无限长密绕通电螺线管磁场简明计算

李永乐

(中国人民大学附属中学 北京 100080)

无限长密绕通电螺线管磁场简明计算

李永乐

(中国人民大学附属中学 北京 100080)

通过对称性、磁场无源特点和安培环路定理，讨论了无限长密绕通电螺线管内外的磁场简明计算方法.

通电螺线管 磁场 安培环路定理

针对无限长密绕螺线管内外的磁场已有诸多讨论[1]，本文讨论一种没有采用由载流圆线圈轴线上磁场积分的方法，论证该种螺线管只在内部产生轴向匀强磁场的合理性.

1 密绕螺线管磁场分解

为了突出螺线管磁场最典型的特点，将密绕螺线管的电流近似看作在半径为R的圆柱体上一系列的环形面电流，如图1所示，这种简化方法忽略了沿着螺线管轴向的电流.在螺线管单位长度匝数很大时，这种近似是合理的.

图1 将密绕螺线管简化为环形面电流

螺线管内外任意一点的磁场均可分解为3个方向：轴向Bz，径向Br和角向Bθ，如图2所示.螺线管无限长，由对称性可知任意位置磁场大小都与坐标z和θ无关，仅可能是r的函数：在与螺线管轴线距离r相同处，磁场各分量的大小相同.

图2 通电螺线管内外磁场的分解

2 径向磁场Br等于零

如图3所示，在螺线管内取一个同轴封闭圆柱，圆柱两个底面为S1和S2，侧面为S3.

角向磁场分量Bθ不会穿透圆柱面，轴向分量Bz在两个底面S1和S2处穿透柱面；径向磁场Br在圆柱侧面上穿透圆柱面.根据麦克斯韦方程组

∬Bz·dS1+∬Bz·dS2+∬Br·dS3=0

(1)

图3 在螺线管内部取封闭圆柱

由于Bz场在S1和S2处完全相同，故

∬Bz·dS1+∬Bz·dS2=0

(2)

这里Br与圆柱侧面处处垂直，且大小固定

∬Br·dS3=BrS3

(3)

将式(2)、(3)代入式(1)，得到Br=0.

由于圆柱面半径可任意选取，因此螺线管内部径向磁场处处为零.

求解螺线管外部磁场时，只需将封闭圆柱面半径取得超过螺线管大小，则可以得出相同的结果：螺线管外部径向磁场处处为零.

3 角向磁场Bθ等于零

在螺线管内部取如图4所示与螺线管同心的封闭圆形曲线C1，C1并未包围任何电流，沿C1列安培环路定理.

∮B·dl=∮Bθ·dl=0

(4)

图4 在螺线管内外取同心圆环

在圆环C1上各处Bθ沿着曲线且大小处处相等，∮Bθ·dl=Bθ×2πr=0，因此Bθ=0.

由于圆环半径r可以任意选取，故螺线管内部磁场的角向分量处处为零.

如图4所示取大于螺线管的的封闭圆圈C2，对C2列安培环路定理，同理可得螺线管外部磁场角向分量处处为零.

4 轴向磁场Bz匀强

如图5所示，在螺线管内部取矩形回路ABCD，其中AD和BC沿着径向.设AB处轴向磁场为Bz1，CD处轴向磁场为Bz2，由于回路并未包围任何电流，在回路上列安培环路定理

(5)

图5 在螺线管内外取矩形回路

由Br=0, 有

(6)

设AB=CD=L，并设Bz向右为正，则

(7)

将式(6)、(7)代入式(5)得到

∮B·dl=(Bz1-Bz2)L=0

因此

Bz1=Bz2

由于ABCD可以任取，因此螺线管内部磁场的轴向分量Bz处处相同.

在螺线管外部，可同理取闭合矩形A′B′C′D′，同样得到Bz处处相同.

5 螺线管外部磁场为零

如图6所示，取垂直于螺线管轴线的无限大平面，平面在螺线管内部面积S1，在螺线管外部面积S2.由于磁场的无源性质，穿过该无限大平面的磁通量为零φ=0，即内部向右穿过S1的磁感线，必然通过外部S2穿回平面左侧.

图6 取垂直轴线的无限大平面

由于螺线管内外都是轴向匀强磁场，有

φ=B内S1-Bz外S2=0

式中S1为有限值，而S2为无穷大，故

即无限长螺线管外部磁场处处为零.

6 螺线管内部磁感应强度B=μ0nI

如图7所示，取一边在螺线管内，一边在螺线管外的矩形闭合回路ABCD，AD和BC沿着螺线管径向，AB和CD平行轴线.设AB=CD=L，每一匝电流为I0，单位长度匝数为n，则回路包围的电流I=nLI0.

图7 取一边在内一边在外的矩形回路

因螺线管只在内部产生轴向匀强磁场，由安培环路定理

可得

B内=μ0nI0

7 结束语

本文首先将无限长密绕螺线管的磁场分解，并讨论出螺线管内外的径向、角向磁场都为零，轴向磁场都均匀，再通过磁场无源性质讨论出螺线管外部磁场为零.最后根据安培环路定理得出螺线管内部磁场的表达式.讨论过程没有采用由载流圆线圈轴线上磁场积分的方法，更容易被初学者接受.

1 刘国良. 无限长密绕载流螺线管中磁场分布教学的不同设计. 物理通报, 2016(5):9～11

2017-04-02)