深度学习：培养学生的审辩式思维——以《多边形的内角和》一课为例

文|章剑 邵虹

一、课例实施背景

浙教版四年级下册教材的练习中涉及到了《多边形的内角和》这一知识，而在人教版和苏教版四年级下册教材中都有《四边形（多边形）的内角和》这一教学内容，说明四年级的学生是有学习《多边形的内角和》的能力和需求的，因此在上完《三角形的内角和》一课后，增加了拓展课《多边形的内角和》。

这节课旨在基于数学素养视角的深度挖掘，在学生已经储备了一定的研究方法和思辨能力的基础上，对于“多边形内角和是多少”这一问题进行深度思辨，发展其认识和思考的深度与广度，重在数学思想方法的感悟和沉淀。通过让学生回忆（三角形的内角和）研究过程（猜想-验证-结论-应用），梳理研究方法，培养研究能力，提升审辩能力，拾阶而上探索新知识。

为了更好地了解学生对“多边形内角和”这一知识的掌握程度，对一个班32位学生进行了前测。

层次0：只能写出三角形的内角和。（2人）

层次1：只能写出三角形和四边形的内角和。（6人）

层次2：只能写出三角形，四、五、六边形的内角和，但不能正确写出自己的想法。（3人）

层次3：只能写出三角形，四、五边形的内角和，但能正确写出自己的想法。（1人）

层次4：能写出三角形，四、五、六边形的内角和，且能正确写出自己的想法。（12人）

层次5：能写出三角形，四、五、六和n边形的内角和，且能正确写出自己的想法。（8人）

通过前测发现班里有四分之一的学生已经知道n边形内角和的计算方法，有将近三分之二的学生会计算多边形内角和。如果将这节课定位在通过多边形内角和研究最后得出n边形内角和的计算方法，大部分学生会觉得这节课很无聊，因为所学的知识他们都已经会了，于是将其定位在从三角形内角和的研究方法延伸到多边形内角和的研究，让学生通过猜想，得出矛盾，从而质疑，在思辨中明理。

二、片断解析

●教学片断一：审辩式思维之博学。

1.回顾三角形内角和的探究过程。

（1）零散回忆——有结构性的。

师：我们已经学习了三角形内角和，我们是怎样来研究的？你能举例说明吗？

（出示思维导图，图略）

生：我们研究“三角形内角和”，先根据两块三角板的内角和是180°，猜想是否任意三角形的内角和都是180°，然后对自己的猜想进行了验证。既然是任意三角形，就需要对锐角、直角、钝角三角形都进行研究，我们想到了很多验证的方法，比如撕、折，将几个相同的三角形拼在一起，都可以得到一个平角，也就是180°，也可以量一量算出内角和，还可以通过长方形或正方形的分割得出任意直角三角形内角和，接着我们就得出了结论：任意三角形的内角和都是180°，最后，我们还可以应用得到的结论解决一些问题。

（2）出示“三角形内角和”数学小报。

师：同学们把这个研究过程制成了数学小报，我们一起来欣赏一下。同桌交流“三角形内角和”的研究过程和研究方法。（数学小报略）

2.我们已经知道了“任意三角形内角和是180°”，那你还想研究什么？

【设计意图：要培养学生的审辩式思维，首先需要有广阔的视野和知识作为思辨的基础。因此，在第一个环节，带着学生一起回顾“三角形内角和”的学习过程，重新经历“提出猜想、合理质疑、合情辨析、得出结论”的过程，将学生记忆中碎片化的知识点和研究过程串联起来，并结合思维导图，形成清晰的认知结构。学生自己绘制的数学小报即是学生初始的认知水平反映，同桌讨论时，可进一步感知和感悟审辩式思维的基本模式和个性化表达。】

●教学片断二：审辩式思维之审问、慎思、明辨。

活动一：研究四边形的内角和。

1.你们想从哪个图形开始研究？那我们就先从四边形开始研究，可能要经历怎样的探究过程？

2.猜想。

师：你猜想四边形的内角和可能是多少？

（板书：360°）

师：你为什么这样猜想？

生：正方形、长方形四个角都是直角，内角和是90°×4=360°。

师：我们研究的四边形应该是指？

生：任意四边形。

师：如何来证明我们的猜想呢？

生：验证。

3.四人小组研究“任意四边形的内角和是多少”。

（提供的素材：平行四边形、梯形、凹四边形、不规则凸四边形）

四人小组合作要求：

（1）独立思考。将方法记录在四边形上。（0级音量）

（2）小组交流。采用“坐庄法”。（2级音量）

（3）反馈汇报。（3级音量）

（4）反馈：所有组的白板都贴在黑板上，将汇报的小组作品投屏。

方法1：测量。

方法2：拼。

方法3：分割。（理解什么是内角）

师：①④180°×2=360°（2表示什么？）2表示分成了两个三角形。

师：②180°×3-180°=360°。为什么要减去180°？哪些是内角？

师：③180°×4-360°=360°为什么要减去360°？

师：连法不同，得到的三角形个数也不一样，但是得到的四边形内角和都是360°

小结：刚才，我们从回顾“三角形内角和”的研究过程和方法，提出了新的问题，并通过这三种方法来验证我们的猜想，得出了结论。

【设计意图：审辩式思维的目的是引导学生发展其认识和思考的深度与广度。这个教学环节从学生的猜想开始。学生的猜想一般会有三个层次：一是没有想法随意说一个角度；二是根据特殊图形长方形和正方形猜测360°；三是认为特殊图形是360°，一般图形不一定是360°，正是有了疑问，产生了问题，我们才要慎思和明辨。使学生的思维聚焦到如何证明自己的猜想。通过对各种不同类型四边形进行研究，以及采用不同方法对四边形内角和进行研究，在丰富的案例中形成联系和概括，不仅确定四边形内角和是360°，而且了解可以怎样发现和证明一个基本的数学命题，为进一步的研究打好基础。在这一教学过程中，始终要保持学生思考的自主性和逻辑的严密性。】

●教学片断三：审辩式思维之笃行

活动二：研究五边形、六边形、七边形、八边形的内角和。

1.刚才有同学还想研究五边形、六边形等多边形，请你打开平板，用你喜欢的方法研究一种多边形。

（提供的素材：正五边形、六边形、七边形、八边形；一般五边形、六边形、七边形、八边形）

2.探究“多边形内角和”。

合作要求：

（1）独立研究。（0级音量）

（2）自由交流。选择相同图形的学生到指定区域交流。（2级音量）

（3）反馈汇报。（3级音量）

3.反馈。

（1）五边形组投屏两个作品：我们组研究的是五边形，我们都用了分割的方法，发现任意五边形的内角和都是540°。

（2）六边形、七边形、八边形各投送两个，共六个。

观察：这些研究小组都用了什么方法？（分割）他们研究的结论对吗？

4.小结：看来，研究五边形、六边形、七边形、八边形的时候，大部分同学都是把复杂的问题变简单，利用已经学过的知识来解决新问题。

【设计意图：在思辨之后还应有实践的延续，即“笃行”。学生在研究四边形的基础上，研究“多边形内角和”时，自然就用到审辩式思维的基本模式以解决问题。发现和证明逐渐成为一种常规的课堂活动，审辩式思维逐渐成为一种基本的数学思考方式。】

三、课例评析

《多边形的内角和》一课重视积累思维活动经验，提升基本数学思想方法，深度培养审辩式思维。整节课采用了动态生成式教学，重视能力的培养和素养的培育，对于“多边形的内角和”这一知识看中的是方法而不是结果。

1.依据思维生长的基本特征，以问引思；

2.剖析探究过程的个体差异，以探促构；

3.多元互动交融的环境营造，以联激思；

4.经历关系与结构研究过程，以智赋能。

第一次深度思辨，教师让学生从猜想中引发思考“四边形内角和”到底是多少。有的学生能从特殊图形，如正方形、长方形中得出90°×4=360°，有的学生则认为不一定，如果是任意四边形就不是360°，教师善于鼓励学生质疑和讨论，引导学生在讨论中走向结论，而不是简单地从结论走向结论，学生自己互相纠正补充，教师适当地完善、提升、类化。

第二次深度思辨，因为四边形内角和的思辨过程被教师放大了，五边形、六边形、七边形、八边形的研究就水到渠成了，让学生经历从特殊（正多边形）到一般（任意多边形），让学生在审辩的过程中自然感悟化归思想，学生将多边形转化成三角形或四边形，通过比较不同点，提炼基本策略，提升基本方法，构建出研究一般多边形的路径。

两次深度思辨以后，学生自然而然有了建模的过程，多边形边数、三角形个数、内角和之间的关系就自然建立了。

这节课中教师培养学生审辩式思维采用了两种教学方法，一是“基于问题的解决”，教育的真正目的就是让人不断地提出问题、思索问题，“质疑”是学生经过独立思考，进而提出问题的学习过程，是培养审辩式思维的起点，因为审辩式思维具有质疑和创造的特性；二是“基于小组合作”，深度的合作学习，有行为合作、认知合作和情感合作。

教师善于引导学生从“显性”的数学知识学习过程中理解和掌握知识背后“隐性”的数学思想方法。给每一位学生赋能，赋予能力、能量，有效地培育了学生的审辩式思维。