通电螺线管的磁场分布

张美霞，刘忠源

(辽宁大学 物理学院，辽宁 沈阳 110036)

0 引言

通电螺线管这一装置在工程中较为常用，然而，此装置在空间任一点的磁场强度的计算非常复杂，不易阐明，一些教材和文献中只给出了在轴线上的磁场分布的表达式或者是任意一点表达式的近似形式[1-4].苏安[5]用矢势法和磁标势法从理论上给出了空间任意点的磁场表达式，王慧娟[6]采用COMSOL Multiphysics仿真软件模拟了通电螺线管空间磁场分布.莫云飞等[7-9]采用不同的理论方法推导了通电螺线管激发的磁场中任意位置的磁感应强度，并将结果绘制成图像.从结果上看，结论基本上是一致的.本文从毕奥-萨伐尔定律出发，尽可能具体地给出它们的推导过程和表达式，并应用MATLAB从不同角度进行绘图、讨论.与前几位作者相比，虽然理论方法不同，但是结论还是具有一致性.

1 有限长通电螺线管周围磁场分布的讨论

对于单位长度上线匝数为n的通电螺线管而言，将螺线管的中心轴线置于z轴，则空间某一位置场强各个方向的分量可以由毕奥-萨伐尔定律表示为

(1)

(2)

(3)

Bx1、By1、Bz1是磁场在该点的三个方向的分量.显然，根据对称性By1=0依然成立.下面对Bx1、Bz1的不同情况进行讨论.

(4)

(5)

对式(4)进行积分，

可以得到：

(6)

图1为通电螺线管磁场沿x方向分量随空间位置的变化关系.由此可以看出，在螺线管边缘，磁场的强度迅速增大，达到峰值.图2说明，在一定范围，随着x值的增大，z方向磁场强度变化越显著.图3展示了不同长度螺线管Bx强度沿z轴的变化情况.我们可以看到，螺线管长度增长Bx分布未必变得更加稳定，如x=0.4和x=0.1时c=1的螺线管在内部的变化率反而要比c=0.1的大.这一情况还值得我们进一步讨论.

图1 通电螺线管在x轴方向磁感应强度的分布

图2 固定螺线管长度不同x值下Bx强度沿z轴变化情况

图3 不同长度螺线管Bx的强度变化情况

距离与螺线管中心轴线分别为0.1、0.4、1.0、1.2 cm时，不同c值下磁感应强度Bx沿z轴分布如图3所示(c为螺线管的长度与半径R的比值).下面对式(5)进行讨论.

经过第一步化简可以得到：

根据前面的方法，可得出：

这个积分可以分为两部分，

(7)

(8)

式(7)积分结果为

式(8)积分结果为

类似地，最后一项积分结果为

因此积分值等于

图4 通电螺线管在z轴方向磁感应强度的分布图5 固定螺线管长度不同x值下Bz强度沿z轴变化情况

与螺线管中心轴线距离分别取x=1.2、1.0、0.4、0.1 cm时，不同c值下磁感应强度Bz分布如图6所示.计算螺线管长度与半径比值分别为c=1和c=2两种情况下，磁感应强度方向在空间的分布如图7所示.图4直观地展示了通电螺线管在z轴方向磁感应强度的分布.在x=±1时，在中心出现了两个小的峰值，而不是一个大的凸起.这是因为通电圆环就相当于c趋近于0的情形，这时两个峰值应当重合，等效为一个大的凸起.图5我们可以很好地观察到随着螺线管长度的增加，Bz沿着轴线方向的强度也增大.由于螺线管长度c从0.1到10的增长的过程，事实上就是一个从通电圆环向通电螺线管过渡的过程.由图6可知，当c=0.1时，在z=0(或a=0)的附近出现了一个峰值，这说明通电螺线管的相对长度(与半径R的比值)趋近于0的时候，我们可以把它当作通电圆环进行计算.而即使绝对长度相当大但是相对长度比较小，近似时会产生较大的误差.另外我们还发现，随着螺线管长度的增加，在z轴方向的大部分位置磁场Bz的强度并不大.不过在接近螺线管两端的时候会产生“边缘效应”，有的位置磁场迅速减小，有的先减小再急速增大.由图7我们可以看到，在通电螺线管的作用下，周围磁场的分布变得更加有序.不过在进入螺管的过程中，磁感线会出现部分接近90°的转向.随着螺线管的增长，这种区域更接近于两侧，这进一步说明了增强螺线管的长度对于获得匀强磁场的重要性.

图6 不同长度螺线管Bz的强度变化情况

图7 通电螺线管磁场周围方向

2 总结

本文运用毕奥-萨伐尔定律研究了通电螺线管周围的磁场分布，并利用计算机对其进行绘图处理，更加细致地对这个经典模型进行探究.不过即使这样，我们依然没有完全接近于真实.一方面由于现实生活中使用的并非严格意义上的通电螺线管，而是螺旋线围绕而成的，对称性不够严格；另外一方面，对通电螺线管进行数学计算时假定电流是连续的，而事实上无法达到.另外，为了增强磁性我们常常在螺线管中加入软铁棒等磁介质，实际上还有很多可以优化的地方需要去完善.