油气润滑ECT系统灵敏度矩阵的秩亏问题及其影响因素

李照威，孙启国

(北方工业大学 机械与材料工程学院，北京 100144)

在油气润滑ECT系统的图像重建中，软场效应和不适定问题仍是必须面对的问题。

软场效应即敏感场灵敏度分布不均匀，灵敏度分布函数受介电分布函数的影响[1]。

不适定问题的一般定义为：“解不连续依赖数据”，它满足下述3个条件中的任何一个即称系统为不适定：①解不存在；②解不唯一；③解不稳定[2]。笔者暂不讨论条件①。条件②是指若图像重建过程中灵敏度矩阵的秩小于待求的未知参数个数[3]，即其解不唯一，称该系数阵是秩亏的；而条件③是指若图像重建过程中，由于法矩阵条件数很大(如大于1)，法矩阵的求逆会出现不稳定，观测值微小的扰动会导致解的很大变化[4]，即其解不稳定，称该系统是病态的。

近年来，针对油气润滑电容层析成像的软场效应，杨健[5]对比分析了计入软场效应和忽略软场效应对ECT系统图像重建产生的影响；针对不适定问题，其中病态问题的研究比较深入，如王振杰[6]在大地测量模型中重点讨论了病态产生的原因、危害及其诊断方法。而目前关于油气润滑ECT系统秩亏问题的研究尚未检索到相关资料。另外，以往的研究中大多忽略了系统图像重建时的软场效应。本文根据油气润滑ECT系统的实际工况，以小管径(10mm左右)，薄油膜(约0.1mm～0.5mm)的系统为对象，对比了系统图像重建时计入软场效应及忽略软场效应对灵敏度矩阵秩亏的影响并研究了系统灵敏度矩阵的影响因素。

1 研究模型

1.1 数学模型

基于灵敏场模型，参考文献[6]，文章建立了油气润滑ECT系统图像重建的数学模型。电容测量值、灵敏度矩阵和两相介电常数分布之间的关系为：

(1)

式中，Cij为极板对i、j间的电容值，ε(x，y)为油气润滑管道内介电分布函数，Sij(x，y，ε(x，y))为油气润滑ECT系统的灵敏度分布函数。

在油气润滑ECT系统的研究中，为了便于求解，通常忽略了软场效应，在此条件下，可将式(1)改写为：

(2)

式中，Sij(x，y)为忽略软场效应时油气润滑ECT系统灵敏度分布函数。 在油气润滑ECT系统求解灵敏度场是把求解区域划分为很多像素，然后对每个像素点分别填充高介电常数物质，求出其对应的电容值变化，从而得到灵敏度矩阵。根据方程(2)，可推出极板对i-j的灵敏度分布，定义为：

k=1，2，…，p

(3)

式中，Cij(k)为管道内第k个像素单元为高介电常数εh，其他单元都为低介电常数εI时极板对i-j间的电容值；Cijh，Cijl分别是管道内所有像素单元的介电常数为εh和εI时极板对间的电容值，即系统的满场电容值和空场电容值；μ(k)是与划分像素单元面积元素的修正因子。

1.2 仿真模型

本文分别建立了4极板、8极板、12极板和16极板的油气润滑ECT系统的仿真模型。图1为8极板电容传感器模型径向截面图。根据实际工况，选择表1所示的油气润滑ECT系统的结构参数作为仿真参数。

表1 电容传感器的结构参数

图1 ECT系统的径向截面(8极板)

2 软场效应

若在油气润滑ECT系统中考虑软场效应，即是计入灵敏度分布函数受介电分布函数的影响[7]。

笔者将8极板油气润滑ECT系统激励电压设置为5V，检测电极的电压设置为0，分别测量空场和存在油气介质时等势线分布图，当单极板为激励电极，其他极板为检测电极时，油气润滑ECT系统的电势，如图2和图3所示。

图2 空场第四极板激励下的等势线

图3 存在油气介质时第四极板激励下的等势线

由图2和图3可见，在油与气的分界面，电势值发生突变而并非均匀过度，这是由于灵敏度分布函数受介电分布函数的影响，即软场效应存在。

3 灵敏度矩阵秩亏的分析

笔者仅讨论油气润滑ECT系统在忽略和计入软场效应时极板数目、油膜厚度等系统参数对灵敏度矩阵秩亏的影响。

在灵敏度矩阵中，i×j矩阵的秩最大为i和j中的较小者，表示为min(i，j)，较大者表示为max(i，j)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩，否则矩阵是秩亏的。

为了方便分析，本文定义了秩亏数N和相对秩亏率η：

N=max(i，j)-tank(S)

(4)

(5)

式中，rank(S)为矩阵S的秩数。

3.1 极板数目对秩亏的影响

在M个极板电容传感器阵列中可得到电容组个数m如表2所示。

表2 油膜厚度0.3mm灵敏度矩阵电容组个数

以0.3mm油膜厚度为例，在忽略和计入软场效应两种情况下分别对四种极板数条件下灵敏度矩阵的秩亏数及相对秩亏率进行分析，其变化如图4和图5所示。

图4 不同极板数下的秩亏数

图5 不同极板数下的相对秩亏率

由图4和图5可知，忽略和计入软场效应在不同极板数下的灵敏度矩阵都出现了秩亏问题，不同极板数下考虑软场效应的灵敏度矩阵秩亏数均低于忽略软场效应的秩亏数，如4极板时，考虑软场效应比忽略软场效应的秩亏数减小了15.3%。另外，灵敏度矩阵的秩亏数和相对秩亏率与检测极板数有关，灵敏度矩阵的秩亏数随着极板数的增多而减少，相对秩亏率随着极板数的增多而减小，如忽略软场效应时，4极板增至8极板，秩亏数减少了24.5%，即增加检测极板数可以有效增加电容组个数，减小灵敏度矩阵秩亏数。

分析可得，在油气润滑ECT系统中，软场效应影响油气润滑ECT系统图像重建时灵敏度矩阵的秩亏数。另外，极板数不足，导致测量的电容数据的不足，进而使灵敏度矩阵秩亏，此为灵敏度矩阵秩亏的主要原因。由于油气润滑ECT系统管径小，无法无限制增加极板数，故应选择合适的极板数目。

3.2 油膜厚度对秩亏的影响

以8极板的油气润滑ECT系统为例，在忽略和计入软场效应两种情况下分别对实际工况中(0.1mm～0.5mm)不同油膜厚度仿真得到灵敏度矩阵，通过公式(4)(5)计算秩亏数及相对秩亏率，如图6和图7所示。

图6 不同油膜厚度下的秩亏数

图7 不同油膜厚度下的相对秩亏率

由图6和图7可知，忽略和计入软场效应在不同油膜厚度的油气润滑ECT系统都存在秩亏的问题。不同油膜厚度计入软场效应的灵敏度矩阵秩亏数均低于忽略软场效应的秩亏数，如油膜厚度0.10mm极板时，计入软场效应比忽略软场效应的秩亏数降低了29.7%。另外，随着油膜厚度的增加，秩亏数和相对秩亏率不断增加。在油膜厚度为0.10mm～0.32mm时，秩亏数及相对秩亏率较低，油膜厚度在0.32mm以上时，秩亏数显著增大，如忽略软场效应油膜厚度为0.34mm时秩亏数较最低点增加30.93%。

分析可得，软场效应影响油气润滑ECT系统图像重建时灵敏度矩阵的秩亏数，与前文结论一致。另外，油膜越厚，一定范围内电容传感器对管道内中心介电常数较低的空气反应越不敏感，对管道中心信息的提供越模糊[7]，使灵敏度矩阵秩亏加重。

4 结束语

笔者分析了油气润滑ECT系统图像重建时忽略和计入软场效应对灵敏度矩阵秩亏的问题及其影响因素。主要研究结论如下：①对比分析了油气润滑ECT系统图像重建中，忽略和计入软场效应时灵敏度矩阵的秩亏问题。在计入软场效应时，灵敏度矩阵秩亏数明显减少。软场效应对灵敏度矩阵影响较大，不容忽视。 ②在油气润滑ECT系统中，存在严重的不适定问题，在图像重建过程中，灵敏度矩阵存在严重的秩亏问题。灵敏度矩阵秩亏问题与油气润滑ECT系统的结构及应用特点有关，如管径小限制了极板数目和油膜厚度。灵敏度矩阵的秩亏程度随极板数增加而减小；随油膜厚度增加而增大。油气润滑ECT系统图像重建时产生秩亏的根本原因是检测数据的不足。