受疾病意识影响的SIR传染病模型分析

孙雅楠，薛亚奎*，孙 松

(1.中北大学理学院，太原 030051；2.河北建筑工程学院土木工程学院，河北 张家口 075000)

近几十年来，许多传染病在不断爆发，如埃博拉、猪流感、寨卡病毒等.而在2019年末，一种名为新型冠状病毒肺炎(COVID-19)的传染病在全球首次爆发，病毒的传染性极强且当时无疫苗可用，短时间内便广为传播，多地不得不采取封城封路、停工停学的措施控制疫情.传染病严重危害人类健康，给社会造成巨大的生态、经济损失.随着科学技术、通讯软件及新闻媒体的发展，人们获取疾病信息的途径越来越多，这有利于大家及时采取保护措施，减少疾病发生.特别是疾病关切意识强的人群的行为如何影响传染病的传播，值得针对性地开展研究．

数学模型一直以来都是研究传染病动力学行为的有效工具，通过建立模型对其进行分析，可以展示疾病的发展过程，分析疾病爆发原因，从而找到有效策略进行疾病防控.多年来，人们提出许多数学模型来研究疾病意识对传染病的影响.这些模型可分为两大类:网络模型[1-2]和平均场模型[3-4].而关于疾病意识对传染病影响的方式主要分两种:1) 通过减小接触感染率和采取预防措施来体现[5];2) 通过引入独立仓室媒体区M来表示疾病信息量的变化[6].关于第2) 种影响方式，大部分相关研究均未考虑媒体报道量的常数输入率.如2015年Das等人建立的SIS传染病模型，研究了包含媒体报道的两个斑块上的随机疾病动力学行为[7].2016年王连文等研究了几类受媒体报道影响的模型[8].2018年Basir等建立的SIS模型，研究了疾病意识和时滞对传染病控制的影响[6].2020年Kumar等建立了一个由独立的速率方程建成的SVIR模型，考虑了有关疫苗接种覆盖面信息的影响[9].这些研究考虑的都是第2) 种疾病意识影响方式，但其考虑的媒体报道量的增长均仅与染病者有关．

传染病作为一种严重危害人类的疾病，尽管某段时间内未发生，但也同样需要媒体报道相关疾病信息，甚至部分关切传染病传播的个体会主动搜索查找疾病信息.因此本文建立的SIR平均场模型中，选择第2) 种疾病意识影响方式，并考虑人群中疾病信息量的常数输入，即媒体报道量的常数输入率.特别的，对大多受疾病意识影响作用较大传染病来说，个体病死率很低.因此本文针对研究疾病意识的影响效果时，与某些研究类似[5]，不考虑个体因病死亡率.其次，下文讨论的有意识个体仅代表具有传染病意识并采取保护措施的个体.在以上假设下，建立了具有一定合理性与研究价值的传染病模型，为部分传染病的防控提供了理论支撑．

1 模型建立

本文将疾病流行区的总人口N(t)分为四类:无意识易感者Sn(t)、意识易感者Sa(t)、染病者I(t)、恢复者R(t).M(t)代表媒体报道的有效信息密度.根据仓室模型思想，可建立如下常微分方程：

(1)

(2)

因系统(1)有4个方程均不含有R，化简后得系统(2).这里参数d表示人口出生率与自然死亡率，β与δβ分别代表与染病者接触后无意识易感者和有意识易感者的染率，0<δ<1表示意识易感者因采取保护措施从而减少被感染风险的百分比，α与ω分别代表个体的疾病意识获取率与失去率，γ是个体染病恢复率，c是疾病意识常数输入率，途径为电视媒体报道等.疾病意识密度受疾病影响生成率为η，疾病意识衰减率记为θ．

2 平衡点和基本再生数

易得系统(2)有唯一无病平衡点:

利用下一代矩阵法计算基本再生数R0的表达式[10]，可以得到

证明令系统(2)的方程右端均等于0，求解得

且I*为下面一元二次方程的正根，

a1I2+a2I+a3=0，

(3)

这里系数分别为

a1=βδ(d+γ)(βθ+αη)>0，

a2=(d+γ)(βδdθ+αdη+βθ(d+ω)+

βαcδ)-βδd(αη+βθ)，

a3=d(d+γ)(αc+dθ+ωθ)(1-R0).

当R0>1时，有a3<0成立.根据方程根与系数的关系可知，方程(3)有一个正根一个负根，即系统(2)存在唯一正平衡点．

3 平衡点的稳定性

定理2当R0<1时，系统(2)的无病平衡点E0在Γ内是局部渐近稳定的;当R0>1时，E0不稳定．

证明系统(2)在无病平衡点E0处的线性化系统的Jacobian矩阵为

令Φ1(λ)为J|E0的特征方程，则有

Φ1(λ)=

(αc+ωθ+dθ)(1-R0))=0.

解得J|E0的特征值为

λ4=(d+γ)(αc+ωθ+dθ)(R0-1).

当R0<1时，有λ4<0，即矩阵J|E0所有特征值均有负实部，平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0>1时，λ4>0，即J|E0有特征值为正实部，平衡点E0不稳定．

定理3当R0<1时，系统(2)的无病平衡点E0在Γ内是全局渐近稳定的．

证明构造Lyapunov函数

V1=I.

计算V1沿着系统(2)的导数，可得

定理4当R0>1时，系统(2)的地方病平衡点E*在Γ内是全局渐近稳定的．

证明构造Lyapunov函数

根据均差不等式的性质，利用一种代数方法[12]，定义函数

定义

(i=1，2，3).

即

4 R0灵敏度分析

了解参数的相对重要性有助于为资源稀缺的传染病流行区制定有效的干预策略.灵敏度分析通常用来确定模型对参数值的稳定性，因最初的疾病传播与基本再生数直接相关，因此用它来研究对R0有影响的参数，同时加入疾病意识控制，观察各参数对基本再生数的影响变化动态．

定义1[13]变量h的归一化前向灵敏度指数因参数m的不同而不同，可定义为

表1 参数描述及其灵敏度指数Tab.1 Description of parameters and their sensitivity index

可得πβ与β参数值无关.R0关于剩余参数δ，θ，ω，γ，α，c，d的灵敏度指数如下.

图1(a)说明了基本再生数对系统参数的敏感度趋势，考虑疾病意识获取率α的影响，且α∈(1，0)，从图中可得参数πβ，πω，πδ和πθ值为正，说明这些参数取值的增加会导致R0取值的相应增加，而参数πγ，πα，πd和πc值为负，表明这些参数取值的增加会导致R0取值的相应减少.πβ和πγ值不随α值而改变，说明β和γ对R0的影响不随α的改变而改变.πδ值随着α的增大而增大，说明δ取值变化对R0的影响程度在增大，而α的提高会降低δ值从而减小基本再生数.πα，πc，πθ和πω的变化趋势说明α较大时，这几类参数的取值变化对R0的影响程度不断减小.虽然图中α对R0的直接影响相对减小了，但其可以通过影响δ而更大程度减小R0.图1(b)模拟了πd的变化趋势，可看出随着α的增大，πd的绝对值先大幅度减小后缓慢增大，但当α=1时πd值仍小于α=0时的πd值，这说明α的增强可以减小参数d对R0的影响.图1(c)可看出R0随α的增大而减小，随β的增大而增大且受β影响更大，因而我们更应该提高疾病意识率，采取自我保护措施，降低个体间感染率.综上所述，提高疾病意识率不仅能直接减小疾病基本再生数R0，同时也可降低多个参数对R0的影响，这有利于更好控制疾病的爆发，从而减少疾病传播．

图1 灵敏度分析图Fig.1 Sensitivity analysis diagram

5 数值模拟和讨论

下面通过数值模拟，验证系统的无病平衡点、地方病平衡点稳定性，并通过改变疾病意识率α来模拟其对传染病的影响效果，考虑如下的情形.

前文提及参数值d=0.01，δ=0.6，γ=0.045，ω=0.2，θ=0.06，c=0.1，η=0.01.另取初始值S(0)=0.35，Sa(0)=0.15，I(0)=0.3，R(0)=0.2，M(0)=0.15.

图2模拟了无病平衡点的稳定性.(a)取β=0.03，α=0.25，此时R0≈0.4004<1，无病平衡点E0在Γ内全局渐近稳定;(b)取β=0.03，α=0.25，此时R0≈0.3587<1，无病平衡点E0在Γ内全局渐近稳定;(c)模拟了α取不同值时I(t)的变化曲线，可看出随着α的增大，疾病趋于消亡的时间也相应的缩短．

图2 无病平衡点的稳定性Fig.2 Stability of disease-free equilibrium

图3模拟了地方病平衡点的稳定性.(a)取β=0.3，α=0.25，当时R0≈4.004>1，地方病平衡点E*在Γ内全局渐近稳定;(b)取β=0.3，α=0.25，此时R0≈3.587>1，地方病平衡点E*在Γ内全局渐近稳定;(c)模拟了α取不同值时I(t)的变化曲线，可看出随着α的增大，疾病趋于稳定的时间也会相应缩短．

图3 地方病平衡点的稳定性Fig.3 Stability of endemic equilibrium

6 结论

本文根据疾病意识下传染病的传播特点，建立了一个SIR模型来研究媒体报道的疾病信息对传染病传播的影响.通过合理的假设和充分的理论证明，得到结论:1)传染病的爆发与否主要由基本再生数R0决定，当R0<1时，无平衡点E0全局渐近稳定;R0>1时，地方病平衡点E*全局渐近稳定，无病平衡点不稳定.2)提高个体疾病关切意识可以直接降低基本再生数，还可以通过减少染病率从而降低基本再生数.3)个体疾病关切意识程度越强，越能减弱其它参数对疾病基本再生数的影响.因此我们应该加大媒体等宣传途径的疾病信息宣传力度，从而增强个体自我保护意识，减少疾病传播．