一道物理高考题目的多个变式及解析

摘 要：对2018全国1卷一道运动学和动力学结合的题目进行分析.给出该题目的三个变式（仅仅是改变一些条件），分别根据动能定理和运动学公式进行解析.

关键词：烟花弹;爆炸;初速度;机械能;质心

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0092-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：王伟民（1964-），男，安徽省太和人，本科，中学高级教师，从事中学物理教学研究.

原题呈现 （2018理综全国1卷第24题）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空.当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动.爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量.求：

（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间;

（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度.

这道题目短小精悍，只有区区一百多字，却把物理情景交待的明明白白;该题目所给的已知条件很少，只有三个物理量——动能、质量和重力加速度（只给出这么多条件的大题，应该非常的少有），但求解问题的过程却需要牵扯到多个物理原理和公式，考察知识点的个数并不少，体现了编者匠心独具的高超编题水平.

本题满分12分，属于试卷中的“大题”，是理综试卷物理部分的倒数第二题，在人们的心目中，这一位置正是试卷“压轴题”的位置.虽说该题目考察的知识点不少，但是，与之前各年份的物理卷“压轴”题目相比，似乎“压轴”的分量不足——这或许是编者的有意而为吧——降低题目难度，也许可以改变长期以来师生心目中“物理学科是所有高考科目中难度最大学科”的认识，可以发现，2019年和2020年全国高考物理卷及地方高考物理卷在压轴题的难度上大多依然沿袭了这一“难度风格”，难怪很多老师一致认为，2018年的高考或许会成为以后物理高考试卷在难度编制上的“风向标”.

实际上，该题目条件稍加改变，即可变形为与原题目类型相同，但难度相对较大，与往年高考“压轴”题相“匹配”的多个变式题目来.

变式1 一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空.当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的很多碎片，这些碎片因火药爆炸获得的外力相同，获得的动能之和也为E，且沿不同的方向向外运动（各个方向分布均匀）.爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量.求：

（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间;

（2）爆炸后烟花弹竖直向上运动的碎片距地面的最大高度;

（3）求证：在所有碎片未落地之前，它们在同一个球壳上.

分析 与原题目相比，改变了一个条件——将原题目中的条件“弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分”更改为“弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的很多部分”，这样改变的结果，一方面使问题更具一般性（“两个相等部分”是“多个相等部分”的特例，所以，后者更具一般性），同时也更与实际情况相符，生活中我们所见到的烟花在空中绽放，大多是烟花球被炸成很多碎片后向外扩展，在空中形成美丽的烟花图案，很少有只炸出两块并分别沿竖直方向上下运动的情形.同时又增添了一个新的问题，这样改编的结果，使得题目的难度系数明显增大.

解析 （1）由E=12mv2得v=2Em=2Emm，所以，烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间为t=vg =2Emmg

（2）设烟花爆炸后被炸成n个质量相等的碎片，则每片碎片的质量为mn，每片碎片的动能为En，设竖直向上运动的碎片因火药爆炸而获得的初速度为v，烟花球未爆炸前从地面上升到最高点时（即速度为0时）的高度为h1，爆炸后竖直上升的碎片从爆炸点上升的最大高度为h，则有：

h1=Emg，h2=Enmng =Emg

所以，爆炸后烟花弹竖直向上运动的碎片距地面的最大高度为h=h1+h2 =2Emg

（3）證明：以烟花的爆炸点为坐标原点，水平方向为x轴的正方向（水平方向任意选择，比如指向东方，南方或其他任意方向均可）建立平面直角坐标系，我们分析在该竖直平面内各烟花碎片的运动规律后，再推广至一般情况.

设爆炸后的n个质量相等的碎片中，某个碎片的初始运动速度与x轴正方向的夹角为θ，速度大小为v，

因为En=12·mn·v2，所以v=2Em =2Emm

设t时间后，该碎片的坐标为（x，y））则有：

x=vtcosθ=2Emcosθmt，

y=vtsinθ-12gt2=2Emsinθmt-12gt2

由爆炸时刻开始，以从爆炸点自由下落的点作为参考点，探究爆炸后的碎片离开参考点距离的变化规律.易知，时间t后，参考点的坐标（X，Y）为：

X=0，Y=-12gt2

所以，t时间后，运动的碎片与参考点之间的距离d为：

d=（x-X）2+（y-Y）2=（2Emcosθmt）2+（2Emsinθmt）2=2Emmt

由d=2Emmt可知，在某个竖直平面内爆炸碎片离开参考点的距离，与其初始运动方向无关，是时间t的正比例函数.因为坐标系所在的竖直平面是任意选取的，所以，在空间内向各个方向运动的初始速度相同的烟花碎片，在爆炸后的任意时刻，都在同一个球面上——一个半径随时间均匀增加，球心作自由落体运动的球面上.

变式2 一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空.当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等很多碎片，这些碎片因火药爆炸获得的外力相同，获得的动能之和也为E，且沿不同的方向向外运动（各个方向分布均匀）.爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量.求：

（1）从火药爆炸到刚有烟花碎片触及地面所用的时间;

（2）落地后，烟花碎片在地面上覆盖圆面的半径.

解析 （1）烟花获得动能 并升高到最高点时，动能全部转化为重力势能，此时，烟花距离地面的高度为h=Emg.因为在爆炸点各碎片的质量和动能相同，所以，向各个不同方向运动的碎片的初始速度相同，不妨设碎片个数为n，初始速度为v0，则有：

12（mn）v20=En

∴v0=2Em

由于爆炸后的各碎片获得的动能跟爆炸前的这块碎片的重力势能相等，所以，爆炸后每个碎片的机械能是爆炸前的2倍，不考虑空气阻力的情况下，落至地面时碎片的速度是它在最高点因爆炸而获得初始速度的2倍：

v=2v0 =2Em

其中竖直下落的烟花碎片最先到达地面，所用时间为：

t=v-v0g =2Em-2Emg =2Em-2Emmg

（2）以烟花在地面上的抛出点为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，则在水平地面上（即图1中的x轴）烟花碎片落地点离开O点最远的点到O点的距离，就是烟花碎片在地面上覆盖圆面的半径.

设某烟花碎片的运动方向斜向上且与水平面的夹角为θ，落至地面时该碎片的坐标为（X，0），则有：

h=-v0tsinθ+12gt2

X=v0tcosθ

两式结合，消去θ得：

X2=-14g2t4+（hg+v20）t2-h2

显然，X2是t2的二次函数，二次项系数-14g2<0，所以X2有极大值：

图1 图2

X2max=g2h2-（hg+v20）2-g2=v40+2hgv20g2

∴Xmax=v0v20+2hgg=2Em2Em+2·Emggg=22Emg

变式3 一质量为m 的烟花弹获得动能E 后，从地面开始沿与水平方向成60°角的方向倾斜升空.当烟花弹上升到最高点时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等很多部分，这些部分获得的动能之和也为E（相对于运动的烟花） ，且沿不同的方向向外运动（各个方向分布均匀）.爆炸时间极短，各烟花碎片因火药爆炸获得的动能相等，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量.求：

（1）最先触及地面的烟花碎片到抛出点的距离;

（2）刚有烟花碎片触及地面时烟花图案在空中形成球面的半径.

解析 烟花爆炸之后，由于爆炸时碎片间的作用力属于系统内力，所以，整个烟花碎片组成系统质心的运动轨迹，不会因为烟花炸裂开来而有任何的改变，系统质心（即烟花碎片组成球面的球心）依然沿原有的抛物线轨道继续往前运行.以烟花的抛出点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系.

设获得动能E之后，烟花从抛出点倾斜上升的初始速度为v0，由E=12mv20得：v0=2Em.从地面抛出时间t后，烟花在坐标系内的纵横坐标分别为：

y=v0tsin60°-12gt2=32v0t-12gt2，

x=v0tcos60°=12v0t

两式结合，消去时间t，得到烟花在空中运行的抛物线为：

y=-2gv20x2+3x，其顶点P的坐标（也是烟花的爆炸点）为（3v204g，3v208g）

设烟花碎片的个数为n，由于相对于运动的烟花，各碎片获得的动能之和为E，所以，以运动烟花的质心（在爆炸点）为参照物，各烟花碎片获得的动能相同，都是En，所以，各烟花碎片因爆炸而获得的相对质心的速度大小相同，都是2Em

从烟花爆炸点P开始计时，设往后的时间t时刻，烟花碎片在空中组成的球面刚好与x轴相切（即最先有烟花碎片触地），切点为B，则有：

3v208g-12gt2=2Emt，

即6E8mg-12gt2=2Emt

∴12gt2+2Emt-3E4mg=0

∴t=-2Em±2Em+4·12g·3E4mgg

=-2Em±7E2mg（負舍）

取t=-2Em+7E2mg

所以，最先触地的烟花碎片，从烟花在最高点爆炸到最后触地的过程中，水平运动的距离为（参见图2）：

HB=v0tcos60°=2Em·-2Em+7E2mg·12

=（7-2）E2mg

因此，最先触及地面的烟花碎片到抛出点的距离为：

OB=OH+HB =3v204g+（7-2）E2mg =（3+7-2）E2mg

（2）刚有烟花碎片触及地面时烟花图案在空中形成球面的半径为：

AB=v0t =2Em·-2Em+7E2mg =（7-2）Emg

应该说，生活中很少见到图2所示的情形，这主要是因为烟花绽放之后，向各个方向飞行的碎片由于相对于地面的速度不等，因而所受空气的阻力不等，考虑空气阻力时烟花碎片组成的图案将不再是球形;同时，四散的碎片温度会急剧降低而失去亮度，不再发光的碎片在夜晚的空中也就不能被眼睛看到了.

参考文献：

[1]胡小波.基于知识 立于能力 显现素养——2018天津高考物理压轴题的多种解法分析[J].数理化解题研究，2020（12）：73-75.

[2]刘汝社.由一道经典题目引发的思考[J].中学物理教学参考，2020（11）：49.

[责任编辑：李 璟]