基于定量反馈理论的时滞系统自抗扰控制参数整定

赵天烽 ,程 赟†,华 亮 ,李 海 ,陈增强

(1.南通大学电气工程学院,江苏南通 226019;2.南通市醋酸纤维有限公司,江苏南通 226008;3.南开大学人工智能学院,天津 300350)

1 引言

时滞现象广泛存在于化工、炼油、电力系统等工业过程对象中.由于时滞会引起系统相位滞后,导致闭环系统带宽减小,从而影响系统稳定性和动态特性,因此时滞系统的控制一直是具有挑战性的问题.在处理时滞问题中最常见的方法就是Smith预估器(Smith predictor,SP)[1–2],SP通过对时滞信号进行补偿,消除闭环回路中的时滞,从而改善系统性能.工业界将基于SP的比例–积分–微分(proportional-integral-derivative,PID)控制(SP–PID)作为时滞系统的标准控制方式[3].但传统SP–PID设计时需要已知系统的精确模型,当系统模型存在不确定性时,SP容易导致控制系统动态性能变差,甚至不稳定,且控制器的抗扰能力受时滞的影响较大[4].工业过程对象往往同时存在时滞,模型不确定性和外部扰动,所以设计控制器时需要同时考虑以上3方面因素.

在处理模型不确定性和外部扰动问题上,自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)技术是近年来研究的热点.ADRC由我国学者韩京清研究员首次提出[5–6],它将模型不确定性和外部扰动视作为总扰动,通过引入扩张状态观测器(extended state observer,ESO)进行实时估计并主动补偿,所以ADRC具有较强的抗扰能力.在此基础之上,美国克利夫兰州立大学的高志强教授提出线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control,LADRC)[7],并采用带宽法进行调参.这进一步简化了ADRC的设计,推进了ADRC在工业界的应用.随着研究的不断深入,已有大量文献研究了ADRC在时滞系统中的改进设计[8–15],其中将SP与ADRC相结合是当前研究的热点方向.文献[11]提出基于SP 的ADRC(SP–ADRC)控制方法,利用SP将被控对象输入输出信号同步后输入ESO,提高了ESO估计总扰动的实时性;文献[12]分析了SP–ADRC在大时滞系统中的控制性能,并给出参数整定公式;文献[13]针对具有右半平面极点的不稳定对象提出新型SP–ADRC控制策略,通过增加反馈回路使系统稳定;文献[14]将SP–ADRC等效成二自由度单位反馈模型,通过内模控制原理对控制器参数进行整定;文献[15]基于SP–ADRC,DD–ADRC和PO–ADRC三种控制结构,分析并比较了其在处理时滞和估计总扰动的能力,给出了各种方法稳定性的条件.由于受到时滞的影响,上述方法在控制器参数整定上仍存在较大难度.当系统具有较大不确定性时,难以调出兼顾稳定性与期望性能指标的合理参数.

定量反馈理论(quantitative feedback theory,QFT)是针对不确定性系统的鲁棒设计理论[16–17].QFT将系统的不确定性及预期性能指标定量表示为Nichols图中的约束边界,进而设计具有良好鲁棒性的控制器.QFT作为一种工程设计方法在航空航天领域有着广泛的应用[18–19].近年来,文献[20–21]研究利用QFT整定高阶系统ADRC控制器参数,并获得了满意的性能指标.针对带有不确定性的时滞系统,如何运用QFT指导ADRC控制器设计仍是值得研究的问题.

针对上述问题,本文首先在传统SP 结构的基础上提出改进Smith 预估器(modified smith predictor,MSP),通过在预估器中加入比例反馈来增强模型不匹配及存在外界扰动时SP的鲁棒性.本文进一步将MSP与ADRC相结合提出针对时滞系统的MSP–ADRC控制方法.其次,本文将MSP–ADRC从状态空间表达式等效为QFT框架下的二自由度单位反馈结构,通过最优参数选取准则确定MSP参数.然后,利用QFT对参数摄动范围内的所有系统进行分析研究,设计出满足期望性能的鲁棒控制器.最后,通过仿真对比实验证明MSP–ADRC相较于传统方法具有显著抗扰性能和鲁棒性.

2 线性自抗扰控制(LADRC)

2.1 LADRC的基本原理

考虑一个n阶系统,其模型表示如下:

式中:y(t),u(t)和d(t)分别是系统的输出、输入和外部扰动,b为控制信号增益,f(·)可以看作为总扰动,包含系统内部(未知动态)和外部(扰动)的不确定性.

其中xn+1(t)定义为系统的扩张状态变量.

ADRC的核心思想是估计系统总扰动f,通过设计控制律,主动补偿总扰动使系统等效为串联积分器形式进行控制.因此ESO和控制律可设计为如下形式:

z(t)为x(t)的观测值,k1,k2,···,kn为控制器增益,l1,l2,···,ln为观测器增益,¯r(t)是参考信号的扩张形式.

综上,LADRC可表示为如下状态空间形式:

其控制结构如图1所示.

图1 线性自抗扰控制结构Fig.1 Structure of LADRC

2.2 LADRC的闭环表示

对式(8)进行Laplace变换,可得

其中Z(s),U(s),Y(s)和¯R(s)分别为z(t),u(t),y(t)和¯r(t)的Laplace变换.

由式(9)可得

将式(12)代入式(10),可得

式中:

根据式(13)–(15),ADRC可等效为如图2所示二自由度单位反馈结构.图中C(s)为控制器,H(s)为前置滤波器,G(s)为被控对象,D(s)为扰动信号d(t)的Laplace变换.

图2 LADRC二自由度单位反馈结构Fig.2 Structure of 2–DOF unit feedback for LADRC

当G(s)阶次确定时,C(s)与H(s)结构随之确定,以如下一阶系统为例:

则C(s)与H(s)为

3 基于定量反馈理论的改进Smith预估自抗扰控制器

当被控对象参数具有不确定性时,Smith预估器的参数无法精确已知,且传统SP–ADRC控制方法在时滞系统中的抗扰能力较弱.本文针对上述问题提出一种改进SP结构和基于QFT的SP–ADRC控制器参数整定方法.

3.1 改进控制器设计

本文所提出的改进结构如图3所示,在传统SP中加入反馈控制器Tc,进一步加强SP的鲁棒性和抗扰能力.

图3 MSP–LADRC的控制结构Fig.3 Structure of MSP–LADRC

当SP参数与被控对象失配或存在外部扰动d(t)时,通过反馈环节Tc作用抑制SP输出与实际被控对象输出间的误差,从而减小模型失配和外部扰动的影响,提升系统的稳定性与鲁棒性.以一阶系统为例,反馈环节Tc根据最优相位裕度选择法[22],选择

3.2 控制器参数整定

针对图3控制结构,将被控对象与MSP模型作为等效被控对象,则图3可等效为二自由度结构模型,应用定量反馈理论可对其进行参数整定.整定流程具体分为两步:1)在被控对象参数摄动范围内选取最优Smith预估器参数;2)应用QFT对等效控制结构进行参数整定,具体实现如下.

3.2.1 Smith预估器参数选取

将图3所提出控制结构转换为图4所示的二自由度等效结构.

图4 MSP–LADRC等效控制结构Fig.4 Equivalent structure of MSP–LADRC

图4中:Geq为等效被控对象,Geq(s)=G(s)F(s),

图4结构可在QFT框架内实现C(s)与H(s)的参数整定,当模型参数完全匹配时F(s)=1,Q(s)=e−τs,时滞在反馈回路中被消除.当模型不匹配时,由于|Q(s)|不能保证在期望频率内幅值为1(0 dB),所以经QFT回路整形后的输出Y(s)与系统实际输出Yp(s)间会存在误差.通过选取合适SP参数保证在期望频率内|Q(s)|尽可能接近0 dB,进而保证Y(s)与Yp(s)在动态特性上接近,满足设计的性能指标.文献[23]提出了时滞参数τ的选取方法,文献[24–25]将问题扩展到SP模型的参数选取,通过最优准则选取合适的模型参数,本文将其进一步扩展到MSP模型的参数选取中,具体方法分如下两个步骤进行:

1) 选取合适参数集.

首先将系统的n个不确定性参数在取值范围内均分为γ等份,则共有nγ个备选SP模型和被控对象模型.选取其中一SP模型参数检验其是否在期望带宽频率(BW)内对于任意可能的被控对象Pj都有幅值小于md,即

式中:Pj为第j个被控对象模型,P为被控对象模型集合.若选取的SP模型参数满足上述条件,则可作为合适参数.

2) 选取最优参数.

根据步骤1)的选取方法可得到一个合适参数集合,步骤2)将在集合中选取最优参数.定量反馈理论中等效被控对象Geq在Nichols图的模板面积越小,QFT控制器越容易设计.因此在满足步骤1)SP模型集合的基础上,选取性能指标I值最小的一组参数作为SP模型参数,性能指标I可设计为

式中:T(jω)为被控对象模板,Teq(jω)为等效被控对象模板,A(·)为模板在Nichols图中面积,W(ω)为各研究频率权重,Ω为研究频率集合,n为研究频率个数.

3.2.2 基于QFT的控制器参数选取

定量反馈理论中以二自由度单位反馈为标准控制结构,通过图解的方式在Nichols图中设计出满足所需性能指标的控制器与前置滤波器.在确定SP参数的基础上采用QFT对图4控制结构中的C(s)与H(s)进行设计,从而实现ADRC的参数整定.QFT控制器设计步骤如下:

1) 模板对象定义.

在选定频率内将具有不确定性的被控对象模型在Nichols图中生成模板.模板表征对象在某一频率点处的不确定范围,映射到Nichols图中是一片对应区域,并从中选取一个模型定义为系统的标称对象.频率点选取为能够表征对象模板最大范围的频率特征点,一般根据工程实际要求确定.

2) 性能指标设计.

将闭环系统的期望性能指标转化为Nichols图中标称对象L(jω)=C(jω)Geq(jω)开环频率响应曲线的一系列约束边界,通过设计控制器调整标称对象的开环频率响应曲线以满足边界条件.通常性能指标边界包括:

鲁棒稳定边界

其中:M(jω)为闭环传递函数的幅频特性曲线,Ws为闭环谐振峰值.

系统的幅值裕度(GM)及相角裕度(PM)与Ws有如下关系:

扰动边界

其中δD为扰动模型,可以为常值或传递函数形式.

跟踪边界

式中:

Tup为跟踪上界,Tlo为跟踪下界.

3) 回路整形.

通过添加零极点、增益及积分等方式确定控制器C(s)结构,调整标称对象的开环频率曲线以满足性能指标边界要求.L(jω)在所选择的设计频率点处需要位于对应频率点处边界的上方,高频处不与鲁棒稳定边界相交.回路整形中以图解的方式确定控制器,控制器C(s)阶次由ADRC等效结构式(14)确定.

4) 前置滤波器设计.

控制器C(s)仅使得频率响应变化量小于或等于变化允许范围,但不能保证闭环频率响应满足跟踪上下边界要求,因此通过设计前置滤波器H(s)调整系统整体频率响应特性以满足闭环系统跟踪性能.前置滤波器H(s)阶次由ADRC等效结构式(15)确定.

根据上述步骤可设计满足系统性能指标要求的C(s)与H(s),根据式(14)–(15)ADRC控制器参数与对应传递函数之间的关系,可在QFT框架内实现史密斯预估自抗扰控制器的参数整定.

4 仿真实例

选取被控对象[26]

式中:K∈[8.1,9.9],T∈[2.25,2.75],τ∈[0.63,0.77].

此时MSP参数根据第3.2.1节所提出的选取准则,将K,T,τ在取值范围内均分5份,共选取125个备选MSP模型,带宽设置为2.25 rad/s,md选为4 dB.根据步骤1选出的参数集合如图5所示,进一步根据步骤2在表1所示参数选取集合中选取I值最小的MSP参数,选取

图5 备选SP模型参数集合Fig.5 Set of candidate SP model parameters

表1 SP模型参数选取集合Table 1 Set of SP model parameters selection

4.1 对象模板定义

式(31)被控对象在Nichols图中生成如图6所示对象模板,参考频率点依据文献[26]确定,选取为:ω=[0.005 0.001 0.05 0.01 0.5 0.1 1 5 10 50]rad/s.

图6 选定频率内被控系统对象模板Fig.6 Templates of controlled system at selected frequencies

4.2 性能指标设计

选取系统鲁棒稳定性边界

其中:

对应系统的幅值裕度为3.32 dB,相角裕度为26.9◦.

系统的扰动边界为

其中:

系统跟踪边界由闭环传递函数T(s)的上下界表示为

式中:

4.3 回路整形与前置滤波器设计

根据式(17)和式(18)设计控制器与前置滤波器的结构及参数,所设计系统满足复合边界及跟踪边界.控制器设计为

回路整形结果如图7所示,校正后标称对象所有频率点均位于Nichols图中对应频率点曲线上方,且高频处未与鲁棒稳定边界曲线相交.

图7 回路整形结果Fig.7 Loop shaping results

前置滤波器设计为

当控制器确定后,前置滤波器形式随之固定,此步骤用来验证系统是否满足跟踪边界指标.系统跟踪性能如图8所示,校正后输出边界位于设定跟踪边界内,符合性能指标要求.

图8 前置滤波器设计结果Fig.8 Prefilter design results

根据定量反馈理论设计的控制器与前置滤波器,对应带宽法[7]ADRC控制器参数为:ωo=4.9,ωc=2.1,b0=4.967.

4.4 仿真验证

将QFT整定后的控制系统进行仿真验证,仿真中在t=0 s加入幅值为1的阶跃信号,在t=20 s处加入幅值为−0.5的阶跃扰动.将该算法与SP–ADRC算法以及文献[26]提出的基于QFT框架的SP–PID算法进行比较.MSP–ADRC,SP–ADRC和SP–PID均采用本文第3节介绍方法整定参数.

4.4.1 模型匹配时的仿真效果

当被控对象与SP模型参数匹配时,被控量与控制量的输出如图9(a)–9(b)所示.由图9可以看出,在预估模型与实际模型完全匹配时,ADRC相较于PID调节时间略慢但超调量小,控制信号在跟踪阶段更加平稳,同时在抗扰性能上MSP–ADRC具有显著优势,相较于其他控制器具有最快的扰动恢复能力.

图9 模型参数匹配时系统阶跃响应Fig.9 Step response when model parameters are matched

4.4.2 对象参数摄动时的仿真效果

当被控对象参数在取值范围内随机摄动时,假设被控对象模型参数为K=9,T=2.5,τ=0.7,此时被控量与控制量的输出如图10(a)–10(b)所示.由图10可以看出,当模型3个参数同时随机摄动时,在跟踪性能上由于反馈环节Tc的存在,会带来一些额外振荡,跟踪性能与SP–ADRC相似但略逊于SP–PID,但抗扰性能中MSP–ADRC依旧具有明显优势.

图10 模型参数摄动时系统阶跃响应Fig.10 Step response when model parameters are perturbed

综上,改进SP结构与自抗扰控制相结合,具有良好抗扰能力,同时基于定量反馈理论进行参数调节相较于传统带宽调节的方式鲁棒性更优且可满足工程中对性能指标的实际要求,具有良好应用前景.

4.5 稳定性分析

将图3MSP–LADRC控制结构化简等效,可得如图11所示闭环结构.

图11 MSP–LADRC等效闭环结构Fig.11 Equivalent closed loop structure of MSP–LADRC

图中:

针对图11系统采用式(36)–(37)整定的控制参数进行稳定性分析.QFT中控制器基于选定离散参考频点设计,本节在满足参考频率点稳定的基础上对连续频率范围进行系统鲁棒稳定性验证.从频域的角度分析参数摄动系统是否满足鲁棒稳定性条件,结果如图12所示.图中设定鲁棒稳定边界由式(32)确定,为系统允许谐振峰值的最大值.图中黑色曲线为参数摄动范围内闭环系统幅频特性曲线的所有可能性,从图中可以看出,该控制系统满足鲁棒稳定性要求.

图12 鲁棒稳定性验证Fig.12 Verification of robust stability

4.6 鲁棒性分析

为了体现本文所提出算法在鲁棒性和抗扰能力上的优势,本节采用蒙特卡罗实验分析被控对象参数摄动时MSP–ADRC,SP–ADRC 与SP–PID 3 种方法的控制效果.评价指标包括调节时间(ts)、超调量(Mp)以及关于跟踪误差的性能指标(IAE),计算公式如下所示:

针对式(31)系统进行500次蒙特卡罗实验,仿真结果如图13–15所示.图中的实验结果数值越小,则表明系统控制效果越出色.图中各点越紧密,则表明系统对参数摄动容忍性越大,鲁棒性更优.从图中可以看出,ADRC相较于PID的鲁棒性能更优,MSP–ADRC在鲁棒性上略逊于SP–ADRC.但从性能指标比较,MSP–ADRC的调节时间、超调量和IAE指标在大部分情况下均优于SP–ADRC和SP–PID方法.综上,本文提出的改进Smith预估自抗扰控制具有较好的鲁棒性与动态响应性能.

图13 MSP–ADRC蒙特卡罗实验结果Fig.13 Results of Monte Carlo experiment for MSP–ADRC

5 结论

针对具有不确定性的时滞系统,本文提出基于改进Smith预估的自抗扰控制方法,并在定量反馈理论框架下实现控制器参数整定,整定后的控制系统满足鲁棒性和性能指标设计要求.以一阶时滞系统为例进行仿真实验,将本文提出的方法与传统Smith预估自抗扰控制以及Smith预估PID控制方法进行对比,实验结果表明本文所提出方法具有超调量小、抗扰能力优、鲁棒性强等特点.该方法为自抗扰控制在时滞系统中的应用提供了积极指导作用.

图14 SP–ADRC蒙特卡罗实验结果Fig.14 Results of Monte Carlo experiment for SP–ADRC

图15 SP–PID蒙特卡罗实验结果Fig.15 Results of Monte Carlo experiment for SP–PID