物理摆系统大摆角运动的阻尼研究

康秀英

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

物理摆运动结构在日常生活和工业生产中普遍存在，在大学物理教学中，物理摆也常常作为一类拓展项目，来训练学生进行独立科研能力[1-3].与简谐振动这样的线性系统不同，当物理摆大角度摆动时，恢复力与位移并不成正比，属于非线性物理系统，例如其运动周期与摆幅明显存在着依赖关系，并且在足够大的摆幅下存在相对普通振动而言更为复杂的运动模式.另一方面，利用经典力学的基本定律可以对物理摆的动力学进行分析，并利用数值积分进行计算，从而探知物理摆系统的内部规律.物理摆系统尽管是一常规研究课题，但在探讨摆运动的阻尼方面还有待作进一步深入研究.

本文借助于PASCO实验系统平台，利用其所属的转动传感器可以测得物理摆系统的瞬时运动过程和机械能变化，并根据相应理论在Matlab中建立了一套模拟物理摆运动的模型用以进行数值模拟计算，模拟结果与实验对照给出系统的阻尼参数.

1 考虑轴承摩擦和空气阻力时物理摆运动方程

物理摆如图1所示.在不考虑阻尼的情况下，根据刚体转动定律，物理摆的运动方程为

图1 物理摆示意图

(1)

其中θ为摆角，m为系统质量，g为重力加速度，L为质心到转轴距离，J为刚体转动惯量.

式(1)中，当θ→0时，sinθ≈θ，此时的运动模式简化为简谐振动，振动周期为

(2)

(3)

设初始摆动幅度为θ0，可以得到摆幅θ0对应的物理摆周期与T0之间的比值为[4]

(4)

由于未考虑能量耗散，可以看出:θ0→π,T(θ0)→∞.而且摆幅越小，周期就越接近于小角度下的类简谐运动的周期.

本文所用的PASCO实验系统中，物理摆与转动中心通过轴承连接，如图2所示.系统中能量耗散主要来源于轴承转动产生的摩擦力以及摆动过程中的空气黏滞阻力.

图2 物理摆受力分析

假设在摆动过程中，轴承的压力与摩擦阻尼成正比，即

F=Nf

(5)

其中N是对轴承施加的压力，f为轴承转动摩擦系数，黏滞阻力与速度平方成正比，即

(6)

这里C为空气阻力系数，ρ为空气密度，S为物体迎风面积，v为物体与空气的相对运动速度，此时式(1)变为

(7)

其中r为物理摆轴承半径，M(F′)是F′对轴承的阻力矩大小.式(7)等号右边的第二项为摩擦力矩，第三项为空气黏滞阻力矩，方向都与摆动方向相反.

为了求解式(7)，需要给出压力N的表达式，为此，对物理摆系统应用质心运动定理[5]:

(8)

(9)

根据式(5)、(8)和(9)可得

(10)

2 PASCO实验系统

本研究实验部分使用PASCOScientific生产的实验系统平台，其中主要部件是一个转动传感器，如图3所示，它可直接测量随时间变化的转角信息，同时计算出角速度、角加速度、机械能等相关物理量的动态变化.图中传感器的转轴就是物理摆的转动轴.

图3 PASCO实验系统装置图

对于由细杆和作为配重的金属块组成的物理摆，根据式(6)，其空气黏滞阻力和阻力矩可以近似计算为

(11)

(12)

3 实验结果

本物理摆系统的仪器参数如下(如图3)：摆细圆杆：长l=35.6 cm，质量为26.2 g，直径a=8.10 mm，转轴位于其中一端；配重金属块：高2.0 cm，直径2.0 cm，质量75.4 g，位于摆的末端；轴承直径2r=5.3 mm.模拟中，取空气密度为1.293 kg/m3.

3.1 不同初始摆角物理摆的周期

图4 物理摆的周期随初始摆角的变化

3.2 物理摆系统轴承处摩擦系数的确定

物理摆系统中的阻力主要来源于轴承转动产生的摩擦力以及摆动过程中的空气黏滞阻力.当摆角不大时，摆的运动速度较小，摩擦力占主要因素，可以不考虑黏滞阻力的影响(即在Matlab程序中设空气阻力系数C= 0).因此通过PASCO系统测得的摆角随时间的变化关系，与Matlab数值模型结果对比，可以模拟出物理摆系统的摩擦系数的参考值.模拟中，取初始摆角θ0=10°，在Matlab模型中调节摩擦系数f的值，找到实验测得值误差最小时f值，如图5，即实验中PASCO系统轴承摩擦系数的参考值.

图5 θ0=10°时摆角随时间的变化

本研究中数值模拟的摩擦系数为f= 0.025,将此结果分别应用于同一物理摆不同初始摆角的情况，θ0=30°、90°、160°，结果如图6所示.

图6 仅计摩擦θ0=30°、90°、160°时摆角随时间的变化

随着初始摆角的增大，摆动的速度加快，空气黏滞阻力逐渐增大，而摩擦阻力几乎不变，图6可以看出，实验结果衰减明显比计算得到的要快，因此需要进一步考虑黏滞阻力的影响.

3.3 空气黏滞阻力系数的确定

同样计入空气黏滞阻力的影响，即在Matlab模型中调节式(6)中的参数C，摩擦系数仍然f=0.025，对比PASCO系统测得的摆角随时间的变化关系，给出误差最小时C的参考值.模拟得到空气阻力系数为C=0.68，实验和模拟结果的对比如图7所示.对比图7和图6(b)—(c)，明显看出加入黏滞阻力，拟合结果得到明显地改善.查资料显示[6]，圆柱体空气阻力系数为0.73.由于空气阻力系数与实验中物体的形状有关，且受环境影响，因此数值分布有一定范围,本模拟中得出的值符合常规范围.

图7 计入摩擦和空气阻力θ0=90°、160°时摆角随时间的变化

3.4 物理摆系统机械能损耗

下面考察物理摆系统机械能在大摆角摆动过程中的衰减情况.为此，改变物理摆系统的配重，即增加金属块，块数分别为0、1、2、3个，(配重0个意味只有细杆，如图3)，利用PASCO系统给出的机械能随时间的变化，与摩擦系数f=0.025和空气阻力系数C=0.68时Matlab数值模拟的结果进行对比，如图8所示，从而验证本文结论的正确性.模拟中对于不同配重的摆，需要微调迎风面积.

图8显示，实验和模拟结果相一致，验证本文的理论模型正确可行，完全适用于分析本研究所用的物理摆系统的能量耗散.

图8 不同配重时物理摆系统的机械能随时间变化

4 结论

本文使用PASCO实验平台的转动传感器自动采集功能，探究了物理摆在大摆角情况下的非线性动力过程，考虑摩擦阻力和空气阻力引起的摆的能量耗散，研究了不同初始摆角和不同配重的物理摆的摆角和机械能随时间的衰减过程，并利用matlab进行了数值模拟，对比实验和模拟结果，给出了本物理摆系统转轴的摩擦系数为0.025，当取摆杆的圆柱表面面积的一半近似为式(6)中的迎风面积时，测试环境的空气阻力系数的参考值为0.68.本课题采用的方法和结论将为研究轴承或铰链等动力学建模问题提供参考.