用GeoGebra软件工具绘制三维连续变化电场的等势面*

乔永海

(惠州市实验中学 广东 惠州 516008)

1 等势面的绘制方法

2 等势面的二维图

等势面在空间上是三维曲面或者平面，我们平时经常绘制的是其截面图，显示的是等势线.我们可以绘制出从等量异种电荷到等量同种电荷等势面连续变化的图像，建立不同电场的等势面的联系.再改变绘图参数，获得不同精细程度的等势面，便于做半定量的分析.

2.1 连续变化的等势面

我们首先绘制等量异种电荷的等势面，电荷量比设置为q1∶q2=5∶(-5)，然后用“滑动杆”工具连续改变q2的值，使其从-5变化到5，这样就能够得到不等量异种电荷、正点电荷、不等量同种电荷、等量同种电荷的等势面图，图形的连续变化，显示出这些图形的关联性，如图1所示.

(a)

(b)

我们可以看到，当右边电荷的电荷量连续变化时，两个电荷所在平面的等势面随之变化，变化具有一定的规律性，其动画图景能够把两个点电荷、孤立点电荷的电场统一起来.

2.2 等势面精细图的绘制和应用

在图1(电荷量比为5∶5)的基础上，通过改变等势面取值参数可以绘制出多个电荷所在空间的等势面，还可以绘制更加精细的等势面图形.图2是等量同种电荷的等势面图，这是经过科学计算获得的图形，可以用于半定量问题的分析.

图2 等量同种电荷等势面的精细图

从图2可以看出，等量同种电荷的等势面有如下特点:从外圈向内圈看，外侧的等势面是一条近似“椭圆”的曲线，再往里，“椭圆”下部开始变平，再往里，平坦部分的中间开始往上突起，直到上下等势面衔接，最后等势面分离.

【例1】正三角形AD1D2，B1为线段AD1的中点，B2为线段AD2的中点，C1为线段B1D1的中点，C2为线段B2D2的中点.在B1和B2两点所在位置分别放置两个等量的正电荷，问线段C1C2和线段D1D2上的电势是如何变化的.

图3 例1题图

我们再绘制B1B2D2D1区域内的等势面局部图形，如图4所示，可以看到，图4中的等势面1显示出“W”形状，中间有一个突起.往下的等势面中间的突起逐渐消退，等势面6显示出“平底锅”形.再往下的图线，平底开始往下凹陷，图线8显示出“V”形状.例1中，C1C2跨越“W”型曲线区，D1D2跨越“V” 型曲线区.各条等势面的电势大小关系是φ1>φ2>…>φ8，因此，线段C1C2上从左到右电势的变化是，从C1到C2电势先升高，再降低，最后又升高，线段D1D2上从左到右的电势变化是，从D1到D2电势先升高，后降低.

图4 等量同种电荷电场的局部等势面

3 等势面的三维图

两个电荷位于平面上，在平面上建立xOy坐标系，x轴为两个电荷的连线，y轴为两个电荷连线的中垂线.平面上的一个点坐标表示为(x,y)，该点有其电势值.我们用纵坐标z表示该点的电势值，在三维坐标中获得点P(x,y,z)，所有点P构成一个曲面，该曲面表征了两个电荷所在的平面上各点电势的分布.

3.1 两电荷所在平面内各点电势的三维图

我们在两电荷所在平面各点电势的分布图上绘制等势面，如图5所示.等势面变化的特点是，从外侧电势低的等势面开始，越靠近电荷电势越高，其形状像大水滴分离成小水滴的过程.该图形和地理上的等高线具有某些相似的特点，学生可以把地理上的地形知识迁移到这里，帮助理解等势面，降低理解的门槛.

图5 两电荷所在平面各点电势曲面及其等势面

3.2 两电荷连线上各点电势的图像

我们把图5的曲面视图转化为xOz平面视图，此时呈现的是三维曲面截面图，其边线和两个电荷连线的电势图线是吻合的，如图6所示.

图6 电势曲面的边线和电荷连线的电势图线吻合

连续改变右边电荷的电荷量，可以观察到图线变化的一些规律.如图7所示，可以看出，正电荷的图形好像一座直插云霄的山峰，越往上越陡；负电荷的图形像一口矿井，正电荷附近电势图线趋近于无穷大，负电荷附近电势图线趋近于无穷小.当右边电荷电荷量由正变为零的过程中，原来的“高山”逐渐变为平坦区域，如图7(b)所示，这是孤立正电荷的电势图.当右边电荷电荷量变为负值时，“高山”变平坦的区域下陷为“矿井”， 如图7(c)和(d)所示.这样连续变化的图景可以把等量同种电荷、不等量同种电荷、孤立正电荷、不等量异种电荷和等量异种电荷的电势线统一起来.

图7 不同电荷量比的电势图线的变化

【例2】两个等量异种点电荷位于x轴上，它们关于原点对称分布，能够正确描述电势随位置变化规律的是那幅图？( )

图8 例2题图

答案:A.

学生有了上述对电势的认识，首先就会排除选项B和D，因为虚线两侧的电势图像，一条线趋于无穷大，另一条线趋于无穷小，这是不存在的.选项A是等量异种电荷的图线，选项B是等量同种电荷的图线，因此选项A满足题意.这类题是传统教学的难点问题，有了以上直观的演示，很容易突破该教学难点.

4 总结

教学手段现代化是教学改革的一个重要方面.随着信息技术的发展，新的软件工具不断涌现.有一些软件工具能帮助我们解决过去教学中难以解决的实际问题.比如，为什么一定质量理想气体的等温线在不同的坐标系中有时是直线、有时是曲线？用GeoGebra 能够绘制出理想气体状态变化的PVT三维坐标曲线，在不同透视图中曲线有时显示为直线，有时显示为曲线，很好地回答了上述问题[1,2].教师要学习与教学有关的工具软件，在解决实际问题时，知道借助合适的工具，帮助我们解决问题，甚至开发出新的教学资源来，为物理教学方式的变革和教学效率的提高带来帮助.