常娟,杜迎雪,刘卫锋
(郑州航空工业管理学院数学学院,河南郑州 450046)
作为经典Zadeh 模糊集[1]的重要推广,直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set,IFS)[2]用隶属度和非隶属度分别表示肯定和否定的程度,能更全面地描述模糊信息。IFS 要求隶属度和非隶属度之和不大于1,但在决策过程中,往往会出现二者之和大于1 的情况,此时IFS 的决策理论和方法就不再适用。为此,YAGER 等[3-4]在IFS 补运算的基础上,将隶属度和非隶属度的取值范围由三角形区域(μ+ν≤1)拓展至14 圆区域(μ2+ν2≤1),由此提出毕达哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy set,PFS)。显然,PFS延续了IFS 的优势,应用范围更广泛。近年来,PFS已成为研究热点,并取得了丰富的研究成果。其中,ZHANG 等[5-6]给出了PFS 的定义,并定义了毕达哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy number,PFN)的运算和距离、相似度和比较方法;PENG 等[7]定义了PFN 的除法和减法运算;李德清等[8]比较分析了PFN 的排序方法,并重新定义了PFN 的距离;曾守桢等[9]提出了PFS 的混合加权距离测度。在决策方法方面,文献[5,8-9]基于不同的距离测度将逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution,TOPSIS)应用于PFN环境;REN 等[10]研究了在毕达哥拉斯模糊环境下的TODIM 多属性决策方法;杨艺等[11]将偏好关系引入PFN,并将其用于群决策问题。在集成算子方面,刘卫锋等[12-13]定义了PFN 加权平均算子和加权几何算子、拟有序加权算子、交叉影响算子等一系列算子;WU 等[14]、彭定洪等[15]分别提出了毕达哥拉斯模糊Hamacher 算子和Heronian 算子。以上研究是毕达哥拉斯模糊理论的重要内容,也为处理不同条件下的决策问题提供了方法。
虽然PFS 克服了直觉模糊集的不足,但并不能刻画决策者在决策时犹豫不决的状态,为此,结合TORRA[16]定义的犹豫模糊集,刘卫锋等[17]定义了毕达哥拉斯犹豫模糊集(Pythagorean hesitation fuzzy set,PHFS)。PHFS 既能刻画决策者现实的犹豫状况,又扩充了隶属度和非隶属度的范围,因此在决策理论和实际应用中具有重要意义。最近,关于PHFS 的研究取得了一些新成果,刘卫锋等[17-18]提出了毕达哥拉斯犹豫模糊数(Pythagorean hesitation fuzzy number,PHFN),并定义了PHFN 的运算、比较方法、加权集成算子和相关测度;WEI 等[19-21]研究了毕达哥拉斯犹豫模糊Hamacher 集成算子、Hamy 平均算子和Bonferroni 平均算子;LIANG等[22]研究了毕达哥拉斯犹豫模糊TOPSIS 法;此外,KHAN 等[23]也提出了PHFS,但其本质为IFS 在毕达哥拉斯模糊环境中的推广,与刘卫锋等[17]提出的PHFS 不全相同。可见,PHFS 的理论成果已日趋丰富,但以上成果偏重于集成算子理论,涉及距离测度研究的文献较少,文献[22]仅研究了PHFN 的距离,并未涉及PHFS 的距离测度,而距离测度是反映模糊集间差异程度的重要工具,有重要的理论价值,因此,关于PHFS 的距离测度研究,特别是涉及元素权重和位置权重的距离测度研究是非常必要的。
受文献[9,24-25]启发,本文从有序加权角度研究PHFS 的距离测度,同时在兼顾属性权重的基础上,定义广义PHFS 混合加权距离测度(DGPHFHWA),研究其特殊形式和性质。此外,针对属性值为PHFN 且权重未知的多属性决策问题,通过指数熵确定属性权重,并提出基于DGPHFHWA的多属性决策方法。最后,通过算例及方法对比说明本文方法的可行性和合理性。
根据YAGER 等[3-4]提出的PFS 隶属度的特点,ZHANG 等[5]给出PFS 的定义。
为定义2 个PHFS 的距离测度,首先定义PHFN 的距离,设α=。一般情况下集合的基数是不相等的,即|,为确保计算的合理性,以上集合应具有相同的基数。针对此问题,考虑决策者不同的风险偏好,XU 等[26]提出,拓展基数小的集合,通过添加元素使2 个集合的基数相等,具体为:
(1)乐观角度,在基数小的集合中添加多个大元素;
(2)悲观角度,在基数小的集合中添加多个小元素。
通过以上处理,给出以下犹豫模糊集的距离测度。
在多属性决策问题中,当邀请多位专家确定隶属度和非隶属度信息时,决策数据往往难以达成一致,而且容易出现最大隶属度和非隶属度之和大于1 的情况。针对此问题,用PHFN 表示属性值,既可以扩充隶属度和非隶属度的范围,又可以完整体现决策数据,避免信息丢失。因此,研究属性值为PHFN 的多属性决策问题具有实际意义。
例1近年来,随着我国移动设备的普及和信息技术的快速发展,电子商务得到了迅猛发展,我国已成为全球电子商务的引领者。物流作为实现电子商务的重要环节,不仅承担着大部分成本,也是实体商品和客户之间最直接的沟通环节,因此电子商务的成败与物流质量密不可分。设某电子商务公司因业务发展,需要选择合适的物流公司,现有4 个物流公司{A1,A2,A3,A4}可供选择。通过邀请相关领域的专家,从经营状况(e1)、信息化水平(e2)、设备设施(e3)、管理与服务(e4)4 个指标对各物流公司进行评估。各物流公司在各指标下的评估信息用PHFN表示。例如:每位专家分别用[0,1]间的数字评估对公司A1经营状况(e1)的满意度和不满意度,满意度分值越高表示越满意,不满意度分值越高表示越不满意。因为不同的专家意见可能不一致,最终评定满意度为0.3 和0.8,不满意度为0.4。故A1在属性指标e1下的评估值用PHFNα11=表示。类似地,可确定其他指标值αij,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,具体如表1 所示。
表1 毕达哥拉斯犹豫模糊决策矩阵Table 1 Pythagorean hesitant fuzzy decision matrix
步骤1由于各指标值均属于效益型,故不需要对决策矩阵进行规范化处理。由定义11,计算各属性信息的指数熵,得
表2 处理后的毕达哥拉斯犹豫模糊决策矩阵Table 2 The processed Pythagorean hesitant fuzzy decision matrix
首先,考虑DGPHFHWA算子中参数λ的取值对决策结果的影响,当λ取不同值时,所得排序结果如表3 所示。可知:(1)当λ→0 和λ=0.2 时,排序结果均为A1≻A3≻A4≻A2,而当λ≥0.5 时,排序结果为A3≻A1≻A4≻A2,λ值确实对排序结果产生了影响;(2)随着λ的增大,A1,A3,A4的贴近度有不同程度减小,而A2的贴近度逐渐增大,当λ≥0.5 时,排序结果呈稳定状态,但方案间的区分度随λ的增大而减小;(3)在所有排序中,A2均为最劣,这与表1 中A2的各项属性值相对较弱这一实际情况一致。可见,基于DGPHFHWA测度的决策方法具有一定的灵活性和较强的稳定性,可满足决策者的目的和需求。
其次,如果在步骤4 中将DGPHFHWA替换为DPHFWA或DPHFOWA,其排序结果如表3 所示。可见,这2 个距离测度所得结果各不相同,且均与DGPHFHWA有差别。这是由于DPHFWA仅考虑属性权重,而DPHFOWA仅考虑位置权重,二者在集成数据时角度不同。基于DGPHFHWA的决策方法可兼顾属性权重和位置权重,集成结果更为全面、合理。
文献[17]所提出的基于毕达哥拉斯犹豫集成算子的方法得到的排序结果为A3≻A4≻A1≻A2,文献[18]基于相似度的方法得到的排序结果为A3≻A1≻A4≻A2,这2 种结果在表3 中均有体现,说明本文所提方法更具一般性。值得注意的是,在λ≥0.5 时文献[18]基于相似度的方法与本文方法的排序结果相同,这是由于相似度和距离测度为模糊集关系的2 个重要度量,均可用于描述模糊集的差异性。
表3 不同距离测度下的排序结果Table 3 Ranking results under different distance measures
在PHFN 的距离基础上,定义了广义PHFS 混合加权距离测度(DGPHFHWA)。该距离测度既考虑元素的重要性,又可通过选定位置权重,避免数据过大或过小对结果造成影响,从而提高PHFS 之间测度结果的科学性。其次,针对属性值为PHFN 的多属性决策问题,利用毕达哥拉斯犹豫模糊指数熵确定属性权重,并提出基于广义PHFS 混合加权距离测度的决策方法,该方法可通过选取参数λ,满足决策者的不同目的和需求。通过算例分析和方法对比,得到本文方法是合理的,其结果更具一般性,可为决策者提供更多的决策机会。值得注意的是,DGPHFHWA不仅适用于TOPSIS 法,还可应用于如投影法、幂集成算子等决策方法,以及群决策问题等,具有一定的应用价值。综上,文中所提的DGPHFHWA和决策方法是对毕达哥拉斯犹豫模糊决策理论的补充。如何定义不受决策者态度影响,且直接反映毕达哥拉斯犹豫模糊原始信息的距离测度,是值得进一步研究和探讨的问题。