寻本溯源，提炼数概念教学核心

汪蕾

摘 要：数概念是数学学习中的基础部分，而数概念的教学中，计数单位的教学是重要的一环。计数单位的教学关乎学生学习数的认识、数的运算等部分知识，想要让学生理解计数单位的概念，教师首先要弄清计数单位的本质。低段教学中可以利用小棒、计数器、画图等多种表征帮助学生建立计数单位的概念，高段利用计数单位的概念，将数结构化，从而推进计算教学，全面扎实掌握数概念。

关键词：数概念;数学教学;计数单位

一、低段——多元表征，感受数是“垒”起来的

学生在系统地认识数概念之前，对数的认识是松散的，他们认为一个数就是一个整体，而教师则需在教学活动中，利用多元表征帮助学生直观感受到数是由若干个不同的计数单位“垒”起来的，这一点在教材的编排中有很多体现。

（一）用小棒、图形、珠子等摆数

一年级上册《1—5的认识》，这是学生认识数的第一课，除了数的读写，最重要的学习活动是用小棒、圆片、珠子等物品摆出1—5。

以5为例：学生摆出5根小棒：│││││。学生摆出5个圆片：○○○○○。

通过摆一摆的数学活动，5被分解并直观地呈现在学生眼前，这5根小棒、5个圆片清晰地呈现出5里面有“5个一”，学生对“一”这个计数单位产生感性认识。这个阶段，摆一摆和数一数的过程都让学生模糊地感受到数是一个一个“壘”起来的。

一年级上册《6—10的认识》，本单元中安排了这样的圆点图。在一个最多可容纳10个圆点的框中，一个一个增加圆点，这是计数单位“一”不断累加，得到1个“十”的过程，是对“十”作为计数单位的有意渗透。教师应当在教学时用好这组图，帮助学生认识“十”这个计数单位。

（二）用计数器拨数

一年级上册《11—12各数的认识》，教材的安排很有梯度。例1第一次出现“一”和“十”这两个计数单位的名称，并且用“将10根散放的小棒捆成一捆”这样分步骤的呈现，展示了计数单位“一”与“十”之间的关系：10个一是1个十。“捆”在这里是十分重要的动作，后续还有将10个十捆成1个百、将10个百捆成1个千，这其中隐含的是“满十进一”的十进制思想。

例3第一次出现了计数器，将两位数的计数和记数方法进行了完整的表述。例题的图中将一捆小棒转化成十位上的一颗珠子，11的表征发生变化：1捆小棒+1根小棒→2颗珠子：十位上1颗，个位上1颗。

这里需要将两颗珠子进行对比：它们所在的位置不同，表示的意义也不同，十位上的1颗珠子代表1个十，个位上的1颗珠子代表1个一。对于一年级学生来说，他们认为的十几是一个整体，现在要一下子把一个整体调整成两个部分：“十”和“几”，学生往往不明所以。因此，教学中要实实在在地操作，将算理讲透，让学生真切地感受如此操作带来的便利，并在后续的学习中逐步感悟计数单位。

（三）在白纸上画数

一年级下册《100以内数的认识》，用小棒表征数直观具象，能够清晰地向学生展示10个十是一百的过程，容易理解。当出现计数器，数概念十分抽象，是基于学生认识计数单位十的经验上进行教学的。那么，除了摆小棒、摆圆片、拨计数器，还有没有别的方式表征100以内的数？笔者给学生布置了一个数学作业，“用你喜欢的方法画出100以内你最喜欢的数”，收到了许多作品。

类型一：画出所有的个数。如分别表示23和82，他们画出了所有的个数，但不杂乱，说明他们已经掌握了10个一是十的概念。类型二：用计数器表征。三位学生表示的分别是95、100、100，但最后一个学生在十位上画了10个珠子，说明他对“10个十是一百”这个概念还没吸收，计数单位只有一和十，还没有扩展到百。类型三：用不同图形表示不同的计数单位。如分别表示75、95、99，他们用不同长度的线段、不同大小的圆圈、不同图形区分不同的计数单位。如果学生能用这样的方式表征数，说明他们已经对计数单位有了全面认识，知道数是若干个计数单位的累加，并能进行应用。类型四：没有形成计数单位的概念。学生有以群计数的意识，但没有形成用计数单位计数的概念，可能是被教学活动中的“两个两个数”“五个五个数”等各种数法负迁移，这其中的“两个”“五个”并等同于计数单位，计数单位只在计数和计算中才有体现。部分学生已掌握了计数单位“十”，但还没有形成计数单位“百”的概念。对于这样的情况，计数单位的教学还需要加强。

二年级上册《千以内数的认识》的教学中，教师还是应当利用多元表征，帮助学生理解计数单位的概念，让学生感受到数是一个一个累加起来的，凑足10个小计数单位就能换一个更大的计数单位，如果前序的计数单位和十进教学不到位，势必影响后续小数的认识。

二、高段——逐步抽象，感受数的“结构化”

十进制使用了10个不同的数字符号，它的底数是10，特点是满十进一，按照位值原则，从右边起第一位上的计数单位是“一”，是10的0次幂;第二位上的计数单位是“一”的10倍;第三位上的计数单位是“一”的102倍……因此，任何一个十进数都可以写成各个数位上的数与它所在的计数单位（10的幂）之积的和的形式。

（一）从“结构化”的角度认数

大数的认识中，如果用小棒、小方块等物品表征数量会过于庞大，不容易观察，一般使用计数器。计数器是逻辑结构化的学具，能很好地体现位值原则，而学生的思维也具备了抽象的能力，这时候教师要引导学生从“结构化”的角度去认识数：所有的自然数都可以看成是若干个计数单位的累加组合，计数单位扩展到亿级后依然遵循这个规律。因此，如269是由2个百、6个十、9个一组合而成的。又如800502604是由8个亿、5个十万、2个千、6个百、4个一组成的。不同的组合产生不同的数，数的不同仅仅是因为每个计数单位的个数发生了变化，每个数都有其唯一性，让学生产生对数的整体结构把握的意识。

小数的计数原则跟整数一样，是十进制：10个0.001是0.01，10个0.01是0.1。有整数的学习经验，学小数比较容易。教学中教师不要过分强调生活情境，要有计数单位的适时抽象，如2.73元、2.73米的7表示什么？会有很多学生认为7表示7角、表示7分米，虽然两者的理解都对，但无论从数学知识的抽象程度，还是对学习后续知识的影响上看，教师都应当向计数单位方向引导。

课例《小数的意义》：教师由0.5元介入，引导学生思考数量间的关系，得到将1元平均分成10份，其中5份就是5 / 10元，即0.5元。

师：如果去掉单位“元”，0.5是什么意思？

生：5/10。

教师出示图片，引导学生找到0.5、0.6、0.4、0.1……

师：这样的小数都叫“一位小数”。这些小数中哪个更重要？

生：0.1，因为0.5、0.6都是由几个0.1组成的。

师：他说0.5是由0.1一个一个垒起来组成的，一起数數0.5里面有几个0.1。

生齐数：1个0.1，2个0.1，3个0.1，4个0.1，5个0.1。

师：0.5真的是由0.1垒起来的，垒了6次就是0.6，垒了4次就是0.4。你们一下子就抓住了一位小数的关键——0.1！是啊，0.1就是一位小数的计数单位。

以上课例中，教师虽然用人民币引入，但很快去掉生活情境，直接研究分数与小数之间的联系，简单又有效，之后又帮助学生快速、准确地找到一位小数的计数单位0.1，并形象地描述为一位小数都是由0.1垒起来的，抓住了问题的本质。

（二）从“结构化”的角度计算

既然所有的数是结构化的，那么数的计算也要从结构化的角度进行教学。小学阶段的计算有加减乘除四种类型，包含整数、小数、分数，但无论哪一种都是以计数单位为核心。加减法的核心是相同计数单位相加减，因此在笔算中会有“数位对齐”这个规定，这是“相同计数单位相加减”这个核心的外显。当学生理解这个核心，所有的整数、小数加减法的计算方法都能够很好地掌握。

在四年级下册《小数的加法和减法》中出现会0.32+0.2=0.34这种错误，其症结是学生将整数加减法中笔算的“数位对齐”误认为“末位对齐”，而三年级下册的《简单小数加减法》中，由于都是一位小数相加减，末位对齐的错误是隐性的，到了四年级不同位数的小数相加减时才凸显出来。所以教学中，一定要强调“相同数位相加减”这一核心。

分数加减法需要更加凸显相同分数单位相加减的核心，对于同分母分数加减法，借助图形，学生对算理还比较好理解，但在这个课时中，“相同分数单位相加减”的意识必须根深蒂固;异分母分数加减法有了前面的铺垫，教学重点就放在寻找相同分数单位上。

三、结语

理想的数学教学，应该把一个个散落的知识点按照一定的逻辑关系串成一条知识链。而认数和计算就要靠“计数单位”这条线去串联。数学教学唯有抓准了这一条条“线”，才能把知识进行有机统整，才能使学生的建构更为科学合理、学习更有效率。

（浙江省宁波市镇海区蛟川中心学校，宁波 315000）