式(22)–(23)可得观测误差指数收敛,即

3.3 AFC设计

设计NDO时,L较难选取,在实际运行过程中易使eNDO较大,为改善控制性能,增强系统鲁棒性,采用模糊控制来补偿eNDO,同时采用自适应律对模糊规则进行动态调整,增强模糊控制器的学习能力.

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将式(25)代入式(24)可得

式中:

采用模糊控制逼近eNDO得

由于模糊控制在逼近过程中会产生逼近误差,因此,式(27)可改写为

式中ur为鲁棒补偿器,用于补偿模糊控制逼近误差.

将式(28)代入式(12)得

式中:δ为逼近误差,|δ|<φ且φ>0,Ψ∗为Ψ的最优估计值,可表示为

将式(31)(33)代入式(30)得

则式(35)可改写为矩阵形式

定义李雅普诺夫函数为

式中:P为正定对称矩阵,γ1和γ2为学习系数,且γ1>0,γ2>0.

对V求导得

式中:ATP+PA=−Q;P,Q为正定对称矩阵.

令

则∆BTPE=∆λ.式(38)可简化为

自适应律设为

鲁棒补偿器设为

将式(40)–(41)代入式(39)得

因为|δ|<φ且G为正定对称矩阵,则

因此采用AFC来补偿eNDO,使跟踪误差渐近收敛并保证系统稳定.

4 实验与结果分析

PMLSM控制系统如图2所示.PMLSM参数为:电流10 A,电压320 V,

图2 PMLSM控制系统结构图Fig.2 Structure diagram of PMLSM control system

通过不断调节参数使系统运行状态良好,FLC的参数设置为k1=5000,k2=400;DOB滤波器设置为

时间常数τ=0.01;NDO的参数设置为L=90;模糊控制输入e的隶属函数选取为

为保证系统的稳态、动态性能,多次调试将学习速率选取为γ1=200,γ2=0.5;对称正定矩阵设计为

给定幅值为10 mm,频率为0.64 Hz的正弦波输入信号来研究系统连续运动时的运行情况,在t=2 s时突加100 N的负载扰动并在2.5 s时负载扰动降为50 N.位置输入信号如图3 所示.基于DOB,NDO,AFC和NDO的反馈线性化控制的位置误差曲线、电流曲线以及电压曲线分别如图4–6所示.

图3 正弦输入信号Fig.3 Sinusoidal input signal

图4 正弦信号下基于DOB的反馈线性化控制响应曲线Fig.4 Response curves of feedback linearization control based on DOB of sinusoidal input signal

图5 正弦信号下基于NDO的反馈线性化控制响应曲线Fig.5 Response curves of feedback linearization control based on NDO of sinusoidal input signal

图6 正弦信号下基于AFC和NDO的反馈线性化控制响应曲线Fig.6 Response curves of feedback linearization control based on AFC and NDO of sinusoidal input signal

对比3种方法的位置跟踪误差曲线可以看出,图4(a)稳态误差为−3∼3µm,图5(a)稳态误差为−2∼2µm,图6(a)稳态误差为−1.5∼1.5µm.另外,在突加变负载扰动时,图4(a)的误差为16µm和−9µm,图5(a)的误差为12µm和−6.5µm,图6(a)的误差为8.5µm和−5µm,且在基于AFC和NDO的反馈线性化控制下,系统恢复到稳态的时间约为0.1 s,明显快于另两种方法的系统响应速度.因此可看出基于AFC和NDO的反馈线性化控制提高了位置跟踪精度,具有更强的抗扰性.

为进一步证明方法的有效性,对系统给定如图7所示的变幅值变周期的梯形波输入信号来研究系统点到点的运行情况,并且在t=2 s时突加100 N的负载扰动并在2.5 s时负载扰动降为50 N.3种方法下的位置误差曲线、电流曲线以及电压曲线分别如图8–10所示.由图中可看出,图8稳态误差为−4∼4µm,图9稳态误差为−2∼3µm,图10稳态误差为−1.5∼1.5µm,在突加扰动时,图8误差为20µm和−12µm,图9误差为17.5µm和−11µm,恢复时间约为0.2 s,图10误差为13µm和−7µm,恢复时间约为0.08 s.此外,为验证该方法的有效性,将其与基于自抗扰控制器的PMLSM伺服系统进行对比,在自抗扰控制下,系统的位置跟踪误差曲线如图11所示.从图11可以看出,系统的位置稳态时误差约为−2.5∼3µm,在2 s受到负载扰动时,误差突增约为17µm,其控制性能同基于NDO的反馈线性化制方法相似,尽管可以保证输出位置跟踪输入参考信号,但相较于本文采用的基于NDO和AFC的方法,精度仍有待提高.由此可见,无论是正弦波还是梯形波信号,基于AFC和NDO的反馈线性化控制通过动态逼近NDO的观测误差,有效减小了稳态误差,提高了位置跟踪精度,增强了系统的鲁棒性.

图7 梯形输入信号Fig.7 Trapezoidal input signal

图8 基于DOB的反馈线性化控制的位置跟踪误差曲线Fig.8 Position tracking error curve of feedback linearization control based on DOB

图9 基于NDO的反馈线性化控制的位置跟踪误差曲线Fig.9 Position tracking error curve of feedback linearization control based on NDO

图10 基于AFC和NDO的反馈线性化控制的位置跟踪误差曲线Fig.10 Position tracking error curve of feedback linearization control based on AFC and NDO

图11 基于自抗扰控制的位置跟踪误差曲线Fig.11 Position tracking error curve of active disturbance rejection control

5 结论

针对PMLSM存在的外部扰动、参数变化以及摩擦力等非线性不确定性,采用AFC和NDO相结合的控制方法来补偿系统不确定性,由实验结果可看出,通过引入自适应模糊控制动态调节模糊规则,逼近NDO的观测误差,有效改善了系统扰动补偿能力,提高了系统跟踪精度,增强了系统的鲁棒性.