有限长螺线管磁场均匀性分布的理论分析和可视化研究

周晓妍，刘世鯤，张树甜，孙 敏，陆 健，黄德财

(南京理工大学 应用物理系，江苏 南京 210094)

电磁学是“大学物理”和“大学物理实验”理工类本科生的重要教学内容之一，长直螺线管的磁场分布是其中一个重要知识点，同时，螺线管是一个重要的电子器件和装置，如继电器、转换器和回旋加速器等.在一些经典的“大学物理”的教材中，如程守洙版，张三慧版，马文蔚版，Jackson版和Halliday版[1-5]，教学安排通常是先对单个圆形载流线圈轴线上的磁场分布进行计算，然后再介绍长直密绕螺线管的磁场分布.常见介绍是忽略螺距的影响，直接给出螺线管外部磁场为零，内部磁场均匀分布，均未作详细推导.在“大学物理实验”的教学中[6]，常见的方法是测量一段有限长直载流密绕螺线管中心轴线处的磁场，对比螺线管中心和管口处的磁场大小，从而分析螺线管内部磁场的均匀分布情况.

对于单个圆形电流来说，求解其在中心轴线上的磁场的推导较为简单，但是磁场在全空间分布的解析表达的推导却相对复杂，更多的讨论和分析出现在教学研究的文献中.常见的理论分析方法有两种，一种是直接利用毕奥-萨伐尔定律，先计算单个圆形线圈上的电流元的磁场的空间分布，然后进行矢量叠加计算[7,8]；另一种是利用磁矢势概念，先求矢势，再利用矢势与磁场的关系求解磁场[9,10].对于“大学物理”的教学来说，多是面对低年级的学生，前者仅涉及到矢量叉乘和分解，被众多教学类的文献广泛采用；而后者需要利用矢势的概念，超出了教学大纲的要求.正是基于此原因，众多的文献采用的是毕奥-萨伐尔定律，进而对螺线管的磁场的空间分布展开讨论，其中，有限长直密绕螺线管受到了较多的关注，如图1所示.在实际处理过程中，基本的处理方法是在单个环形电流的磁场的基础上，进行简单的矢量分解和积分，很少有考虑线圈在缠绕过程中，线圈的螺距即线圈的疏密程度，对螺线管内外空间磁场的影响.

图1 螺线管及单匝线圈产生磁场示意图(灰色圆柱为密绕螺线管，位于z=0平面内的黑色实线表示单匝线圈，圆心与坐标原点O重合，点P为磁场中的任意点)

本文采用毕奥-萨伐尔定律，利用矢量叠加原理，推导了单个圆形载流线圈和有限长密绕螺线管的磁场的空间分布的理论公式，利用Python软件求解并绘制出了磁感应线，并对结果进行详细的讨论.

1 单个圆形载流线圈磁场的空间分布

首先，我们分析了螺线管上单匝线圈周围的磁场，如图1所示.螺线管沿z轴放置，圆心与坐标原点O重合.图1中黑色实线为特别表示位于z=0平面内的单匝线圈，线圈半径为a.本文采用的电流为I=5 A，方向由图1中箭头所指示.为方便计算，引入两个坐标变换关系式.取平面Oxz内任意一点P，其在Oxy平面上的投影点P′的坐标为(rsinθ，0)，θ∈(0，π).采用毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在点P产生的磁场为

(1)

图1中，电流元Idl与x轴的夹角为φ，因而dl=-adφ(sinφi-cosφj)，Idl到点P的距离

R′=(rsinθ-acosφ)i-asinφj+rcosθk

(2)

矢量叉乘结果为

dl×R′=arcosθ(cosφi+sinφj)dφ+

a(a-rsinθsinφ)dφk

(3)

将式(3)代入式(1)进行积分可得点P处磁场B，其在直角坐标系中x、y、z方向上的分量分别是

(4)

应用坐标变换关系式ρ=rsinθ，z=rcosθ，由式(4)可得点P处磁场B的分量表达式为

(5)

因此，圆形载流线圈在空间点P的磁场可由式(5)给出.函数奇偶性分析，关于sinφ项的积分为0，所以，载流圆线圈在空间的磁场只在Bρ和Bz上存在.应用Python软件中Matplotlib库，我们可以给出在直角坐标系下截面y=0的磁感应线分布，如图2所示.首先，载流线圈的电流分布和空间磁场分布均具有轴对称性.且线圈附近磁感应线明显比远处的密集.其次，线圈附近的磁场是闭合的，轴线位置磁场自下而上呈直线状，与教材中结果相同.

图2 单个圆形载流线圈在截面y=0的磁感应线分布图(黑粗实线为圆形载流线圈，黑细实线为磁感应线，箭头表示磁场方向)

为进一步讨论圆形线圈的磁场在空间的分布情况，图3给出了圆形载流线圈在ρ= 0处即中心轴上和z= 0平面上载流线圈径向的Bρ、Bz分布.由图3(a)可看出，对于ρ= 0的中心轴上的磁场分量Bz来说，磁场成单峰分布，磁场Bz大小等于总磁场B.类似地，图3(b)表明z= 0平面上线圈径向的磁场分量Bρ始终较小，磁场在ρ=±20 mm处存在奇点，越靠近载流线圈的导线，磁场越大；反之，磁场越小.

(a) ρ= 0即中心轴上Bρ和Bz分布

2 理想螺线管磁场的空间分布

在本文中，理想螺线管定义为线圈缠绕方向与水平方向夹角为0°且不考虑线圈导线的横向尺寸.空间中某一点的磁场是多匝圆形载流线圈在该点的磁场的矢量叠加.应用单个圆形载流线圈的表达式(5)，可得出z0处的单个圆形载流线圈在P(ρ，z)处激发的磁场表达式为

(6)

逐步增加图1中的圆形载流线圈匝数，由图4给出线圈匝数N分别为3、7、11和21情况下，磁场在ρ= 0即中心轴上和在z=0平面上载流线圈径向的Bz分布.其中，螺线管长度为L=200 mm、半径为a=20 mm，线圈等间距分布，B0为对应不同匝数时在ρ= 0、z= 0处的Bz值.本文采用无量纲化的方法，以方便对比分析数据.

由图4(a)可看出，在ρ= 0的中心轴上的磁场Bz出现明显“波浪式”起伏，在线圈所在位置的平面出现“波峰”(Bp)，在相邻线圈中心位置平面内出现“波谷”(Bt)，且“波峰”和“波谷”交处交替出现.定义在z= 0处为Bp0，其他位置处的磁场关于z= 0对称分布，“波峰”和“波谷”依次为Bp0，Bt-1，Bt1，Bp-1，Bp1，…….在匝数较少时，如3匝，分别出现3次“波峰”和2次“波谷”.随着线圈匝数的增加，会出现N次“波峰”和N-1次“波谷”，其中，N为线圈匝数.由图4(a)可看出，随着线圈匝数的增多，即线圈匝数密度增加，“波峰”和“波谷”之间的间距随之减小，曲线趋于平缓，即磁场趋向于均匀.以Bp0为单位1，具体的“波峰”和“波谷”的幅值对比，如表1所示.明显可见，对比线圈匝数为3和21的情况，21匝时的Bt1和Bp1幅值分别为0.9998和0.9995，中心轴线附近可近似看作是均匀磁场.

表1 螺线管峰值点磁场的幅值比较(z=0处的磁场Bp0=1单位磁场)

(a) ρ=0处的中心轴向上Bz分布

图4(b)给出的是磁场在z=0平面上载流线圈径向的Bz分布.可以看出，与图3(b)类似，Bz在圆形导线处存在奇点.靠近导线处的磁场较大，远离导线处的磁场较小.而且，对于螺线管内部的磁场来说，随着线圈匝数的增加，磁场逐渐趋向均匀分布.

(b) z= 0平面上载流线圈径向上Bz分布图4 螺线管磁场分布

利用Python中Matplotlib库的画图功能，图5给出的是匝数N为3、11的理想螺线管在截面y=0的磁感应线分布图.首先，与图2类似，由于螺线管的圆形电流分布具有轴对称性，磁感应线在空间的分布也具有轴对称性，且所有磁感应线都通过圆形导线圈.其次，当螺线管线圈匝数为3时，线圈之间的磁感应线存在明显的周期性“波浪式”起伏，靠近线圈处的磁感应线相对较密集，远离线圈处的磁感应线较稀疏.当线圈匝数增加为11时，磁感应线的周期性“波浪式”起伏程度减小，螺线管内磁感应线趋向于直线分布，即趋向均匀性分布.

图5 理想螺线管在截面y=0的磁感应线分布图.(图(a)、(b)中线圈匝数N分别为3和11.黑粗圈和黑细实线分别表示载流线圈和磁感应线，箭头为磁场方向)

3 密绕螺线管长度对磁场分布的影响

根据以上的理论推导和数值计算结果，可以看出，随着线圈匝数密度的增加，螺线管内部的磁场的分布趋向均匀.为进一步研究密绕螺线管长度对磁场空间分布的影响，也就是图1中灰色圆柱即密绕螺线管产生的空间磁场.图6所示为理想密绕螺线管在截面y=0示意图.螺线管长度为L、半径为a,坐标原点放置于螺线管中心，点P为空间任意一点.在螺线管上任取一段为dz′，对应线圈匝数为ndz′，该段圆形载流线圈通过的电流为Indz′，圆形线圈电流元到点P的距离为z′-z.

图6 理想密绕螺线管在截面y=0示意图

基于式(1)可以得到载流线圈电流元在点P处产生的磁场分量分别为

(7)

利用Python对式(7)进行积分，采用Matplotlib库的画图功能，图7给出的是匝数密度为n=1000m-1时，密绕理想螺线管在截面y=0的磁感线分布图.螺线管长度分别L=10(a)、80(b)、200(c)mm.首先，因为螺线管的电流分布具有轴对称性，因而磁场在空间的分布同样具有轴对称性.当螺线管长度为L=10 mm时，即较短密绕螺线管的情形.此时，磁场的空间分布类似于图2中的单个圆形载流线圈，如图7(a)所示.当增加螺线管长度时，即螺线管长度与半径的比值增大，未出现类似于图5(a)中“波浪式”形状的磁场分布，螺线管内部磁场由曲线状分布改变为直线状分布，如图7(b)和(c)所示.可以预见，螺线管无限长时，密绕螺线管内部的磁感应线为均匀直线，外部磁场区域为零，即螺线管中心轴向附近磁场可视为均匀性磁场，此时的螺线管可视为密绕螺线管.

图7 螺线管在截面y=0的磁感应线的分布图(灰色圆柱为密绕载流螺线管，黑色实线为磁感应线，箭头为磁场方向)

图8给出的是图7的中心轴上的磁场Bz的定量分布图.当螺线管长度较短时，L=10 mm，磁场成单峰状分布，对应为图7(a).当螺线管长度增加时，如L=80和200 mm，单峰的波峰宽度随螺线管长度的增加而逐渐展宽，对应为图7(b)和(c).当密绕螺线管长度为L=200 mm，在-74 mm≤z≤74 mm范围内，螺线管产生的磁场可视为均匀磁场.可以推测，当螺线管长度为无限长时，磁场主要集中分布在螺线管内部，外部磁场趋向于零.

图8 不同长度螺线管在ρ=0即中心轴线上磁场分布

4 结论

在本文中，我们基于毕奥-萨伐尔定律和矢量叠加原理，推导了单个圆形线圈和有限长密绕螺线管的磁场的空间分布的理论公式，然后，利用Python的函数积分功能，定量分析了单个线圈和螺线管磁场的空间分布特性.并且，应用Matplotlib库的画图功能，详细的对以上理论结果进行了可视化的描述.结果表明，无论是低匝数密度的螺线管还是高匝数密度螺线管，某一点的磁场近似等于z分量上的磁场.根据本文的计算结果，匝数密度n≥1000 m-1的螺线管可视为密绕螺线管，其内部分布的磁场变化范围在1%左右；螺线管越长，匝数密度越大，对应的磁场分布越均匀.当密绕螺线管长度为L=200 mm，在-74 mm≤z≤74 mm范围内的磁场可视为均匀磁场.因而，当密绕螺线管无限长时，产生的是均匀磁场，与教科书中结论一致.本文的结果，一方面有助于学生对教材中基础知识的理解和验证，另一方面，也可以用于在“大学物理”和“大学物理实验”教学过程的内容拓展，锻炼学生应用基本知识解决和分析问题能力，提高对学生创新能力的培养.